中学数学二次函数压轴题

二次函数压轴题专项练习

一、解答题

1.如图，抛物线y=a/+bx+3与x轴相交于点4(一1,0)、6(3,0),与y轴相交于点C,点

P为线段OB上的动点(不与。、B重合)，过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC

分别交于点E、F,点。在y轴正半轴上，OD=2,连接DE、OF.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；

(3)过点A的直线将(2)中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析

式.(不必说明平分平行四边形面积的理由)

2.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点＞1(-1,0),8(3,0).

(1)求b,c的值.

(2)如图1设点Q的横坐标为m.记&BCQ的面积为S,求S关于m的函数表达式.

(3)如图2,动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线，分别与BC交于点G,与抛物线

交于点H.

①试问抛物线上是否存在点F,使得AAPG的面积与APHF的面积相等，且线段HF的

长度最小？如果存在，求出点F的坐标，如果不存在，说明理由.

②过点B,P,C的外接圆恰好经过点H,则P点坐标为—(直接写出答案).

3.已知抛物线y=x2+(2m+l)x+m(m-3)(m为常数，一A(-m-l,y,),

Bg,y2)是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点。逆时针旋转90。得到直

线a,过抛物线顶点P作尸H工a于H.

(1)当m=l时，求出这条抛物线的顶点坐标；

(2)若无论m取何值，抛物线与直线y=x-km(k为常数)有且仅有一个公共点，求k的

值；

(3)当1<PH46时，试比较yi,y2之间的大小.

4.在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=a/+力》+c(a,b,c为常数，

a*0)的“梦想直线"；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其"梦想三

角形”.

已知抛物线y=-竽/一竿刀+28与其“梦想直线”交于4,8两点(点A在点B的左

侧)，与%轴负半轴交于点C.

(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为—，点A的坐标为一，点B的坐标为—

(2)如图，点M为线段CB上一动点，将A/ICM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对

称点为N,若4AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F,使得以

点4,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E,F的坐标；若

不存在，请说明理由.

5.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于4,8两点(点4在点8

的左侧)，与y轴交于点C,且。8=OC=3,顶点为M.

(1)求二次函数的解析式；

⑵点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m，四

边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

(3)探索：线段BM上是否存在点N,使4NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标;

如果不存在，请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a*0)与x轴交于点做一2,0),8(4,0)

两点，与y轴交于点c.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P从4点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从

B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时,

另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使APeQ的面积最大，最大面积

是多少？

(3)当4PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K,使SGCBK：S“BQ=5：2,求K

点坐标.

7.已知，经过点4(一4,4)的抛物线y=a/+bx与x轴相交于点B(-3,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,过点A作/1HJ.X轴，垂足为H,平行于y轴的直线交线段AO于点Q,交抛

物线于点P,当四边形AHPQ为平行四边形时・，求ZAOP的度数.

Hx

图1

(3)如图2,试探究：在抛物线上是否存在点C,使ZCAO=ZBAO?若存在，请求出直线AC

解析式；若不存在，请说明理由.

8.点P为抛物线y=/-2mx+m2(巾为常数，m>0)上任意一点，将抛物线绕顶点G逆时

针旋转90。后得到的图象与y轴交于4B两点(点4在点B的上方)，点Q为点P旋转

后的对应点.

(1)抛物线y=x2-2mx4-m2的对称轴是直线;当m=2,点P的横坐标为4时，点

Q的坐标为—.

(2)设点Q(a,b),请你用含b的代数式表示a,则a=—.

(3)如图，点Q在第一象限，点。在x轴的正半轴上，点C为。D的中点，Q。平分

ZAQC,AQ=2QC,当Q。时，求血的值.

9.如图，在平面直角坐标系中，点4,B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA=2k,

OB=2k+3,以AO,BO为邻边构造矩形AOBC,抛物线y=-1x2+3x+k交y轴于点D,

4

P为顶点，PMLx轴于点M.

(1)求。。，PM的长(结果均用含k的代数式表示).

(2)当PM=BM时，求该抛物线的表达式.

⑶在点A在整个运动过程中.

①若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值.

②当点A关于直线DP的对称点A,恰好落在抛物线y=-\x2+3x+k的图象上时,

请直接写出k的值.

