2018届数学复习第三章三角函数、解三角形课时作业22函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（含解析）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE1学必求其心得，业必贵于专精课时作业22函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用一、选择题1．（2016·新课标全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin(2x＋eq\f（π,6））的图象向右平移eq\f(1，4)个周期后，所得图象对应的函数为(）A．y＝2sin(2x＋eq\f(π，4)) B．y＝2sin（2x＋eq\f(π,3）)C．y＝2sin（2x－eq\f(π,4）） D．y＝2sin（2x－eq\f（π，3））解析:函数y＝2sin(2x＋eq\f(π,6））的周期为π,所以将函数y＝2sin（2x＋eq\f(π,6））的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y＝2sin[2（x－eq\f（π，4)）＋eq\f（π，6)］＝2sin(2x－eq\f(π，3))．故选D。答案：D2．已知函数f（x)＝Asin（ωx＋φ）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（A〉0,ω>0，|φ|<\f(π，2)））的部分图象如图所示,则φ＝（)A．－eq\f（π，6） B。eq\f(π，6)C．－eq\f（π，3) D.eq\f（π,3)解析：由图可知A＝2，T＝4×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，3)－\f(π，12）））＝π，故ω＝2，又feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,12)））＝2，所以2×eq\f（π,12）＋φ＝eq\f（π,2）＋2kπ(k∈Z)，故φ＝eq\f（π,3）＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜<eq\f(π，2),所以φ＝eq\f(π,3).答案:D3．(2017·渭南模拟）由y＝f(x)的图象向左平移eq\f（π,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))）的图象,则f(x）为(）A．2sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,2）x＋\f（π,6）)) B．2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（6x－\f(π,6))）C．2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3,2）x＋\f（π，3)）) D．2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f（π,3）))解析：y＝2sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（3x－\f（π,6））)答案:B4．已知ω〉0，0<φ<π,直线x＝eq\f(π，4)和x＝eq\f(5π,4）是函数f(x）＝sin（ωx＋φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(）A。eq\f(π，4） B。eq\f（π,3）C。eq\f(π,2） D。eq\f（3π,4)解析：由题意得周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π，4）－\f(π,4)））＝2π，∴2π＝eq\f(2π,ω)，即ω＝1,∴f(x)＝sin(x＋φ），∴feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,4))）＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,4)＋φ）)＝±1。∵0<φ<π，∴eq\f(π，4）〈φ＋eq\f（π，4）<eq\f（5π,4).∴φ＋eq\f（π,4)＝eq\f（π,2），∴φ＝eq\f（π,4).答案：A5．(2017·湖北武汉南昌区调研)已知函数f（x）＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π，6))）－1(ω〉0)的图象向右平移eq\f（2π,3）个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(）A．3B.eq\f(3，2)C。eq\f(4，3)D。eq\f(2,3）解析：将f（x)的图象向右平移eq\f（2π,3)个单位后得到图象的函数解析式为2sin[ω（x－eq\f（2π，3)）＋eq\f(π,6)］－1＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（ωx－\f(2ωπ，3）＋\f(π,6）)）－1,所以eq\f（2ωπ,3）＝2kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z。因为ω>0，k∈Z，所以ω的最小值为3，故选A.答案：A6．(2017·福建漳州三校联考)设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(ω〉0，－\f(π,2)〈φ<\f（π,2））)的图象关于直线x＝eq\f(2π，3）对称，它的最小正周期是π，则（）A．f（x）的图象过点eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(1,2）))B．f（x）图象的一个对称中心是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12）,0)）C．f(x)在eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（π，12），\f（2π,3）))上是减函数D．将f(x)的图象向右平移|φ｜个单位得到函数y＝3sinωx的图象解析:因为函数的最小正周期为π，所以ω＝2，又函数的图象关于直线x＝eq\f(2，3）π对称,所以2×eq\f(2，3）π＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z）．即φ＝kπ－eq\f(5π，6)（k∈Z)，又－eq\f（π,2）〈φ<eq\f(π,2）。所以φ＝eq\f(π,6)。