整体把握数学思想方法在数学教学中的作用

关于整体把握数学思想方法在数学教学中的作用第1页，共121页，2023年，2月20日，星期四

“数学思想”往往是观念的、普遍的、深刻的、内在的、概括的；数学方法——用数学思想解决具体问题时逐渐形成的程序化操作。如换元法，代入法，配方法等。

“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。

“知识”和“技能”是显性的，“思想”“经验”是隐性的

数学思想是数学教学的核心和精髓！数学思想——将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西。第2页，共121页，2023年，2月20日，星期四《课标》中的基本思想：数学抽象的思想：分类、集合、数形结合、符号表示、对称、对应、有限与无限等数学推理的思想：归纳、演绎、化归、联想、类比、特殊与一般、代换、逐步逼近等数学建模的思想：简化、量化、函数、方程、优化、随机、抽样统计等。第3页，共121页，2023年，2月20日，星期四例21图形分类。如图6所示，桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类。想一想：应当如何确定分类的标准？根据分类的标准可以把这些扣子分成几类？然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。图6第4页，共121页，2023年，2月20日，星期四例.将七个杯子放在桌子上，三个杯口朝上，四个杯口朝下，现要求每次同时翻转其中四个，使杯口朝向相反。问能否经过有限次翻转后，使所有杯子杯口均朝下？关键：如何“符号表示”第5页，共121页，2023年，2月20日，星期四历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。数学思想方法在历史上经历了三次重大转折：

◆从算术到代数；

◆从常量数学到变量数学；

◆从确定数学到随机数学。

回顾、总结和分析这三次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。第6页，共121页，2023年，2月20日，星期四

§1从算术到代数什么是算术呢？算术的局限性、代数的产生和代数学体系结构的形成第7页，共121页，2023年，2月20日，星期四

一、什么是算术呢？

算术（arithmetic)是每一个人开始学习数学时必须学习的、不可回避的内容，也是一门古老的、原始的数学。而算术的思维是一个人数学思维发展的基础。那么什么是算术呢？

古代算术的主要内容是正整数、零和正分数的性质与四则运算。第8页，共121页，2023年，2月20日，星期四内容包括两部分：讨论自然数的读法、写法和基本运算；进位制和记数法；

分数与百分数计算，各种量及其计算；比和比例。

算术运算的方法与原理的应用。加、减、乘、除的方法；算术应用题。第9页，共121页，2023年，2月20日，星期四在中国古代，算术一词正式出现于《九章算术》中。当时的“算术”是泛指数学的全体，与现代的意义不同。

直到宋元时代，才出现了“数学”这一名词，在数学家的著作中，往往“数学”与“算学”并用。

从19世纪起，西方的一些数学学科，包括代数、三角等相继传入中国。1937年，清华大学仍设“算学系”。1939年为了统一起见，才确定专用“数学系”

第10页，共121页，2023年，2月20日，星期四在晚清(1903)颁布学制小学设算术课，中学设数学课（包括算术、代数、几何、三角、簿记）。民国初年(1912～1913)学制，中学由五年改为四年，数学课程不再讲授簿记。

1922年公布的学制，将小学、中学都改为六年，各分初高两级，初小四年,高小二年,初高中皆三年。这个学制基本沿用到1949年。

第11页，共121页，2023年，2月20日，星期四现代算术和古代算术的区别：

（1）算术的内容是古代的成人（包括数学家）所研究的对象，现代这些内容已变成了少年儿童的数学。

（2）在现代小学数学里，总结了长期以来所归结出来的五条基本运算性质，即加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律。不仅是小学数学里所学习的数运算的重要性质，也是整个数学里着重研究的主要性质。

（3）在现代的小学数学里，还孕育着近代数学里的“集合”、“函数”、“算法”、“概率”等数学基础概念的思想。第12页，共121页，2023年，2月20日，星期四

二、算术的局限性

主要表现在它限制抽象的未知数参与运算，只允许具体的、已知的数进行运算。因而导致其在解决问题的方法上存在局限性。第13页，共121页，2023年，2月20日，星期四

