艺术生高考数学专题讲义：考点6 二次函数与函数的最值

考点六二次函数与函数的最值知识梳理1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于x＝－eq\f(b,2a)对称(3)二次函数对称轴的几种给出形式①二次函数f(x)的顶点坐标为(a,b)，则对称轴为x=a；②二次函数f(x)满足对任意x总有f(x)=f(a)，则对称轴为x；③二次函数f(x)满足对任意x总有f(a+x)=f(a)，则对称轴为xa；④二次函数f(x)满足对任意x总有f(a+x)=f(b)，则对称轴为x.2．函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M.(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(2)对于任意x∈D，都有f(x)≥M.结论M为最大值M为最小值说明：闭区间上的二次函数必有最值.求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．典例剖析题型一二次函数的解析式例1二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．答案f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－1解析依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0，1)，∴4a－1＝1，∴a＝eq\f(1,2).∴f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－1.变式训练已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．答案f(x)＝x2－4x＋3解析∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.解题要点二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴两交点坐标，宜选用零点式．题型二二次函数的图象和性质例2两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图象可能是________．(填序号)②③④答案④解析函数f(x)图象的对称轴为x＝－eq\f(b,2a)，函数g(x)图象的对称轴为x＝－eq\f(a,2b)，显然－eq\f(b,2a)与－eq\f(a,2b)同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧．只有④满足．变式训练如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．答案5解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,2)＝1，,a＋b＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝6.))则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.∴f(x)的最小值为5.题型三闭区间上二次函数最值例3函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式．解析当a<－2时，函数f(x)的对称轴x＝eq\f(a,2)<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a＋5；②当－2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x＝eq\f(a,2)∈[－1，1]，则g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝3－eq\f(a2,2)；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x＝eq\f(a,2)>1，则g(a)＝f(1)＝5－2a.综上所述，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋5（a<－2），,3－\f(a2,2)（－2≤a≤2），,5－2a（a>2）.))变式训练设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．解析∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；当a>1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.综上，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－2a，－2<a≤1，,－1，a>1.))解题要点二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论题型四二次函数恒成立问题例4对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________．答案(－4,4)解析由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－a＞0，,36－45－aa＋5＜0，))解得－4＜a＜4.变式训练已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．解析2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．当x＝0时，适合；当x≠0时，a＜eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,3)))2－eq\f(1,6)，因为eq\f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值eq\f(1,2)，所以a＜eq\f(1,2).综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).解题要点1.二次函数在R上恒成立的两个常见结论：设f(x)＝ax2＋bx＋c，则对于x∈R，二次函数f(x)>0恒成立，二次函数f(x)<0恒成立.2.对于二次函数在某区间上恒成立问题，可以采取分离参数法，然后根据a>f(x)恒成立，则a>f(x)max，a<f(x)恒成立，则a<f(x)min.当堂练习1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为______________．答案f(x)＝x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,ax＋12＋bx＋1＋c－ax2＋bx＋c＝2x.))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，,c＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝1，))则f(x)＝x2－x＋1.2．已知f(x)＝x2＋bx＋c且f(－1)＝f(3)，则f(－3)、c、f(eq\f(5,2))的大小关系是______________．答案c＜f(eq\f(5,2))＜f(－3)解析选.由已知可得二次函数图象关于直线x＝1对称．又f(－3)＝f(5)，c＝f(0)＝f(2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f(－3)＝f(5)＞f(eq\f(5,2))＞f(2)＝f(0)＝c.3.函数y＝2x2－8x＋2在区间[－1，3]上的值域为________．答案[－6，12]解析y＝2(x－2)2－6.当x＝2时，y最小为－6；当x＝－1时，y最大为12.4．已知f(x)＝x2－2mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，2]5．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解析(1)由f(0)＝1，得c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．课后作业填空题1．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是________．答案－1解析函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝eq\f(3,2)＞1，∴函数y＝2x2－6x＋3在x∈[－1,1]上为单调递减函数，∴ymin＝2－6＋3＝－1.2．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则下列说法正确的是________．(填序号)①a>0,4a＋b＝0②a<0,4a＋b＝0③a>0,2a＋b＝0④a<0,2a＋b＝0答案①解析由f(0)＝f(4)可知x＝－eq\f(b,2a)＝2，∴b＋4a＝0，又f(0)>f(1)知f(x)先减后增，即a>0.3．函数f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)<0，则a的取值范围是________．答案－4<a≤0解析当a＝0时，f(x)＝－1在R上恒有f(x)<0；当a≠0时，∵f(x)在R上恒有f(x)<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,a2＋4a<0))，∴－4<a<0.综上可知：－4<a≤0.4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么f(1)、f(2)、f(4)的大小关系是________．答案f(2)<f(1)<f(4)解析∵f(2＋t)＝f(2－t)，∴f(x)关于x＝2对称，又开口向上．∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，且f(1)＝f(3)．∴f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4).5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则a的值为________．答案－2解析∵f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，且x∈[0,1]，∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴a＝－2.6．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是________．答案a≤2或a≥3解析对称轴a≤2或a≥3，函数在(2,3)内单调递增．7．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．答案[1，2]解析如图，由图象可知m的取值范围是[1，2]．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于________．答案2解析函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1在[1，b]上递增，由已知条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1,fb＝b,b＞1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－3b＋2＝0,b＞1))，解得b＝2.9．函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．答案[2,4]10．函数f(x)＝－x2＋3x－1，x∈[3，5]的最小值为．答案－11解析f(x)＝－x2＋3x－1,其对称轴为,所以函数f(x)＝－x2＋3x－1在[3，5]上递减，所以当x＝5时，函数有最小值为－11．11．若函数f(x)＝ax2＋bx＋6满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为__________．答案6解析由f(－1)＝f(3)知，对称轴x＝－eq\f(b,2a)＝1，则b＝－2a，所以f(2)＝4a＋2b＋6＝6.二、解答题12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[