人教版九年级数学下册配套学案设计(28份)

第二十六章反比例函数

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数

一、课前预习

1.什么是函数？

2.什么是一次函数？

3.什么是正比例函数？

4.乘法表中乘积为12的两个因数之间存在什么关系？

二、创设情境

1.问题1京沪线铁路全程为1463km,某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次

列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化.

问题2某住宅小区要种植一块面积为1000皿的矩形草坪，草坪的长y（单

位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化.

问题3已知北京市的总面积为1.68XlOiknu,人均占有面积S（单位:kn”人）随全市总

人口n（单位：人）的变化而变化.

三、形成概念

反比例函数定义：

四、概念辨析

下列函数中哪些是反比例函数?并说出它的k0哪些是一次函数？

错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。；错误！

未找到引用源。；错误!未找到引用源。；

错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。.

五、例题探究

例1.当m=时，关于x的函数y=（m+l）错误!未找到引用源。是反比例函数？

例2.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时,y=6.

（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=4时，求y的值.

（3）当y=8时，求x的值.

例3.画出错误味找到引用源。的图像.(思考：画出错误!未找到引用源。的图像)

1.已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4.

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)当x=l.5时，求y的值；

(3)当y=6时,求x的值.

2.已知y-1与错误!未找到引用源。成反比例，且当x=l时y=4,求y与x

的函数表达式，并判断是哪类函数？

26.1.2反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质

学习目标：

1.能用描点法画出反比例函数的图象.

2.掌握反比例函数的图象和性质，并会用性质解决问题.

学习重难点：

重点：反比例函数的图象和性质

难点：理解反比例函数的性质，并能灵活运用

学习过程：

一、温故知新

1.反比例函数的反比例函数的表达式是;解析式中自变量x的取值能为0

2

吗？为什么？。

2.一次函数和二次函数的图象分别是_____________，它们性质分别是：

(3)当&=-6时，两支曲线分别位于第象限内，在每一象限内，)，值随

66

(4)y=—和y=--的图象关于对称。

XX

归纳：反比例函数()的图像和性质：

反比例函数的图像是;

当k>0时，双曲线的两支分别位于__________象限，在每个象限内y值随X值的增大而；当k

<0时，双曲线的两支分别位于__________象限，在每个象限内y值随x值的增大而.

3.典例分析

例.设函数y=(m-2)》.当m取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪些象限内？

在每个象限内，当x的值增大时，对应的y值是随着增大，还是随着减小？

跟踪练习：k

堀二—(k<°)图象的两支分别在()

1.(上海•中考)在平面直角坐标系中，反比例函X

(A)第一、三象限(B)第二、四象限

(C)第一、二象限(D)第三、四象限

2.反比例函数y=3的图象是

,当x<0时，图象在第一象限。

x

三、当堂检测：

1.(凉山•中考)已知函数y=(m+l户m-5是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值

是()

(A)2(B)-2(C)±2(D)4

3

4

2.(绍兴•中考)已知(xl,yl),(x2,y2),(x3,y3)是反比例函数丫二一一的图象

X

上的三个点，且xlVx2<0,x3>0,则yl,y2,y3的大小关系是()

(A)y3<yl<y2(B)y2<yl<y3

(C)yl<y2<y3(D)y3<y2<yl

3.(杭州•中考)如图，两函数图象交于点M(2,m),N(-1,n),若yl>y2,则x的取值范围是

(A)x<-1或0<x<2(B)x<-1或x>2

(C)-l<x<0或0<x<2(D)-1<x<0或x>2

四、课堂小结

通过本课时的学习，需要我们

1.会用描点法画出反比例函数的图象

2.知道反比例函数的图象是双曲线.

3.理解反比例函数的性质并能应用性质解决问题

作业布置

4

第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用

一、学习目标

1.进一步掌握反比例函数的性质；

2.掌握过反比例函数图像上一点作两坐标轴的垂线，此垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积

问题(k的几何意义)；

3.会通过反比例的图像比较两个函数的函数值的大小，体会数形结合的数学思想。

二、重难点

重点：(1)掌握k的几何意义；

(2)会通过反比例函数的图像比较两个函数的函数值的大小；

难点：体会数形结合的数学思想.

三、自主学习

(I)复习回顾

k

1.反比例函数y=-/=0)的图像是,它既是一对称图形，又是—对称图形.

x

当k>0时，它的图像位于—象限内，在内，y的值随x值的增大而；

当k<0时，它.的图像位于—象限内，在内，y的值随x值的增大而.；

3帆_2

2.已知反比例函数y=',当加时，其图象的两个分支在第一、三象限内.

X

3.已知反比例函数的图象经过点A(-1,2).