『古代名题』：一个农夫有若干只鸡与兔，它们共有50个头，140只足，问鸡兔各几只？解1．假设50只全是鸡，则共有502只足。多出（140－502＝40）40只足。原因何在？在于每只兔子当作一只鸡时少计两只足，故40÷2＝20应是兔子的头数。列式：（140－502）÷（4－2）=20（兔头数）50－20＝30（鸡头数）×××第14页，共121页，2023年，2月20日，星期四不同的同学因思路不同，解法也迥然不同。有一位同学就曾给出如下的算式：解2．140÷2－50＝20（兔头数）50－20＝30（鸡头数）第15页，共121页，2023年，2月20日，星期四学生的解释：把鸡的腿捆在一起都看成金鸡独立的“单脚鸡”，把兔看成前脚抱着大萝卜站着的“双脚兔”。这时有头50，有足（140÷2）70只。因为每只“双脚兔”比“单脚鸡”多计一只脚，共计多计70－50＝20只脚，这也正是免的头数！这个解释简直叫人拍案叫绝！但这个同学若不讲出来，怎么能从140÷2－50=20的算式中看到上述的思维过程呢？第16页，共121页，2023年，2月20日，星期四代数解法：解3．设农夫有鸡x只，共足2x，有兔50－x只，共足4（50－x）由鸡兔总足数为140，得

2x＋4（50－x）=140解得x=30（鸡的只数）50－30=20（兔的只数)第17页，共121页，2023年，2月20日，星期四【课

标】从上面的讨论可以看到，用四则运算方法，思考最困难，但是结果最直接；用二元一次方程组的方法，思考最简洁，但是计算较繁琐。在教学过程中，可以结合具体的教学内容使用这个例子，最后进行比较，启发学生思考。解3．设鸡x只，兔子数为y，可得

x+y=502x+4y=140，求解得到x=30和y=20。代数解法：第18页，共121页，2023年，2月20日，星期四

算术方法因题而异，因思路而异。

算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出用已知数据表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。

这种方法的关键之处是列算式。

但是面临具有较为复杂数量关系的实际问题时，列算式是非常困难的，因此这种方法比较笨拙，甚至无法解决问题。第19页，共121页，2023年，2月20日，星期四

三、代数的产生

算术的这种局限性，在很大程度上限制了其应用范围。但却由此促使新的数学分支——代数的产生。第20页，共121页，2023年，2月20日，星期四代数方法则正如牛顿所说：

“要想解一个有关数目的问题或有关量的抽象关系的问题，只要把问题里的日常语言翻译成代数的语言就成了”。

第21页，共121页，2023年，2月20日，星期四1、“代数”术语的来源

“代数”（algebra）一词最早来自阿拉伯数学家阿尔·花拉子米：《还原和对消的科学》（830）

“代数”作为一个数学专有名词，在我国正式使用，最早是在1859年。清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。

第22页，共121页，2023年，2月20日，星期四李善兰在翻译中首创了一批汉语数学名词：

◆代数学：方程式、代数、函数、常数、变数、系数、未知数、虚数等近30个名词。◆解析几何：原点、圆锥曲线、抛物线、双曲线、渐近线、切线、法线、（超）越曲线，摆线、蚌线、螺线等20多个名词；

◆微积分：无穷、极限、曲率、歧点、微分、积分等20多个名词。这批译名受到后世学者的好评,它标志着这批数学概念的标准化已完成，为普及数学扫除了障碍.第23页，共121页，2023年，2月20日，星期四三种数——有理数、无理数、复数三种式——整式、分式、根式三种方程(组)——整式方程、分式方程、根式方程

初等代数基本内容第24页，共121页，2023年，2月20日，星期四三大规则五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；两条等式基本性质：等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方,底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积。第25页，共121页，2023年，2月20日，星期四置换培训：南充X中观摩课教学内容：同底数幂的除法（指数相减，幂相除）（幂相除，指数相减）強调“m,n是正整数”,“指数相减，作除法”。第26页，共121页，2023年，2月20日，星期四