(1)求抛物线的解析式；

⑵将直线0B向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点。，求小的

值及点D的坐标；

(3)如图2,若点N在抛物线上，且/NBO=NABO,则在(2)的条件下，求出所有满足△

PODs△NOB的点P坐标(点P,。，D分别与点N,0,B对应).

11.如图，二次函数y=x2+bx-3的图象与x轴分别相交于4,B两点，点B的坐标为(3,0),

与y轴的交点为C,动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴I上有一定点D,其纵坐

标为26，/与x轴的交点为E,经过A,T,D三点作OM.

(1)求二次函数的表达式.

(2)在点T的运动过程中.

①/DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

②若MT=\AD,求点M的坐标.

(3)当动点T在射线EB上运动时，过点M作MHlx轴于点H,设“7=a,当。"V

X407时，求y的最大值与最小值(用含a的式子表示).

12.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a*0)的对称轴为直线x=-1,图象经过8(-3,0),

C(0,3)两点，且与x轴交于点A.

(1)求二次函数y=a/+bx+c(aH0)的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使AACM周长最短，求出点M的坐标；

(3)若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使&BPC为直角三角形时点P的坐标.

13.一次函数y=-2x-2分别与x轴、y轴交于点A,B,顶点为(1,4)的抛物线经过点4

X

(1)求抛物线的解析式.

(2)点C为第一象限抛物线上一动点，设点C的横坐标为m,△ABC面积的为S,当也为

何值时，S的值最大，并求S的最大值.

(3)在(2)的结论下，若点M在y轴上，MCM为直角三角形，请直接写出点M的坐标.

14.边长为2的正方形04BC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边。4的中点，连接

CD,点E在第一象限，且DEJ.DC,DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C,E两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.过点P

作PFLCD于点F,当t为何值时，以点P,F,D为顶点的三角形与4C0D相似？

(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M,N,使得以点M,

N,D,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存

在，请说明理由.

15.如图，直线y=^x+a与x轴交于点4(4,0),与y轴交于点B,抛物线y=^x2+bx+c经

过点4,B.点为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛

物线于点P,N.

(2)当点M在线段。4上运动时(不与点0,A重合)，

①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；

②求出使&BPN为直角三角形时m的值；

⑶若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,请直接写出此时由点。，B,N,

P构成的四边形的面积.

16.抛物线y=a/+bx+c(aH0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交

于点C(0,-4).已知4(-2,0),抛物线的对称轴I交x轴于点£)(1.0).

(1)求出a,b,c的值；

⑵如图1,连接BC,点P是线段BC下方抛物线上的动点，连接PB,PC.点M,N分别

在V轴，对称轴I上，且MNly轴.连接AM,PN.当△PBC的面积最大时，请求出

点P的坐标及此时AM+MN+NP的最小值；

(3)如图2,连接AC,把XAOC按照直线y=x对折，对折后的三角形记为△©OC,把

△4OC沿着直线BC的方向平行移动，移动后三角形的记为△<'O'C",连接

DA",DC",在移动过程中，是否存在△ZM"C"为等腰三角形的情形？若存在，直接写

出点C"的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+2x-3与x轴交于A,8两点(点力在点B

的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线I,点£>(-4,n)在抛物线上.

图1图2图3

(1)求直线CD的解析式；

(2)E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC,ED,当△ECD的面积最大时，在直线I

上取一点M,过M作y轴的垂线，垂足为点N,连接EM,BN,若EM=BN时，求

EM+MN+BN的值.

(3)将抛物线y="+2x-3沿式轴正方向平移得到新抛物线y',y'经过原点0,y'

与x轴的另一个交点为F,设P是抛物线y,上任意一点，点Q在直线I上，APFQ

能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点P的坐标，若不能，请

说明理由.

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+4x+5与y轴交于点4,与x轴的正半轴交

于点C.

(1)求直线AC解析式；

(2)过点A作AD平行于%轴，交抛物线于点D,点F为抛物线上的一点(点尸在4D上

方)，作EF平行于y轴交AC于点E,当四边形AFDE的面积最大时？求点F的坐标,

并求出最大面积；

(3)若动点P先从(2)中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直

于7轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当动点P

的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长.

