2023年中考数学二轮复习《拓展探究问题》强化练习(含答案)

2023年中考数学二轮复习《拓展探究问题》强化练习1.探究:如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x，(1)若AB=5，CD=3，BC=11，试求x的最大值和最小值；(2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗?2.问题探究：观察下面由“※”组成的图案和算式，解答问题：…问题解决：(1)试猜想1+3+5+7+9…+29的结果为.(2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)+(2n+1)的结果.问题拓展：(3)请用上述规律计算：1017+1019+…+2023+2025.3.探究题：定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数.例如：[5.7]=5，[﹣π]=﹣4.（1）如果[a]=﹣2，那么a可以是A.﹣15

B.﹣2.5

C.﹣3.5

D.﹣4.5（2）如果[]=3，则整数x=.（3）如果[﹣1.6﹣[]]=﹣3，满足这个方程的整数x共有个.4.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；(3)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？5.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论.6.(1)问题发现：如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；(2)拓展探究：如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.7.【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A=度，∠P=度（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由.【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为.8.阅读材料：若m2－2mn＋2n2－4n＋4=0，求m，n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－4n＋4=0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－4n＋4)=0，∴(m－n)2＋(n－2)2=0，∵(m－n)2≥0，(n－2)2≥0，∴(m－n)2=0，(n－2)2=0，∴n=2，m=2.根据你的观察，探究下面的问题：(1)a2＋b2－6a－2b＋10=0，则a=________，b=________；(2)已知x2＋2y2－2xy＋8y＋16=0，求xy的值；(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－8b＋18=0，求△ABC的周长．9.(1)如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点G，求证：AE＝BF；(2)如图2，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；(3)在(2)的基础上，若AB＝m，BC＝n，其他条件不变，请直接写出AE与BF的数量关系；.10.如图，下列几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色)，观察该图，探究其中的规律.(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有.第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有.设第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数为M，请用含字母n的代数式表示M；(3)求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和.11.把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图①），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；

(2)利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的eq\f(5,12)？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由.12.探究：已知如图1，在△ABC中，∠A=α(0°＜α＜90°)，AB=c，AC=b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积；图1图2应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，试用含b，c，α的式子表示平行四边形ABCD的面积.13.联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心.举例：如图①，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心.应用：如图②，BF为等边三角形ABC的角平分线，准内心P(即PD=PE)在BF上，且PF=eq\f(1,2)BP.求证：点P是△ABC的内心.探究：已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P(即PD=PC)在AC上，若PC=eq\f(1,2)AP，求∠A的度数.14.[探究函数y=x＋eq\f(4,x)的图象与性质](1)函数y=x＋eq\f(4,x)的自变量x的取值范围是________；(2)下列四个函数图象中，函数y=x＋eq\f(4,x)的图象大致是________；(3)对于函数y=x＋eq\f(4,x)，求当x＞0时，y的取值范围.请将下列求解过程补充完整.解：∵x＞0，∴y=x＋eq\f(4,x)=(eq\r(x))2＋(eq\f(2,\r(x)))2=(eq\r(x)﹣eq\f(2,\r(x)))2＋________.∵(eq\r(x)﹣eq\f(2,\r(x)))2≥0，∴y≥________.[拓展运用](4)已知函数y=eq\f(x2－5x＋9,x)，则y的取值范围是多少？15.如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称［p，q］为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是［2，3］.(1)若一个二次函数的特征数为［－2，1］，求此函数图象的顶点坐标.(2)探究下列问题：①若一个二次函数的特征数为［4，－1］，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数.②若一个二次函数的特征数为［2，3］，则此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为［3，4］？