∴函数的解析式为f（x)＝3sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，6)））。当x＝0时，f(0)＝eq\f（3，2)，故A不正确；当x＝eq\f(5π,12)时,f(x）＝0，所以函数f(x）图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5π,12），0))，故B正确；当eq\f（π，12)≤x≤eq\f（2π,3），即2x＋eq\f（π,6)∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（π,3），\f（3π,2)))时，函数f(x）不是单调减函数，故C不正确;将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y＝3sin（ωx＋φ－ω|φ｜）的图象，不是函数y＝3sinωx的图象,故D不正确,故选B。答案：B二、填空题7．(2016·江苏卷)定义在区间［0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．解析:由sin2x＝cosx可得cosx＝0或sinx＝eq\f(1,2)，又x∈［0,3π］，则x＝eq\f(π，2),eq\f(3π，2），eq\f（5π,2)或x＝eq\f(π，6)，eq\f(5π，6)，eq\f（13π，6)，eq\f(17π，6)，故所求交点个数是7。答案：78．(2016·新课标全国卷Ⅱ)函数y＝sinx－eq\r(3）cosx的图象可由函数y＝sinx＋eq\r(3)cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析:函数y＝sinx－eq\r(3)cosx＝2sin（x－eq\f(π,3))的图象可由函数y＝sinx＋eq\r（3)cosx＝2sin(x＋eq\f(π，3））的图象至少向右平移eq\f（2π,3)个单位长度得到．答案：eq\f（2，3)π9．(2017·辽宁沈阳名校联考)函数f(x）＝Asin（ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(A>0,ω〉0，｜φ｜〈\f(π,2)）)的部分图象如图所示，若x1，x2∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π，6)，\f（π，3)）），且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2）＝________.解析：A＝1，T＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，3)＋\f（π，6）)）＝π，ω＝eq\f(π，T)＝2,由feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，12)）)＝1，得sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2×\f（π,12）＋φ）)＝1，结合｜φ|〈eq\f（π,2），得φ＝eq\f(π，3），由f（x1)＝f(x2）,知x1＋x2＝2×eq\f(π，12)＝eq\f(π,6）,于是f(x1＋x2)＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π，6）＋\f(π,3）)）＝eq\f(\r(3）,2）.答案：eq\f（\r(3),2)10．（2017·云南昆明一中考前强化)某港口水的深度y（米)是时间t(0≤t≤24，单位：时）的函数,记作y＝f(t),下面是某日水深的数据，经长期观察，y＝f（t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωt＋b(A>0，ω〉0）的图象。t(时)03691215182124y(米)10。013.09。97.010.013.010。17.010。0根据以上数据，可得函数y＝f(t)的近似表达式为________．解析：从表可以看出，当t＝0时，y＝10；t＝12时，y＝10,可知函数的最小正周期T＝12,由eq\f（2π,ω）＝12得ω＝eq\f(π，6),b＝10；由t＝3时，y＝13得Asineq\f(π,2）＋10＝13，即A＝3，所以函数y＝f(t）的近似表达式为y＝3sineq\f(π,6)t＋10，0≤t≤24。答案：y＝3sineq\f(π，6）t＋10，0≤t≤24三、解答题11．已知函数f(x）＝eq\r（2）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4））)＋1。（1)求它的振幅、最小正周期、初相;(2)画出函数y＝f(x）在eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2）,\f（π，2))）上的图象．解：(1）振幅为eq\r（2)，最小正周期T＝π，初相为－eq\f(π，4）。（2)图象如图所示．12．设f（x)＝2eq\r(3)sin(π－x)sinx－（sinx－cosx)2。（1）求f（x）的单调递增区间；（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移eq\f（π,3）个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g(eq\f(π,6))的值．解：（1）由f（x)＝2eq\r（3）sin(π－x）sinx－(sinx－cosx）2＝2eq\r(3）sin2x－（1－2sinxcosx)＝eq\r（3)(1－cos2x）＋sin2x－1＝sin2x－eq\r（3）cos2x＋eq\r（3）－1＝2sin（2x－eq\f（π，3))＋eq\r（3)－1，由2kπ－eq\f(π，2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π，2)（k∈Z)，得kπ－eq\f（π,12）≤x≤kπ＋eq\f(5π，12）(k∈Z）．所以f（x)的单调递增区间是［kπ－eq\f（π，12），kπ＋eq\f(5π,12）］(k∈Z)．（或(kπ－eq\f（π，12），kπ＋eq\f(5π，12））(k∈Z））(2)由（1）知f（x)＝2sin（2x－eq\f(π,3)）＋eq\r（3）－1.把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变),得到y＝2sin(x－eq\f（π,3))＋eq\r(3)－1的图象,再把得到的图象向左平移eq\f（π，3）个单位，得到y＝2sinx＋eq\r（3)－1的图象；即g（x）＝2sinx＋eq\r（3）－1。所以g（eq\f(π，6）)＝2sineq\f(π,6）＋eq\r（3)－1＝eq\r(3）.1．