答案

一、解答题

1.【答案】

(1)"点4(-1,0)、5(3,0)在抛物线y-ax2+bx+3±,

(3k+b=0,

"U=3,

解得k=-1,b=2.

抛物线的解析式为y=-X2+2x+3.

(2)在抛物线解析式y=-%2+2x+3中，令x=。，得y=3,

•••C(0,3).

设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(3,0),C(0,3)坐标代入得

C-k.+b=0,

fc+h=2,

解得k=-1,6=3,

y=-x+3.

设E点坐标为(x,-x2+2x+3),则P(x,0),F(x,-x+3),

22

:，EF=yE-yF=-x+2x+3-(-x+3)=-x+3x.

•••四边形ODEF是平行四边形，

EF=OD=2,

■--x2+3x=2,即%2-3x+2=0,

解得x=1或x=2,

■■P点坐标为(1,0)或(2,0).

(3)平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点(或对角线的中点)，过对称中

心的直线平分平行四边形的面积，

因此过点A与平行四边形ODEF对称中心的直线平分平行四边形ODEF的面积.

①当P(l,0)时，点尸坐标为(1,2),又£>(0,2),

设对角线DF的中点为G,则Gg,2).

设直线AG的解析式为y=kx+b,将4(一1,0),Gg,2)坐标代入得：

f—k+b=0,

gk+b=2,

解得k=b=^,

•••所求直线的解析式为y=；x+j；

②当P(2,0)时，

点F坐标为(2,1),又0(0,2),

设对角线DF的中点为G,则G(l,|).

设直线AG的解析式为y=k》+b,将4(—1,0),G(l,|)坐标代入得

(—k+b=0,

h=l.

解得k=b=\,

4

■.所求直线的解析式为y=；x+；.

4433

-X+-或y=-X+-

综上所述，所求直线的解析式为y=3344

【知识点】平行四边形的判定、y=ax八2+bx+c的图象、一次函数的解析式、二次函数的解析式

2.【答案】

(1)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于4(一1,0),8(3,0).

[-li+c=0,解得｛:二;'

1—9+3b+c=0,

故b=2,c=3.

(2)如图所示，过点Q作Q。1》轴，交BC于点。，又Q点横坐标为m.

•••S>BCQ=W。•8-维)+卬。(%8-XQ)

—^QDQB—xc)

又BC的解析式为y=-x+3,

QD=(—m24-2m+3)—(—m+3)=—m2+3m.

33c9

•••SABCQ=S=-QD=--m2+-m.

此时Q在BC上方，0SmW3.

若Q点在直线BC下方，此时m<0或m>3.

S=-(-|m2+|m)=|nt2-lm.

/39

——m2o+-m,0<m<3

...S=«22

!7n2-1m,m<0或m>3

(3)①如图所示，设P点横坐标n,设F点横坐标为t.

存在点F,使得AAPG的面积戌4PHF面积相等，且线段HF的长度最小,

S^APG=gPG•AP,AP=n+1,PG=—n+3,

•••S—PG=1(n+l)(3-n),

2

又^PHF=|PH|(n-t)|,PH=-n+2n+3=-(n+l)(n-3),

•••SMHF=+1)(3-n)In-t\,

又SMPG=S“HF>

・•.|n-t|=1即P与尸两点横坐标相差的绝对值等于1.

要使HF长度最小，则“，尸两点关于对称轴％=1对称.

t=—trt/t=—

2队2,

当t=1时，y=_Rl+3=M

当t=|时，y=-；+3+3=^.

故F点坐标为(;，T)或竽)，

②(0,0)或(1,0)

【解析】

(3)②过点B,P,C的外接圆过点H,

•••B,P,C,H外接圆的圆心在PH与BC垂直平分线的交点,

BC中点坐标为(|,|),BC的解析式为y=-x+3.

■■BC的垂直平分线为y=x,

PH=-n2+2n+3.

■■■PH的垂直平分线的解析式为了=土詈坦.

•••外接圆圆心为(土等，也产).

又B,P是外接圆上两点，

—712+271+3c—712+211+3区力/口八一puy

---------n=3--------------,解得：n=0或n=L

故P点坐标为(0,0)或(1,0).

