人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第六章第1节　平面向量的概念及线性运算

第1节平面向量的概念及线性运算

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课时作业

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

平面向量的概念1

平面向量的线性运算2,3,4,5,8

向量共线7,911,13

综合问题610,12,1415,16

A级基础巩固练

1.设a是非零向量，入是非零实数，则下列结论正确的是（B）

A.a与入a的方向相反

B.a与人2a的方向相同

C.|-入a121al

D.|-Xa|^|X|•a

解析:对于A,当人＞0时,a与人a的方向相同，当人＜0时,a与入a的方

向相反,A不正确,B正确;对于C,|-入a|=|-人||a|,由于|-入|的大小

不确定，故I-入a|与|a|的大小关系不确定,C不正确;对于D,|X|a是

向量，而I-人a|表示长度,两者不能比较大小,D不正确.故选B.

2.矩形ABCD的对角线相交于点0,E为A0的中点,若法=XAB+ixAD

（入，口为实数），则入2+r等于（A）

A.-5B.1iC.1D.—5

8416

T1Tl11TlT1TlT71T

解析：DE上DA+-DO=-DA+-DB=-DA+-（DA+AB）=-AB--AD,

22242444

所以人=；,J=-所以入2+p21.故选人.

448

—>—>—>

3.在等腰梯形ABCD中，力B=-2CD,M为BC的中点，则4M等于（B）

A.2AB+三力。B.32/BT+三l/iD

2242

C.3-AB+-*AD1D.I-.TAB3+-TAD

4424

解析：因为后=-2法，

—>—>

所以/8=2DC.又M是BC的中点，

T1TT1TTT2T1T

^VXAM^（AB+AC）=-（AB+AD+DC）=-AB+-AD.故选B.

2242

—>—>—>—>—>

4.设D^/AABC所在平面内一点,BC=3CD,^AD=XAB+nAC,贝U人一

u等于（A）

A.--B.--C.-D.-

3333

—>—>

解析：由BC=3CD,可知B,C,D三点在同一直线上,如图所示.根据题意

及图形，^^AD=AC+CD=AC+I（AC~AB）=^AB+-AC,所以入=」,

uW，所以入-p=-；-：=—・故选A.

3333

5.（多选题）已知等边三角形ABC内接于O0,D为线段0A的中点,E为

线段BC的中点，则8。等于（AC）

一

L-2BA7+1-BTC4T1

3636

C.BfA+-1AEtD.2-B^A1+-^AE

333

-）—>—>—>.——>

解析：如图所示，已知BC中点为E,则BD=B/+/D=B44+

1"""1"""11~^T[T

-（AB+BE）=BA--BA+-X-BC=-BA+-BC.故选AC.

333236

A

6.(多选题)在aABC中，下列命题正确的是(BC)

A.AB-AC=BC

B.AB+BC+CA=O

C.若G4B+/C)•(AB-AC)=O,则AABC为等腰三角形

—>T

D.若/C•AB>Q,则AABC为锐角三角形

解析：由向量的运算法则知/BTC=CB,AB+BC+CA=O,故A错,B对；

—>—>—>—»—>—>

因为G4B+/C)•(AB-AC)=AB2-AC2=O,

—>—>—>—>

所以/炉=/。2,即=|4C|,

所以4ABC为等腰三角形,故C对；

因为命•AB>0,

所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形,故D错.故选BC.

7.已知向量ebe2是两个不共线的向量,若a=2e=e2与b=&+入e2共线,

则入=.

解析:法一因为a与b共线，所以a=xb,

所以—1,

故人=_1.

法二由已知£4,所以入=-；.

22

答案:T

8.如图所示，已知NB=30°,NA0B=90°,点C在AB上,OC_LAB,若用

—>—>—>—>

04和0B来表示向量。C,贝iJOC=.

—>—>—>T1T->-->—>4TlT

解析：由题意易知。。=。4+4。=。4+3/8=。4+乂。8—。4)*0A+-0B.

4444

&t1T

答案:3+三。8

44

-~~~―

9.已知a,b不共线，0A=a,0B=b,0C=c,0D=d,0E=e,设t£R,如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上？

若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.

―—>

解：由题设知，CZ)=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条

—>—>

直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=kCD,即

(t-3)a+tb=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

因为a,b不共线,所以有忆岁子=0,

解得t=j.

故存在实数使C,D,E三点在一条直线上.