（2017·福建师大附中联考）已知函数f(x)＝asinx－eq\r(3）cosx的图象关于直线x＝－eq\f(π，6)对称，且f(x1)·f(x2）＝－4,则|x1＋x2｜的最小值为(）A.eq\f(π,6) B。eq\f（π,3）C。eq\f(5π，6) D。eq\f（2π，3)解析：f（x)＝asinx－eq\r（3）cosx＝eq\r（a2＋3）sin(x－φ)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（其中tanφ＝\f(\r（3)，a))).∵f(x)的图象的对称轴为直线x＝－eq\f(π,6），∴feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6))）＝－eq\f(1,2）a－eq\f（3，2）＝±eq\r(a2＋3)。得（a－1)2＝0，∴a＝1.∴f（x)＝2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（π,3)））.∵f(x1）·f（x2)＝－4。∴直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x）图象的两条对称轴,且f(x）在x＝x1和x＝x2处的函数值互为相反数．令x1＝－eq\f(π，6)＋2k1π，k1∈Z,x2＝eq\f(5π,6)＋2k2π，k2∈Z，则|x1＋x2｜min＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（5π，6）－\f（π，6））)＝eq\f（2π,3）。答案：D2．(2017·山东青岛一模）已知函数f（x)＝Asin（ωx＋φ)（A>0,ω>0,0<φ〈π）是偶函数，它的部分图象如图所示,M是函数f(x）图象上的点,K，L是函数f(x)的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形,则f（x)＝________。解析：由图可知A＝eq\f(1，2），因为△KLM为等腰直角三角形,则T＝2｜KL｜＝2×2×eq\f（1，2）＝2，所以ω＝eq\f(2π，T)＝π，则函数f(x)＝eq\f(1，2)sin（πx＋φ）．又函数f（x)为偶函数，则φ＝kπ＋eq\f(π,2),因为0<φ〈π,所以φ＝eq\f（π，2），所以f（x)＝eq\f(1,2）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（πx＋\f（π，2)))＝eq\f(1,2）cosπx.答案：eq\f(1,2）cosπx3．(2017·湖南郴州第一次质量检测)已知函数f（x）＝asinx＋bcosx（其中ab≠0)，且对任意x∈R，有f（x)≤feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)）)，给出以下命题:①a＝b；②feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，4）)）为偶函数；③函数y＝f(x）的图象关于点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5π，4），0)）对称；④函数y＝f′(x)的图象可由函数y＝f(x）的图象向左平移eq\f（π，2)得到；⑤函数f（x)在y轴右侧的图象与直线y＝eq\f(1，2)a的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2,P3，P4，…,则｜P2P4｜＝2π.其中正确命题的序号是________．(将所有正确命题的序号都填上）解析:f(x）＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2）sin（x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a）。对任意x∈R,有f（x）≤feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,4))）。则sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,4)＋φ））＝1，φ＝eq\f（π，4）＋2kπ(k∈Z)．①项，φ＝eq\f（π，4）＋2kπ,tanφ＝eq\f（b,a）＝1,a＝b，故①项正确;②项,由上可得f（x）＝eq\r(a2＋b2）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，4）））,则feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，4）)）＝eq\r（a2＋b2)sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,4)＋\f(π，4））)＝eq\r(a2＋b2)cosx，为偶函数，故②项正确；③项，函数y＝f（x）的图象的对称轴为x＝eq\f（π,4）＋kπ,对称中心为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3π，4)＋kπ，0）)，故③项错误；④项，∵f(x）＝eq\r(a2＋b2)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,4)))，f′(x)＝eq\r（a2＋b2)coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4）)），∴f′（x)＝eq\r（a2＋b2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，4）－\f（3π，2））），∴④项错误．⑤项，根据正弦函数图象的性质,|P2P4｜＝T＝2π，故⑤项正确．故本题正确答案为①②⑤.答案：①②⑤4．已知函数f（x）＝2cosπx·cos2eq\f（φ，2）＋sin[（x＋1)π］·sinφ－cosπxeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0〈φ<\f（π，2))）的部分图象如图所示．(1)求φ的值及图中x0的值；(2)将函数f(x）的图象上的各点向左平移eq\f(1,6）个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的eq\r（3)倍，得到函数g（x）的图象，求函数g(x）在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)，\f(1，3）））上的最大值和最小值．解：(1）f(x)＝2cosπx·cos2eq\f(φ，2)＋sin[(x＋1）π]·sinφ－cosπx＝cosπx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al