关于“零指数”教学方案的设计可作如下考虑：教学目标不仅要包括了解零指数幂的“规定”、会进行简单计算，还要包括感受这个“规定”的合理性，并在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神。例81“零指数”的教学设计。本实例希望体现课程目标在课堂教学中的整体落实——通过本节课的学习，学生不仅理解和掌握有关的知识技能，而且初步了解指数概念是如何扩充的，感受零指数“规定”的合理性。指数的扩充：第27页，共121页，2023年，2月20日，星期四通过计算提出问题：如果应用同底数幂的运算性质，可以得到那么有什么意义呢？等于多少呢？我们需要做出解释，数学面临了挑战。我们先回顾简单的事实：，于是可以自然提出猜想：，然后采用各种途径引导学生感受规定“”的合理性。第28页，共121页，2023年，2月20日，星期四例如：用细胞分裂作为情境，提出问题：一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个……那么，一个细胞没有分裂时呢？观察数轴上表示2的正整数次幂16，8，4，2，等等点的位置变化，可以发现什么规律？再观察下列式子中指数、幂的变化，可以发现下面的规律：第29页，共121页，2023年，2月20日，星期四这样，在学生感受“”的合理性的基础上，做出零指数幂意义的“规定”，即在规定的基础上，再次验证这个规定与原有“幂的运算性质”是无矛盾的，原有的幂的运算性质可以扩展到零指数。例如，计算第30页，共121页，2023年，2月20日，星期四综上，学生在学习“零指数”时将经历如下的过程：

面对挑战进行思考—-提出“规定”的猜想—-通过各种途径说明“规定”的合理性—-做出“规定”—-验证这种“规定”与原有知识体系无矛盾—-指数概念和性质得到扩展。

这样的过程较充分地体现了数学自身发展的轨迹，有助于学生感悟指数概念是如何扩展的，他们借助学习“零指数”所获得的经验，可以进一步尝试对负整数指数幂的意义做出合理的“规定”。这样的过程较充分地展示了“规定”的合理性，有助于发展学生的理性思维。第31页，共121页，2023年，2月20日，星期四

初等代数的基本思想

首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。方程思想是初等代数的核心！第32页，共121页，2023年，2月20日，星期四【鸡兔同笼】思想方法的演变鸡数+兔数=502×鸡数+4×兔数=140算术X+Y=502X+4Y=140X+Y=m2X+4Y=n(特殊到一般)(特殊到一般)代数第33页，共121页，2023年，2月20日，星期四(特殊到一般)方程组或直线（引入矩阵）矩阵方程第34页，共121页，2023年，2月20日，星期四(引入行列式)线性代数第35页，共121页，2023年，2月20日，星期四初等代数的两条主线数系：正整数→整数→有理数→实数→复数运算：加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等代数结构的基础！第36页，共121页，2023年，2月20日，星期四

2．数学符号思想数学符号是代数的基本特征，数学符号的诞生和发展在一定程度上体现了初等代数的产生和发展历程。

第37页，共121页，2023年，2月20日，星期四初等代数的数学符号：（1）数量符号：1,2；1.54,4.3；（2）运算符号：=，≈，<,>.≤,≥,∥,⊥,≌,∽等＋,－,×,÷,（3）关系符号：（4）结合符号：（），［］，｛｝（５）性质符号：＋，－，︱︱，（６）缩略符号：第38页，共121页，2023年，2月20日，星期四

第一阶段：文字代数开始向简写代数转变

古希腊数学家丢番图（246—330年）

第39页，共121页，2023年，2月20日，星期四『代数学之父』丢番图西方人将古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖。希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜於解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被后人称为『代数学之父』。第40页，共121页，2023年，2月20日，星期四『丢番图的墓志铭』这里是一座石碑，里面安葬着丢番图。他的寿命有多长，下面这些文字可以告诉你。他的童年占一生的1/6，接着1/12是少年时期，又过了1/7的时光，他找到了终生伴侣。5年之后，婚姻之神赐给他一个儿子，可是儿子命运不济，只活到父亲寿数的一半，就匆匆离去。后来4年，丢番图因为失去爱子而伤悲，终于告别科学，离开了人世。第41页，共121页，2023年，2月20日，星期四丢番图《算术》创造了一套缩写符号，比如，用表示未知数，用表示常数项。二次幂---；三次幂---；四次幂---；五次幂---；减号---。丢番图的《算术》是数学史上的一个里程碑。第42页，共121页，2023年，2月20日，星期四方程中所有的负项都放在一个减号后，未知数乘幂的系数是用放在该幂号后的希腊数字表示，方程记作第43页，共121页，2023年，2月20日，星期四