(1)求此反比例函数的解析式；

(2)这个函数的图象位于什么象限？增减性如何？

(3)点B(1,-2),CD(2,3)是否在这个函数的图象上？

(II)自主探究

探究1：

(1)在反比例函数y=3图像上任取一点P,过P分别作x轴、y轴

x

的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别为S,则$=.

3

(2)在反比例函数y=-二图像上任取一点P,过P分别作x轴、y轴

x

的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别为S,则$=.

5

k

结论：在反比例函数尸一/HO)图象上任取一点P,过P分别作X轴、y轴

x

的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别为S,则S=.

例题1：反比例函数y=21>())在第一象限内的图象如图，

X

点M是图像上一点，MP垂直X轴于点P,

如果△MOP的面积为1,那么k的值是；

探究2：

5-m

如图是反比例函数y=----的图象的一支，根据图象回答下列问题:

X

(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？

(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(〃，〃)和点A'(a1,b').

如果。，那么6与b'有怎样的大小关系？

-3

例题2：已知点(x,y),(x,y)都在反比例函数丫=——的图像上,

1122X

(1)若A<X2<0,则yi_y2；

(2)若A<0<X2，则工_y「

(ni)自我尝试

1.下列函数中，其图像位于第一，三象限的有______；

在其图像所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有

10.310-7

①丫=不一②y=—③y=—④

2xxx10()x

2.已知点(2,y),(3,y)在反比例函数y=—的图像上，则y_y.

12X12

3.已知点A(x,y)、B(x,y)是反比例函数y=±(攵>0)图象上的两点，

1122X

若x<0<x,贝ij()

12

A.y<0<yB.y<0<yc.y<y<0D.y<y<0

12211221

4.反比例函数y=±的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，

x

MN垂直于x轴，垂足是点N,如果S△呼=2,则k的值为一.

四、自学小结

6

通过本节课的自学我掌握了：________________________________________________________

疑惑：_________________________________________________________________________

五、课堂练习

1_t

1.在反比例函数'=——的图象的每一支上，y随x的增大而增大，贝必的值可以是()

x

A.-1B.0C.1»D.2

2

2.对于反比例函数丁=一，下列说法不正确的是()

x,••

A.点(―2,-1)在它的图象上B.它的图象在第一、三象限

C.当*>。时，y随x的增大而增大D.当x<()时，y随x的增大而减小

4

3.若点"2,y)、(T,y)、(2,y)在反比例函数y=一-的图象上，则y、y、y的大小关系

123%123

为______________.

4.若反比例函数的表达式为y=3,

x

(1)当尤=-1时，y=；

(2)当x<-l时，y的取值范围是；

(3)当y<-3时，x的取值范围是.

3

5.设P是函数y=-在第一象限的图像上任意一点，点P关于

x

原点的对称点为P',过P作PA平行于y轴，过P，作P，A

平行于x轴，PA与P'A交于A点，ZXPAP'的面积为.

能力提升：

m

1.如图，一次函数〉=的图像与反比例函数y=—的图像

x

相交于A、B两点，

(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式

(2)根据图像直接写出使一次函数的值大于反比例函数

的值的x的取值范围.

2.如图，RSABO的顶点A是双曲线y=\与直线y=-X-(k+1)在第二象限的呼,

AB±x轴于B,且△ABO的面积='一

(1)求这两个函数的解析式----------2^

C

7

(2)A,C的坐标分别为(-1,m)和(n,-1).求aAOC的面积。

(1),m

3.如图，已知B(-1,2)是一次f函数y=Ax+b与反比例函数y=—

(加工0,加＜0)图象的两个交点，ACJ_x轴于C,BDLy轴

(D根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一

数大于反比例函数的值？

(2)求一次函数解析式及m的值；

(3)P是线段AB上的一点，连接PC,PD,若4PCA和4PDB

面积相等，求点P坐标。

六.课堂小结

(1)K的几何意义：

反比例函数图像上一点作两坐标轴的垂线，此垂线与两

轴围成的矩形的面积为k

反比例函数图像上一点作一坐标轴的垂线，此垂线与原点，坐标轴围成的三角形的面积为？\k\

(2)通过反比例函数的图像比较两函数值大小

注意点：

学生在解有关函数问题时，要数形结合，在分析反比例函数的增减性时，函数y随x的增减性就不能

连续的看，一定要注意强调在哪个象限内。

数学思想：数形结合

七.作业设计

(1)课堂作业

(2)课后作业

26.2实际问题与反比例函数

第1课时实际问题中的反比例函数

班级九年级科目数学编写人第1课时共2课时

新授

课题实际问题与反比例函数课型审核人

课

1、我能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题

学习目标

2、我能写出实际问题中的反比例函数关系式，并能结合图象加深对问题的理解.