【知识点】y=ax-2+bx+c的图象、二次函数的解析式

3.【答案】

(1)vm=1,

■■y7+3%-2=(%+|)—

顶点坐标W).

—、,(y=x24-(2m4-l)x+m(m—3),、业+.,一、八

⑵由｛.消去y得ZH％27+2mx+(zm24-fcm-3m)=0.

(y=x—km,

抛物线与直线y=x-km有且仅有一个公共点，

J=0,即(k—3)m=0.

・・・无论m取何值，方程总是成立，

k-3=0.

k=3.

..b2m+l4ac-b24m(m-3)-(2m+l)2167n+l

⑶zv-^=-->F-=----------；---------=一~-'

抛物线y=X2+(,2m+l)x+m(m-3)的顶点为(一勺卢,一北户口),

16m+l12m-l

PH=

4)1二I4

V1<PH<6,

12m-l12m-l

■■■当>0时，有1V<6,又一1Wm44,

44

5/,25

*,•——<m三一；

1212’

12m-l

当<0时，1<-gzl<6,

4

又-1<m<4,

・•・—1<TH<-

4

一

/.-1</m<7——1T或—5</m<—25.

4人1212

••・A(-m-l,yj在抛物线上，

yi=(-m—I)2+(2m+1)(—m—1)+m(m+3)=-4m.

v6(-771,73)在抛物线上，

2

:.y3=(―m)+(2m+1)(—m)4-m(m—3)=-4m.

・•・yT=y3.

①令y<-m-1,则有m<-|,结合一14nz<-；，

-1<m<-|,

此时，在对称轴的左侧y随刀的增大而减小，如图1,

加>yi=丫3,即当一1wM<-§时，有y2>yi=y3；

②令与=-血-1,则4与8重合，此情形不合题意，舍弃;

小人1口m,2m+l.

③令->-m-1,且-<...-n时,

711

有一5<租工一］,结合一1式加<一1,

2,11

•…iWf

此时，在对称轴的左侧，y随X的增大而减小，如图2,

21

•,•%=为>丫2,即当一5<血W一§时，有丫1=丫3>丫2；

④令一^Wy<-m,有一1Wm<0,结合-1Wm<-%

1,,1

"-3^m<

此时，在对称轴的右侧y随式的增大而增大，如图3,

•,•乃<乃=%;

⑤令紧一m,B,C重合，不合题意舍弃.

⑥令7>-m,有m>0,结合<m<2|,

5,〜25

•••石<m4石，

此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，如图4,

%>%=为，

即当时，有y2>y3=71-

综上所述，T4血<一：或m41时，有丫2>丫1=丫3；

-3<m<-；时，有为<%=为•

【知识点】二次函数的增减性、二次函数与方程、y=axb+bx+c的图象、二次函数的顶点

4.【答案】

⑴了=-苧%+竽；(-2,28)；(1,0)

(2)当点N在y轴上时，△4MN为梦想三角形，

如图1,过4作ADLy轴于点D,则4。=2,

在y=一手/—殍％+2\/3中，令y=0可求得x=-3或x=1,

C(-3,0),且4(-2,273),

AC=J(-2+3)2+(2V3)2=V13,

由翻折的性质可知AN=AC=V13,

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=>JAN2-AD2=V13-4=3,

•••OD=2收

ON=2y/3-3或ON=2百+3,

当ON=2百+3时，则MN>OD>CM,与MN=CM矛盾，不合题意,

■■N点坐标为（0,273-3）;

当M点在y轴上时，则M与。重合，

过N作NPJ.X轴于点P,如图2,

在Rt△AMD中，AD=2,OD=273,

•••tanZDAM=黑=总

•••/DAM=60°,

VADIIx轴，

・・・ZAMC=ZDAO=60°,

又由折叠可知ZNMA=ZAMC=60°,

:./NMP=60°,且MN=CM=3,

MP=-MNNP=—MN,

22’22'

此时N点坐标为（I，竽）；

综上可知N点坐标为（0,275-3）或（|,竽）；

（3）豹或E（T—¥）,尸（―4,阴.