第二阶段：符号系统地引进到数学十六世纪时，韦达将符号系统地引进到数学中。例如韦达用元音字母表示未知量，用辅音字母表示已知量。在韦达以前，通常使用不同的字母或符号来表示一个量的各次幂。韦达则使用同一个字母，再加以适当的说明，来表示这些幂。如韦达把我们现在所写的x，x2，x3分别记为A，Aquadratum，Acubum。第44页，共121页，2023年，2月20日，星期四第三阶段：数学符号的完善与创新

笛卡尔、莱布尼兹和欧拉改进和创设了一些新的数学符号，使数学符号成为数学的基本特征。例如，笛卡尔在1637年用字母表中后几个字母表示未知量，如x，y，z，而用前几个字母表示已知量，如a，b，c等，这就是现在我们仍然采用的惯例。第45页，共121页，2023年，2月20日，星期四对于一个量的各次幂，笛卡尔还引入了现在仍然采用的指数的统一写法：x，x2，x3等。笛卡尔提出和使用的许多符号基本上现在一直在沿用。

笛卡尔等人对抽象符号的普遍使用，表明初等代数已开始进入成熟时期。

第46页，共121页，2023年，2月20日，星期四

17世纪以后，代数在解方程的基础上，先后沿两个方向发展：

代数方程论---当代数方程的次数增加时围绕代数方程的根式解法发展而形成。

线性代数---当未知数的个数与代数方程的个数同步增加时围绕方程组的解法而形成。第47页，共121页，2023年，2月20日，星期四二次方程求根公式第48页，共121页，2023年，2月20日，星期四三次方程求根公式第49页，共121页，2023年，2月20日，星期四四次方程求根公式第50页，共121页，2023年，2月20日，星期四到19世纪中期，法国数学家伽罗瓦明确而彻底的解决了哪些方程可以用代数运算求解。抽象代数阶段---引进了群和域的概念，从而使代数学进入结构时代。这种理论的重要意义不在于解决高次方程根式解的问题，而在于通过它的研究使代数学的发展进入了一个更高阶段。伽罗瓦(varisteGalois,1811-1832)第51页，共121页，2023年，2月20日，星期四什么是结构？

四、代数结构思想的形成结构，就是事物间的相互联系和规律。“结构”是诗词的生命。【法】布尔巴基------“数学是研究抽象结构的理论”第52页，共121页，2023年，2月20日，星期四

数学中研究的对象本无所谓结构但引入关系后就形成了结构。如，初等代数中，研究的对象为全实数及字母组成的集合G；引入运算关系：＋,－,×,÷,则（1）G中只有“×”运算叫单项式；（2）G中只有“＋，－”运算叫多项式；（3）G中只有“＋，－，×”运算叫整式；（4）G中只有“＋，－，×，÷”运算叫有理式；（5）G中含有“”运算叫无理式；（6）G中含有“”运算叫代数式；＋,－,×,÷,第53页，共121页，2023年，2月20日，星期四第54页，共121页，2023年，2月20日，星期四例全体正有理数集对于数的乘法运算构成一个群同样，全体整数Z对于数的加法运算构成一个群（Z，+）第55页，共121页，2023年，2月20日，星期四BCAAAAAABBBBBCCCCC旋转变换：轴反射变换：轴OA轴OB轴OC第56页，共121页，2023年，2月20日，星期四BCAAAAAABBBBBCCCCC置换第57页，共121页，2023年，2月20日，星期四（1）封闭性（2）结合律（3）存在单位元（4）存在逆元第58页，共121页，2023年，2月20日，星期四现在的抽象代数有群、环、域、模、格、同调以及范畴等代数结构。