B级综合运用练

10.(多选题)设点M是AABC所在平面内一点,则下列说法正确的是

(ACD)

A.若力则点M是边BC的中点

B.若薪=2晶-晶,则点M在边BC的延长线上

—>—>—>

C.^AM=~BM-CM,则点M是AABC的重心

D.^AM=xAB+yAC,且x+y=|,则AMBC的面积是AABC的面积的3

解析:若/Mg/B+q/C,则点M是边BC的中点，故A正确；

—»—>—>T—>T—>—>—>

^AM=2AB~AC,^AM-AB=AB-AC,即BM=CB,

则点M在边CB的延长线上，故B错误；

—>TT

^AM=~BM~CM,即/M+BM+CM=O,

则点M是4ABC的重心,故C正确；

TTT1

如图,AM=xAB+yAC,且x+y弓，

可得2AM=2xAB+2,yAC,

->—)

设4V=2/M,则M为AN的中点，

则4MBC的面积是4ABC的面积的玄故D正确.故选ACD.

11.(多选题)设a,b是不共线的两个平面向量，已知々=a+sina•b,

■—>

其中a£(0,2n),QR=2a-b.若P,Q,R三点共线,则角a的值可以为

(CD)

A.EB.比CTD.史

6666

解析：由题意1X(T)-2sina=0,sina=-].又a£(0,2n),故a的

值可为?或故选CD.

66

12.在直角梯形ABCD中,A=90°,B=30°,AB=2VXBC=2,点E在线段CD

->->—>

上，若/E=4D+U/B,则u的取值范围是.

—>—>

解析：由已知可得AD=1,CD=V3,所以

因为点E在线段CD上,

所以法=入位(0W入W1).

因为/E=/D+DE,

5LAE=AD+uAB=AD+2uDC=AD+^DE,

A

所以?=1,即

A2

因为OW入Wl,所以OWuq

答案：［O,§

13.如图,在AABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为

AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点，设/B=a,AC=b.

->—>—>

(1)试用a,b表示BC,4D,BE;

⑵证明：B,E,F三点共线.

->—>

(1)解:在aABC中，因为/B=a,/C=b,

—»—>-4

所以BC=/C-/B=b-a,

TTTTT

AD=AB+BD=AB+-BC=a+-(b-a)=-a+-b,

4444

—>~~i■―，[

BE=BA+AE=~AB+-AC=-a+-}j.

33

(2)证明：因为晶=-a+1b,

BF=BA+AF=-AB+-AD

3

=~a+-(-a+-b)=--a+-b

34426

*a+”)，

所以BF与BE共线，且有公共点B,

所以B,E,F三点共线.

—>

14.经过AOAB的重心G的直线与OA,0B分别交于点P,Q,设。P=

TTT

mOA,OQ=nOB,m,n£R.

(1)证明，+工为定值；

mn

(2)求m+n的最小值.

—>—>

⑴证明：设。4=a,OB=\).

由题意知OG=：X；(O/+OB)=*b),

PQ=OQ-OP=nb-ma,

PG=OG-OP=(^-m)a+1b,

由P,G,Q三点共线得，

—>—>

存在实数入，使得PQ=、PG,

即nb-ma=入(|-m)a+|人b,

从而|i3

n=-X,

\3

消去入得2■+工=3.

mn

⑵解：由⑴知,工+工=3,

mn

于是m+n」(—+-)(m+n)=-(2+—+—)2工(2+2)=-.

3mn3mn33

当且仅当m=n=|时,m+n取得最小值,最小值为右

C级应用创新练

15.已知Ai,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足/；M=

入G41&+/M3)(入是实数)，且M&+M&+M&是单位向量,则这样

的点加有(C)

A.0个B.1个C.2个D.无数个

—>TTT—>—>

解析:法一,由题意得,二-人,MA2—MA^A^A2^

T—>—>

MA3=MA1+A1A3,

—―>—>—>—

所以AMI+M42+M4=(1-3入)-(4&+/遇3)，如图所示，设D为A2A3

的中点，

—>—>",

所以（1-3入）04遇2+&&）是与&D共起点且共线的一个向量,显然直

线AJ）与以Ai为圆心的单位圆有两个交点,故X有两个值，即符合题意

的点M有两个.故选C.

法二以A,为原点建立平面直角坐标系（图略）,

设A2(a,b),A3(m,n),

—>—>

则4/2+241/3=(a+m,b+n),

所以M(入(a+m),入(b+n)),

所以MA/(-入(a+m),-A(b+n)),

—>

MA2-(a-入(a+m),b-入(b+n)),

—>

MA3-(m-入(a+m),n-入(b+n)),

—>