【解析】

2A/32473

（1）••・抛物线y——，一，,工+2业

33

•••其梦想直线的解析式为y=-竽x+等,

273,2y[3

y=­—x+—'

联立梦想直线与抛物线解析式可得

y=一竽/一竽X+2V3,

x=-2,X=1,

解得,y=2V3或

y=o,

•••4(-2,273),8(1,0).

(3)①当AC为平行四边形的边时,

如图3,过F作对称轴的垂线过A作4KJ.X轴于点K,

则有AC//EF且4C=EF,

•••ZACK=ZEFH,

在AACK和4EFH中，

(ZACK=/EFH,

jZAKC=/EHF,

Gt?=EF,

■■.^ACK^^EFH(AAS),

•••FH=CK=1,HE=AK=2>j3,

■■抛物线对称轴为%=-1,

F点的横坐标为。或-2,

••,点F在直线AB上，

当F点横坐标为0时，则尸(0,苧)，此时点E在直线AB下方，

■-E至ijx轴的距离为EH-OF=2聒-誓=当、即E点纵坐标为一竽，

,■,E(T—竽)；

当F点的横坐标为-2时，则F与4重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

•••C(-3,0),且71(-2,273),

••线段AC的中点坐标为(一2.5,⑹，

设E(-l,t),F(x,y),则x-l=2x(-2.5),y+t=26，

x=-4,y=2-\/3—t,

代入直线AB解析式可得2遮一t=一等x(-4)+9解得t=一竽，

・••E(T-竽),唉4,竽).

综上可知，存在满足条件的点F,此时E(—1,—等)，F(0,等)或E(—1,一筝)，F(―4,

V

【知识点】二次函数的解析式、y=axM+bx+c的图象、角角边

5.【答案】

(1)OB=0C=3,

B(3,0),C(0,3).

m=-9+3b+c,解得(b=2,

二次函数的解析式为y=-X2+2x+3.

(2)y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

设直线MB的解析式为y=kx+n,

则有仁霹"得忆/

直线MB的解析式为y=-2x+6.

••1PQ1x轴，0Q=m,

点P的坐标为(科一2血+6).

S四边形4CPQ=S&AOC+S梯形PQOC

(3)线段BM上存在点/vg.y),(2,2),(1+半，4一咿)，使4NMC为等腰三角形.

CM=V2,CN=Vxz+(-2x+3)2,MN=V(x-l)2+(-2x+2)2.

①当CM=NC时，”+(-2彳+3)2=V2,

解得X1=l，x2=l(舍去),此时A/g,y)；

②当CM=MN时，J(x—+(-2x+2/=V2,

解得x1=1+詈，x2=l-噂(舍去),此时N(1+誓,4—^

③当CN=MN时-，yjx2+(-2x+3)2=J(X-1)2+(-2X+2)2,

解得x=2,此时N(2,2).

【知识点】坐标平面内图形的面积、二次函数的解析式、二次函数与三角形综合、等腰三角形的判

定、等腰三角形的概念、一次函数的解析式

6.【答案】

⑴把点4(一2,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx-3(aHO),得

(4a-2b-3=0,

I16a+4b-3=0,

'_3

解得「一%

b=

I4

所以该抛物线的解析式为：y=1x2-Jx-3.

⑵方法一：

设运动时间为t秒，则AP=3t,BQ=t.

：.PB=6-3t.

由题意得，点C的坐标为(0,-3).

在RtABOC中，BC=V32+42=5.

如图1,

过点Q作QH1AB于点H.

QHHCO,

・,・&BHQsxBOC,

.丝一丝明生=£

"OCBCy35'

・•.HQ=13t.

"SAPBQ=,HQ=*6-3t).|t=-5产+白=一总。一I)2+2

当APBQ存在时，0ct<2.

二当t=1时，

q=—

」P8Q最大一行。

答：运动1秒使4PBQ的面积最大，最大面积是

(3)方法一：

设直线BC的解析式为y=依+c(kH0).

把B(4,0),C(0,-3)代入，得［4k+c=0,

解得卜=3

1c=—3,

•••直线BC的解析式为y=jx-3.

•••点K在抛物线上.

•1■设点K的坐标为-|m-3).