这些代数结构无论就数学本身或在其应用中都具有重大的意义，以前所累积的大量的代数内容是创造抽象代数的基础。第59页，共121页，2023年，2月20日，星期四

抽象代数与初等代数在思想方法上的差别：

初等代数属于计算性的，并且只限于研究实数和复数等特定的数系，而抽象代数是概念性、公理化的，它的对象是一般的抽象代数结构。因此，抽象代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性，这就使抽象代数的应用范围更加广泛。第60页，共121页，2023年，2月20日，星期四§2从常量数学到变量数学

算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象。因此这部分内容也称为常量数学。运用常量数学可以有效地描述事物和现象相对稳定的状态。可是，对于描述运动和变化，却是无能为力的。于是便产生了从量上描述事物的运动和变化规律的数学部分——变量数学。从常量数学到变量数学，是数学在思想方法上的又一次重大转折。第61页，共121页，2023年，2月20日，星期四

1．自然科学中研究变量的几个典型问题

十七世纪以前生产和自然科学所提出的问题，常量数学大都可以解决，对变量数学的需求缺乏迫切性。

然而，到了十七世纪，随着欧洲封建社会开始解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过渡，生产和自然科学部门，向数学提出一系列必须从运动变化和发展观点来研究事物的新问题。

第62页，共121页，2023年，2月20日，星期四

这些新问题，大体可以分为以下五种类型：

第一，描述非匀速运动物体的轨迹。

开普勒在总结大量观测资料的基础上，发现行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆；伽利略明确提出，各种抛射物体诸如炮弹和石头的运动轨迹是抛物线。他们的工作引起了人们对圆锥曲线重新研究。圆锥曲线本来早在古希腊时代就被认真研究过，不过在十六世纪之前人们只是出自纯数学的兴趣，而且是用静态的观点来研究图形的性质，即把它们看作是由平面从不同角度截锥体而来的。行星绕日运动和抛体运动则要求人们用运动和变化的观点来研究圆锥曲线，即把曲线看成是经物体运动而生成且随时间而变化着的轨迹。

第63页，共121页，2023年，2月20日，星期四

第二，求变速运动物体的速度或路程。

已知变速运动的物体在某段时间内经过的路程，求物体在任意时刻的速度和加速度：反过来，已知物体运动的速度或加速度，求某段时间内经过的路程。

求物体运动的速度或路程是一个古老问题，但以前人们处理的大都是匀速运动的情况，对于变速运动，只能采用求平均速度的方法给出问题的近似解。自然科学的发展则要求精确地求出变速运动的物体在某一时刻的瞬时速度，或在某一段时间内所经过的路程。这就使传统的数学方法完全不适用了。

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第三，求曲线在任一点的切线。

这个问题主要来源于光学和力学的需要。在光学中，要研究光线在不同介质的通道，这就涉及到光线在曲面上的反射角或进入另一个介质的折射角，而这些角是光线同曲线的法线所夹的角，法线又是垂直于切线的，所以问题就归结于求出曲线的切线；在力学中，运动物体在它轨迹上任一点的运动方向，实质上就是轨迹上这一点的切线方向。第65页，共121页，2023年，2月20日，星期四

第四，求变量在某种条件下所能达到的最大值或最小值。

力学和天文学涉及到的这类问题较多。例如，炮弹运行的水平距离是一个随发射角的变化而变化的变量，求发射角为多大时这个水平离最大。再如，行星运动与太阳距离是个变量，求这个变量所能达到的最大值和最小值等等。第66页，共121页，2023年，2月20日，星期四

第五，计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心等。

求积问题也是一个古老的问题。古希腊学者为解决这类问题曾创立穷竭法，但这个方法缺乏一般性，只能解决某些特殊问题。求物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力，就其思想方法而言，也属于这一类问题。第67页，共121页，2023年，2月20日，星期四