学习重点运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。

学习难点分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。

8

一、交流预习

1、反比例函数解析式的一般形式。

2、反比例函数的图象和性质

学3、写出反比例函数的定义：________________________________________

4、反比例函数的图象是________,当k>0时，_____________________________

当k<0时，__________________________________________

5、三角形中，当面积S一定时，高h与相应的底边长a关系___________________。

习6、矩形中，当面积S一定时，长a与宽b关系_________________________________。

7、长方体中当体积V一定时，高h与底面积S的关系_________________________。

8、一个水池装水12m〃如果从水管中每小时流出xnv的水，经过yh可以把水放

完,那么y与x的函数关系式是________,自变量x的取值范围是

过

二、合作探究

1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，

迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成

一条临时通道，从而顺利完成的任务的情境。

程

2、京沈高速公路全长658km,汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，

则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函

数关系式为_____________________

9

第2

课时

三、达标训练其他

2、有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的g,若下底长为x,高为y,则y与x的

学科

函数关系是.中的

3、近视眼镜的度数y(度)与焦距x(m)成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为反比

0.25m.(1)试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；(2)求1000度近视眼镜例函

镜片的焦距.

数

4、已知某矩形的面积为20cm?(1)写出其长y与宽x之间的函数表达式。(2)当矩形的

长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm,求其长为多少？(3)如果要求矩形的长不小

于8cm,其宽至多要多少？

5、如图，面积为2的AABC,一边长为X,这边上的高为了,则>与无的变化规律用函学习目

标】

经

历

・

析

实

分

问

题

际

变

量

中

间

的

6、如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(np/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之

系

关

之间的函数关系图象.建

反

立

(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；(2)写出此函数的解析式;比

函

例

(3)若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？数

型

模

(2)如果每小时排水量是5000ni3,那么水池中的水将要多少小时排完，

而

进

解

实

决

际

题

7、完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均问

的

程

报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式过

•

2

会

•体

学

数

与

实

现

生

的

活

紧

性

密

，

培养学生的情感、态度，增强应用意识。体会数形结合的数学思想.

3.培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力.

【自主预习】

自主预习：教材P14,15,例3,4,并尝试完成自主预习区.

活动1如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测

出每一次加压后气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强.

(1)请根据表中的数据求出压强p(kPa)关于体积V(mL)的函数解析式；

(2)当压力表读出的压强为72kPa时，气缸内的气体压缩到多少mL?

体积V(mL)~|压强p(kPa)

10

10060

9067

8075

7086

60100

分析：(1)对于表中的实验数据你将作怎样的分析、处理？

(2)能否用图象描述体积V与压强户的对应值？

(3)猜想压强户与体积V之间的函数类别.

师生一起解答此题，并引导学生归纳此种数学建模的方法与步骤：

(1)由实验获得数据；

(2)用描点法画出图象；

(3)根据图象和数据判断或估计函数的类别；

(4)用待定系数法求出函数解析式；

(5)用实验数据验证.

指出：由于测量数据不完全准确等原因，这样求得的反比例函数的解析式可能只是

近似地刻画了两个变量之间的关系.

【合作探究】

材料P15例4

思考：(1)怎样求解析式？(2)如何求功率的范围.

引导：因为电阻有范围no—220Q,电阻越大，功率越小，即R取最小，P取最大;

R取最大，P取最小.

学生分小组讨论、交流、回答，教师评价.

【当堂评价】

习题26.2第6,8题.

【拓展提升】

【课后检测】

11

【课后反思】

第二十七章相似

27.1图形的相似

学习目标：

1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似理解相似图形概念.了解成比例线段的概念，

会确定线段的比.

2.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算.

学习重、难点：

1.重点：相似图形的主要特征与识别.

2.难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算.

学习过程：

一、依标独学

1、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？

2、小组讨论、交流.得到相似图形的概念.

二、围标群学

12

实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的比是多

少？

成比例线段：对于四条线段"c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如?(即

ba

ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

【注意】(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是

一个没有单位的正数；

(2)四条线段a,Z?,c,d成比例，记作二=：或a:匕=c:d；

ba

(3)若四条线段满足;=：,则有ad=be.

ba

小应用：一张桌面的长a=1-25/?7,宽b=0.75m,那么长与宽的比是多少？

(1)如果。=125cm,b=75cm,那么长与宽的比是多少？

(2)如果a=1250/wn,b=750mm,那么长与宽的比是多少？

三、探索

1、如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的

图形.

问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等.

2.【结论】：

(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角,对应边的比.

反之，如果两个多边形的对应角_______,对应边的比________,那么这两个多边形

.几何语言：在四边形ABCD和四边形ABCD中

1111

若？4彳出；B=彳道；C=IJC;D=?D.