如图2,

过点K作KEIIy^,交BC于点E.则点E的坐标为(孙：巾-3).

EK=-m—3—(-m2--m—3]=--m2+-m.

4\84782

Q

当△PBQ的面积最大时，,:S&CBK：SABQ=S:2,S^PBQ=—.

%CBK=1.

SMBK=S^CEK+S〉BEK=[EK,巾+[•EK•(4-m)

=1x4.EK

=2(-1m2+|m)

=--m24-3m.

4

即：-+3m=

解得mr=lym2=3.

《(I，一纵

【解析】

(2)方法二：

设运动时间为t秒，则AP=3t,BQ=t,PB=6-3t,

•••点C的坐标为(0,-3),

8(4,0),

x3

•••iBc-y=i->

过点Q作QHLAB于点H,

3

：•tan/H8Q=-,

4

3

••・sinZHBQ=|,

vBQ=t,

HQ=3/

2

•1­S^PBQ=ipfi-HQ=i(6-3t)x|t=-^t+|t,

•••当t=l时，S*BQ最大=三

(3)方法二：

过点K作KE1久轴交BC于点E,

VSACBK：S»PBQ=5:2,S&PBQ=—,

.c_9

、XCBK=1，

设E(7n，t/n-3),K^7n,|m2——3^,

_

S〉CBK=Ky)(Bx-Cx)

=-x4x(-m—3--m2+-m+3)

2\2847

=一,m2+3%

/---m2+

443’K=-,

•*,TYl-y=1,TTl2=3,

"K1(1，一京，.(3,*)

【知识点】二次函数的解析式、y=axt+bx+c的图象

7.【答案】

⑴将点A,B的坐标代入抛物线的解析式：慰

tyu—ou—U,

解得：a=1,b=3.

二抛物线的解析式为y=x2+3x.

⑵设直线04的解析式为y=kx,

将4(—4,4)代入得：-4k=4,解得fc=-l,

直线。力的解析式为y=-x.

设点P的坐标为(a,a2+3a),则点Q的坐标为(a,-a).

•••四边形AHPQ为平行四边形，

•••AH=QP,

••一a-(a。+3a)4,解得：a——2.

••.P(-2,-2),(?(-2,2).

依据两点间的距离公式可知0Q=2或，OP=2y[2,QP=4,

：.PQ2=OQ2+OP2.

•••△OQP为直角三角形.

•••ZAOP=90°.

(3)如图2所示：在y轴上取点。，使。。=OB,则D(0,3),延长AD交抛物线与点C.

当点C在直线AB上时，ZC4。=ZBAO.

设AC'的解析式y=kx+b,将点4和点B的坐标代入得:

匕晨仁？解得卜=-4,b=-12.

・•・直线AC的解析式为y=-4x-12.

•・・点A的坐标为(-4,4),

・•・ZAOB=45°,

・・・ZAOB=ZAOD.

•・•在bABO和△A。。中，

08=0Df

ZAOB=ZAOD,

AO=AO,

:.AABO0AAOD.

・・・/BAO=ZCAO.

设AC的解析式为y=kx+b,将点4和点D的坐标代入得：

鼠3=4,解得：T

所以直线AC的解析式为y=-；x+3.

综上所述：直线AC的解析式为y=-4x—12或y=—(x+3.

【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象与性质

8.【答案】

(1)x=4;(-2,2)

(2)m-b2

(3)如图，

延长QC到点E,使CE=CQ,连接0E,

■-C为0D的中点，

・•・0C—0D,

•・•/ECO=/QCD,

••・△ECO斗△QCD,

：•0E=DQ=m,

•:AQ=2QC,

：•AQ=QE,

•・・Q0平分/AQC,

・・・Z1=Z2,

:AAQ09〉EQO,

・•.AO=EO=m,

•••A(0,m),

A(O,m)在新图象上,

0=m-m2,

nil=1,m2=0(舍去)，

m=1.

【解析】

(1)当m=2时，y=(x-2)2,则G(2,0),

•・,点P的横坐标为4时，且P在抛物线上，

将x=4代入抛物线解析式得：y=(4-2尸=4,

••・P(4,4),

如图，

连接QG,PG,过点Q作QFLx轴于F,

过点P作PElx轴于E,

由题意得：△GQF94PGE,

则FQ=EG=2,FG=EP=4,

FO=2,

•••<2(-2,2).