不难看出上述五类问题有一个共同的特征就是：要求把“变量”作为其研究象。

这些问题成为十六、十七世纪数学研究的中心课题，正是对这个中心课题的深入研究，导致了变量数学的产生。

第68页，共121页，2023年，2月20日，星期四2．变量数学的产生及其意义

变量数学产生于十七世纪。它大体上经历了两个具有决定性的重大步骤：第69页，共121页，2023年，2月20日，星期四

第一个步骤----解析几何的产生。

1637年，法国数学家笛卡儿发表《方法论》一书，书后有三篇附录，其中一篇叫做《几何学》。在这篇附录中，他首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。这篇附录的问世，是解析几何产生的重要标志。第70页，共121页，2023年，2月20日，星期四

第二个决定性步骤----微积分的创立。

十七世纪许多著名数学家、天文学家和物理学家都参与了这一发明的研究工作。其中贡献最大的要属牛顿(1642一1727)和莱布尼茨(1646—1716)两个人。牛顿主要是从运动学来研究和建立微积分的。他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文献中。这一天可做为微积分诞生的日子。第71页，共121页，2023年，2月20日，星期四

求函数y=的流数，设x变为x+o,于是相应变为

两边减去,得

这个量表示对应于x变到x+o,所发生的变化.也就是当x获得增量o时，所获得增量.牛顿的“最初比”与“最终比”第72页，共121页，2023年，2月20日，星期四为了略去含有o的项，牛顿设想出了考虑x和的增量之比，即“最初比”:当增量o消失时，它们的“最终比”为:流数“是消失了的量的鬼魂！”————贝克莱第73页，共121页，2023年，2月20日，星期四

我国高中数学教材中的微积分旧教材：数列极限、函数极限——导数与微分——导数应用——不定积分——定积分——定积分的应用。新教材：变化率——导数及其几何意义——导数的应用——定积分——微积分基本定理——定积分的简单应用。第74页，共121页，2023年，2月20日，星期四第75页，共121页，2023年，2月20日，星期四

导数概念传统的导数概念的引入，同时考虑两个具体问题：物理问题------求运动物体在给定时刻的瞬时速度；几何问题-------求曲线在给定点的切线的斜率。最后都归结为如下形式的极限：第76页，共121页，2023年，2月20日，星期四（1）引例问题1

气球膨胀率：很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学角度，如何描述这种现象呢？设气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm)）之间的函数关系式，一、导数概念第77页，共121页，2023年，2月20日，星期四如果将半径r表示为体积V的函数，那么当空气容量从0增加到1L时，气球的半径增加了气球的平均膨胀率为第78页，共121页，2023年，2月20日，星期四类似地，当空气的容量V从1L增加到2L时，气球的半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了。第79页，共121页，2023年，2月20日，星期四问题2

高台跳水：人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系

如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么：在这段时间里，在这段时间里，第80页，共121页，2023年，2月20日，星期四(2)特征归纳如果上述两个问题中的函数关系用表示，那么问题中的变化率可用式子表示，把这个式子称为函数的平均变化率。习惯上用表示即。可以把看作是相对的一个“增量”，也可用代替；类似地，，于是平均变化率可以表示为。第81页，共121页，2023年，2月20日，星期四（3）导数概念在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度。那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如在t=2时的瞬时速度是多少？通过考察t=2附近的情况，在t=2之前或之后，任意取一个时刻是时间的改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.第82页，共121页，2023年，2月20日，星期四当△t<0时，在[2+△t,2]这段时间内当△t>0时，在[2,2+△t]这段时间内通过对△t取值，可以发现，当△t趋于0时，即无论从小于2一边，还是从大于2一边趋于2是，平均速度都趋于一个确定的值-13.1第83页，共121页，2023年，2月20日，星期四第84页，共121页，2023年，2月20日，星期四从物理角度看，时间间隔无限小时，平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度。因此，运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s。

为了表述方便，我们用表示“当t=2，当△t趋于0时，平均速度趋于确定的值-13.1”。第85页，共121页，2023年，2月20日，星期四一般地，函数在处的瞬时变化率是称它为函数在处的导数，记作或即第86页，共121页，2023年，2月20日，星期四