参考答案1.解：（1）最大是5+3+11=19；最小是11-3-5=3；（2）由（1）得橡皮筋长x的取值范围为：3<x<19．2.解：(1)1+3+5+7+9…+29=()2=152=225；(2)1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)+(2n+1)=()2=(n+1)2；(3)1017+1019+…+2023+2025=(1+3+5+…+2023+2025)﹣(1+3+5+…+1023+1025)=10182﹣50823.解：（1）根据题意知，[a]=﹣2表示不超过a的最大整数，∴a可以是﹣15，故选：A；（2）根据题意得3≤＜4，解得：5≤x＜7，则整数x=5或6；（3）令[]=y，则原方程可变形为[﹣1.6﹣y]=﹣3，∴﹣3≤﹣1.6﹣y＜﹣2，解得：2.4＜y≤8.4，则y可取的整数有3、4、5、6、7、8，若y=3，则3≤＜4，解得：5≤x＜7，其整数解有5、6；若y=4，则4≤＜5，解得：7≤x＜9，其整数解有7、8；若y=5，则5≤＜6，解得：9≤x＜11，其整数解有9、10；若y=6，则6≤＜7，解得：11≤x＜13，其整数解有11、12；若y=7，则7≤＜8，解得：13≤x＜15，其整数解有13、14；若y=8，则8≤＜9，解得：15≤x＜17，其整数解有15、16；∴满足这个方程的整数x共有12个，故答案为：12.4.解：(1)OE＝OF．证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1＝∠2．∵MN∥BC，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴OE＝OC．同理可证OC＝OF．∴OE＝OF．(2)四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由(1)可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．(3)当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形(∠ACB＝90°)时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵O为AC中点，∴OA＝OC，∵由(1)知OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1＋∠2＋∠4＋∠5＝180°，∴∠2＋∠5＝90°，即∠ECF＝90°，∴▱AECF为矩形，又∵AC⊥EF．∴▱AECF是正方形．∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．5.解：(1)证明：延长AE交DC的延长线于点F，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∴∠EAD＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝DF＝DC＋CF＝DC＋AB，(2)如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF＋CF，6.解：(1)∵∠ACB＝∠DCE，∠DCB＝∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACD＝∠BCE，,CD＝CE，))∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°－∠CDE＝120°，∴∠AEB＝∠CEB－∠CED＝60°；(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠ACD＋∠DCB＝90°＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°.∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.7.解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠A=50°，∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案为：50，115；（2）.证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∴，∴，∴；（3）.理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A.8.解：(1)∵a2＋b2－6a－2b＋10=0，∴(a2－6a＋9)＋(b2－2b＋1)=0，∴(a－3)2＋(b－1)2=0，∵(a－3)2≥0，(b－1)2≥0，∴a－3=0，b－1=0，∴a=3，b=1.故答案为：31.(2)∵x2＋2y2－2xy＋8y＋16=0，∴(x2－2xy＋y2)＋(y2＋8y＋16)=0，∴(x－y)2＋(y＋4)2=0，∵(x－y)2≥0，(y＋4)2≥0，∴x－y=0，y＋4=0，∴y=－4，x=－4，∴xy=16.(3)∵2a2＋b2－4a－8b＋18=0，∴(2a2－4a＋2)＋(b2－8b＋16)=0，∴2(a－1)2＋(b－4)2=0，∵(a－1)2≥0，(b－4)2≥0，∴a－1=0，b－4=0，∴a=1，b=4，∵a＋b>c，b－a<c，∴3＜c＜5，又∵a，b，c为正整数，∴c=4，∴△ABC周长为1＋4＋4=9.9.解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C，AB＝BC.∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠ABM＋∠CBF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF.在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；(2)解：如图2中，结论：AE＝eq\f(2,3)BF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠ABM＋∠CBF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴＝＝，∴AE＝eq\f(2,3)BF.(3)结论：AE＝BF.理由：：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠ABM＋∠CBF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴＝＝，∴AE＝BF.10.解：(1)观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20个.(2)图②中，两面涂色的小立方体共有12个；图③中，两面涂色的小立方体共有20个.4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4(2n-1)=8n-4，M=8n-4.(3)40000.11.解：(1)BH与CK的数量关系：BH=CK四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于9.(2)假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的eq\f(5,12)的位置，设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，∴，∴∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的,∴，解得，（经检验，均符合题意）∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置，此时x的值为.12.解：探究：过点B作BD⊥AC，垂足为D.∵AB=c，∠A=α，∴BD=csinα.∴S△ABC=eq\f(1,2)AC·BD=eq\f(1,2)bcsinα.应用：过点C作CE⊥DO于点E.∴sinα=eq\f(EC,CO).∵在ABCD中，AC=a，BD=b，∴CO=eq\f(1,2)a，DO=eq\f(1,2)b.∴S△COD=eq\f(1,2)CO·DO·sinα=eq\f(1,8)absinα.∴S△BCD=eq\f(1,2)CE·BD=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)asinα·b=eq\f(1,4)absinα.∴SABCD=2S△BCD=eq\f(1,2)absinα.13.解：应用：证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°.∵BF为△ABC的角平分线，∴∠PBE=30°，∴PE=eq\f(1,2)BP.∵BF是等边三角形ABC的角平分线，∴BF⊥AC.∵PF=eq\f(1,2)BP，∴PE=PD=PF，∴点P是△ABC的内心.探究：根据题意，得PD=PC=eq\f(