(2)已知Q(a,b),则GE=QF=b,FG=m—a,

由(1)可知：PE=FG=m-a,GE=QF=b,即P(jn+b,m-d),

代入原抛物线的解析式得：m-a=+2m(jn+b')+m2,

m—a—m2+b2+2mb-2m2—2mb+m2,

a=m—b2.

故用含b的代数式表示a为：a=m-b2.

【知识点】角边角、二次函数与方程、二次函数的解析式、二次函数的对称轴、全等三角形的性质

(D)、边角边

9.【答案】

(1)把x=0,代入y=—:/+3%+配得y=k.

所以OD=k.

4ac-b24X(*3Z

=k+3,

因为4a4XH)

所以PM=k+3.

(2)因为—~=-----7-3\=2,

')2a2X(-)

所以OM=2,BM=OB-OM=2k+3-2=2k+l.

又PM=k+3,PM=BM,

所以k+3=2/c+1,解得k=2.

所以该抛物线的表达式为y=-：/+3x+2.

(3)①

(I)当点P在矩形AOBC外部时，如图，

过P作PK1。4于点K.

当AD=AP时，

因为AD=AO-DO=2k-k=k,

所以AD=AP=k,KA=KO-AO=PM-AO=k+3-2k=3-k,KP=OM=2,

在RtAKAP中，KA2+KP2=AP2,

所以(3-k)2+22=fc2,解得k=^.

o

n)当点P在矩形AOBC内部时，

当PD=AP时，如图，

过P作PH1于"，4。=k,HD=^,HO=DO+HD=胃

又因为HO=PM=k+3,

所以费=k+3,解得fc=6.

当DP=DA时，如图，

过。作PQ1PM于Q,

PQ=PM-QM=PM-OD=k+3-k=3,

DQ=OM=2,DP=DA=k,

在Rt△DQP中，OP=JDQ2+QP2=V22+32=V13.

所以k=DP=V13.

【解析】

(3)(DvP(2,fc+3),D(O,k),

•••直线PD解析式为y=|x+fc.

•••4(0,2k),

••直线AA'的解析式为y=-|x+2fc.

•••直线PD和直线AA'的交点为gfc.gfc).

••・4(仁亭)•

A'在抛物线y=+3%+k上，

一江(秘y+3x*+k睦"

[k=黑或k=0(舍).

【知识点】y=axb+bx+c的图象、二次函数的解析式、勾股定理

10.【答案】

(1);抛物线y=ax2+bx{a丰0)经过4(3,0),8(4,4),

二将4与B两点坐标代入得落：：：，解得《%二抛物线的解析式是丫=3-3札

(2)设直线OB的解析式为y=k1X,由点8(4,4),得4=4七，解得自=1,

直线OB的解析式为y=x,

直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为y=x-m,

,•1点D在抛物线y=/-3x上，

•••可设D(x,x2-3x),

"点D在直线y=x-m上，

■■X2—3x=x—m,即x2—4x+m=0,

••・抛物线与直线只有一个公共点，

2

4=16-4m=0,解得m=4,此时xr=x2=2,y=x-3x=-2,

■■D点的坐标为(2,-2).

(3)•；直线OB的解析式为y=x，且4(3,0),

•・•点A关于直线0B的对称点A'的坐标是(0,3),根据轴对称性质和三线合一性质得出

ZA'BO=ZABO.

设直线A'B的解析式为、=七》+3,过点(4,4),

4的+3=4,解得k2=

直线"B的解析式是y=；x+3,

VNNBO=/ABO,ZA'BO=/ABO,

BA,和BN重合，即点N在直线A'B上，

设点N(n,^n+3),又点N在抛物线y=x2-3x上，

2

^n+3=n-3n,解得%=n2=4(不合题意，舍去)，

■■N点的坐标为(-装).

方法一：

如图，将4N0B沿x轴翻折，得到△MOB[，则MW),%(4,-4),

■0,D,B]都在直线y=-x±.

P]ODs△NOB,△N0B9△N1OB1,

P]ODs△N1OB1