变量数学产生的意义，其具体表现可概括为以下三个方面：

（1）变量数学的产生，使数学自身在思想方法上发生了重大的变革，由此带来整个数学面貌的根本性改观。第87页，共121页，2023年，2月20日，星期四

例如，可把解方程理解为求函数的零点，借助分析的方法给出了代数基本定理的严格证明等等。通过这次变革，新的数学分支学科雨后春笋般地涌现出来，诸如解析数论、微分几何、常微分方程论、偏微分方程论、积分方程论、级数论、差分学、实变函数论和复变函数论等。总之，从变量数学产生后，变量数学的思想方法很快就在整个数学中占据了主导地位，长时期内规定和影响着数学发展的方向。第88页，共121页，2023年，2月20日，星期四

（2）变量数学的产生，使自然科学描述现实物质世界的运动和变化过程成为可能。

在现实世界中，“静”和“常”总是暂时的、相对的，“动”和“变”则是永恒的、绝对的。

恩格斯：

“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。”自变量数学产生以后，数学在自然科学各部门的应用范围得到了空前的扩展。第89页，共121页，2023年，2月20日，星期四

（3）变量数学的产生具有重大的哲学意义。

变量数学的基本概念：变量、函数、极限、导数和微分，以及微分法和积分法，从本质上看，不外是辩证法在数学上的运用。恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学”．可以说，变量数学的产生，是辩证法在数学中取得的一次根本性胜利。恩格斯：“在一切理论成就中，未必有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”

第90页，共121页，2023年，2月20日，星期四§3从确定数学到随机数学确定数学的局限性随机数学的产生与发展随机数学产生的意义第91页，共121页，2023年，2月20日，星期四一、确定性数学的局限性

人们在社会实践活动常常遇到两类截然不同的现象，一类是确定性现象，特点是：在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定或者完全否定，不存在其他可能。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果。

第92页，共121页，2023年，2月20日，星期四

在数学中，把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。

代数、几何、方程和微积分等均属于确定数学的范畴。

例如天文学家发现了谷神星，但是无法确定它再次出现的时间和位置，高斯利用天文学家提供的观察得来的数据，通过一个方程预见了谷神星出现的时间和位置。第93页，共121页，2023年，2月20日，星期四

另一类是随机现象，特点是：

在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。

比如，投掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，但是预先作出确定的判断是不可能的。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。

第94页，共121页，2023年，2月20日，星期四

随机现象并不是杂乱无章的现象，就个体而言，似乎没有什么规律存在，但当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性，但是确定数学无法定量地揭示这种规律性。确定数学的这种局限性并没有阻碍数学家的思考和寻求，一种专门适用于分析随机现象的数学工具也就成为十分必要的了。从而创立了随机数学——概率理论与数理统计。第95页，共121页，2023年，2月20日，星期四

二、随机数学的产生

概率和统计的历史可以追溯到遥远的古代，比如，在公元前2000年的埃及古墓中已有正方体的骰子，在古代的游戏与赌博活动中就有概率思想的雏型。但是概率论作为一门学科，则酝酿于16世纪前后的两百余年之间，产生于17世纪中期前后。

第96页，共121页，2023年，2月20日，星期四

它的起源于赌博经的“点问题”