1111

ABBC_CD_DA

~A~B~~BC~CD~DA

iiiiiiii

则四边形ABCD和四边形ABCD相似

iiii

13

（2）相似比：相似多边形的比称为相似比.

问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？

结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此形是一种特殊的相似

形.

四、自我检测

1.在比例尺为1：10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm,求两地的实

际距离.

2.如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？

人1010

3.如图所示的两个五边形相似，求未知边。、b、c、d的长度.

Jh

42d

7,

五、归纳小结

27.2.1相似三角形的判定

第1课时平行线分线段成比例

学习目标：会用符号“S”表示相似三角形如A4BCsAABC；知道当A4BC与AA8C的相

似比为&时，AA6C与AABC的相似比为：.理解掌握平行线分线段成比例定理.

k

学习过程：

依标独学

1.相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？

2.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.

在MBC与^ABC中，如果NA=NA',/B=NB',ZC=ZCz,且

空=』：=：3=k.我们就说A4BC与A/LBC相似，记作AABCsAABC,k就是它们

A'B'B'C'C'A'

的相似比.

14

反之如果MBCSAABC,则有NA=,NB=,zc=,且£工=3=「

—A'B'B'C'C'A'

问题：如果女=1,这两个三角形有怎样的关系？

明确(1)在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。

(2)用符号“s”表示相似三角形如AABCsAABC；

(3)相似比是带有顺序性和对应性的：

当A4BC与A43C的相似比为k时，AA8C与A4BC的相似比为:.

k

二、围标群学(课堂导学)

实验探究：(1)如图，任意画两条直线/,I再画三条与/,I相交的平行线/,/,/分别量度/,

I2-123453

/,/在/上截得的两条线段AB,BC和在/上截得的两条线段DE,EF的长度，AB：与

4512•

DE：E/相等吗?任意平移/,再量度AB,BC,DE,EF的长度，AB：BC与。E：E厂相等吗？

(2)问题，AB:AC=DEt(),BC:AC=():DF.强调“对应线段的比是否相等”

(3)归纳总结:

平行线分线段成比例定理

三条__________截两条直线，所得的线段的比。

应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；

EKAB

做一做如图，若AB=3cm,BC=5cm,EK=4cm,写出工7==,—=____=。求FK

的长？

实验探究：(2)平行线分线段成比例定理推论

思考：1、如果把图中,，I,两条直线相交，交点A刚落到1,上，如下左图，所得的对应线段的比会

相等吗？依据是什么？

思考、如果把图中1/12两条直线相交，交点A刚落到1』，如图上右图，所得的对应线段的比会相

等吗？依据是什么？

15

归纳总结：

平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的

线段的比.

三、扣标展示（展示点评）

四、达标测评（当堂训练）

如图,在aABC中，DE〃BC,AC=4,AB=3,EC=1.求AD和BD.

五、课后反思

27.2.1相似三角形的判定

第2课时三边成比例的两个三角形相似

一、学习目标

1.初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法的判定方法.

2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.

二、重点、难点

1.重点：掌握这种判定方法，会运用这种判定方法判定两个三角形相似.

2.难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.

三、课堂引入

1.复习提问：

（1）两个三角形全等有哪些判定方法？

（2）我们学习过哪些判定三角形相似的方法？

（3）全等三角形与相似三角形有怎样的关系？

（4）如图，如果要判定AABC与AA'B'C'相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的

关系？

16

AB'

2.(1)提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一

个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？

3.探究

任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍,

度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看

看是否有同样的结论。

(1)问题：怎样证明这个命题是正确的呢？

(2)探求证明方法.(已知、求证、证明)

如图27.2-4,在AABC和AA'B'C中ABBCCA

A7^7"BV-CA7

求证△ABCS^A'B'C'证明

B

图27.24

4.【归纳】

三角形相似的判定方法1

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

A"AB_BCAC

1\

LV

G*R-一--Jx厂

〜△ABCsA/VB'C'

三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

17

四、例题讲解

例I根据下列条件,判断△ABC与△八缶£,是否相似，并说明理由;

<1)/八=120°,AB=7cm.AC—14cm,

/八'=12炉，A'B'=3cm,.IC'=6cm；

(2)/IB—4cm,BC=6cm,AC=8cm,

A'B'=12cm,B'C'=18cm,A'C'二2】cm.

解：

五.回顾与反思.

（1）谈谈本节课你有哪些收获.

六.当堂检测

27.2.1相似三角形的判定

第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

（学习目标）掌握判定两个三角形相似的方法，让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,

发展学生的合情推理能力。

（学习重点与难点）两个三角形相似的判定方法2探究过程及其应用

（学习设计）

学习过程