1653年夏天，法国著名数学、物理学家帕斯卡(1623－1662）前往埔埃托镇度假。旅途中，他遇到了骑士梅勒（Möre,1610～1685）。梅勒是经常出没于赌场的“赌坛老手”。为了消除旅途的寂寞，梅勒吹嘘起“赌博经”，并向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问题是这样的：一次，梅勒与其赌友掷骰子．每人押了32个金币的赌注，并约定，如果梅勒先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。第97页，共121页，2023年，2月20日，星期四遗憾的是这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅勒已掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅勒接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注，又不甘心。他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他们难住了。赌友说，他要再碰上两次4点，或梅勒要再碰上一次6点就算赢了，所以他有权分得梅勒的一半，即64个金币的1/3。梅勒不同意这样分，他说，即使下次赌友掷出一个4点，他还可得赌金的1/2，即32个金币，再加上下次他还有一半希望得6点，这样又可分得16个金币，故他至少应得64个金币的3/4。谁是谁非，争论不休，其结局也就不得而知了。不过梅勒对于此事却一直耿耿于怀，所以当他一碰到帕斯卡就立即求教。第98页，共121页，2023年，2月20日，星期四帕斯卡经过长时间的探索，还是不得要领。于是，在1654年，他不得不写信与他的好友费马讨论。向他提出一个赌博中的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算胜了，现在有甲赢a(a<s)局，乙赢b（b<s）局，赌博中止。问赌本应怎样分法才合理？”这被看作是数学史上最早的概率论文献,这个问题后来也就成为著名的“点问题”。第99页，共121页，2023年，2月20日，星期四帕斯卡认为，按条件甲已赢两局，得2点；乙只赢—局，得1点。若再掷一次，则甲或者获全胜(应得赌金1=100%)；或与乙点数相等(应得赌金1/2)。把这两种情况平均一下，甲应得赌金的乙应得赌金的第100页，共121页，2023年，2月20日，星期四费马则认为，由于甲已得2点，乙已得1点，离赌博结束最多还要掷(s－a)+(s－b)－1=2次，因此结果有四种可能情况：

(甲、甲)；（甲、乙）；（乙、甲）；（乙、乙）在前三种情况下都是甲赢，只有最后一种情况乙获胜。因此，甲有权分得赌金3/4，而乙只能分得赌金1/4。后来，帕斯卡在所著《论算术三角形》中给出了这一问题的通解：令m=s－a,n=s－b，则甲、乙两人应得赌金之比为：第101页，共121页，2023年，2月20日，星期四

18世纪是概率论的正式形成和发展时期

1713年伯努利在《推想的艺术》中明确发现了概率论最重要的定律之一——“大数定律”。从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括。之后，法国数学家棣莫弗在1718年发表的《机遇原理》一书中提出了概率乘法法则，以及“正态分布”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”建立奠定了基础。

第102页，共121页，2023年，2月20日，星期四§4数学史上的四次思想解放一、承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放

古希腊毕达哥拉斯学派集宗教、科学和哲学于一体，他们认为“数”是万物的本源，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。他们所说的数是指整数。分数的出现，使“数”不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。

第103页，共121页，2023年，2月20日，星期四希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。

无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条。该学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。第104页，共121页，2023年，2月20日，星期四这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收入他的《几何原本》中。第105页，共121页，2023年，2月20日，星期四二、微积分的产生是第二次思想解放

第二次数学危机源于极限概念的提出。微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，古希腊芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。第106页，共121页，2023年，2月20日，星期四牛顿在发明微积分的时候合理地设想：∆t越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。第107页，共121页，2023年，2月20日，星期四包括莱布尼兹对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。因而，牛顿及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。这就是数学史上所谓第二次数学危机。英国大主教贝克莱于1734年发表文章攻击说：“流数是消失了的量的鬼魂。”罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”第108页，共121页，2023年，2月20日，星期四三、非欧几何的诞生是第三次思想解放

《几何原本》公设①～④都是很容易接受的，对于“第五公设”有人想能否从中去掉它，然后由别的来代替。那么，唯一的办法就是用别的定理去证明它也能获得同样结论。第一个做这件事的人就是仅与欧几里得相差不到一世纪的著名天文学家、几何学家托勒密，但没有获得成功。尔后到公元5世纪的普洛克拉斯，17世纪的沃利斯，也都没有获得什么进展。直到19世纪初，所有用欧几里得的公理去证明欧几里得平行的公理的尝试，都失败了，它整整困惑了人们2000多年。第109页，共121页，2023年，2月20日，星期四

这时，非欧几何可以说已经呼之欲出了。当时德国高斯、俄国数学家罗巴契夫斯基等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。罗巴契夫斯基在1830年前后发表了他们关于非欧几何的理论。在这种新的非欧几何中，替