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文档简介
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动
,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
I,若z=l+i,则忆2-2胃=()
A.0B.1C.VID.2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意首先求得T-2z的值,然后计算其模即可.
【详解】由题意可得:Z2=(1+/)2=2Z,则z2-2z=2i—2(l+i)=—2.
故卜2-2z卜卜2|=2.
故选:D.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识,属于基础题.
2.设集合/={X|X2T=0},8={x|2x+坯0},且姿1},则0=()
A.YB.-2C.2D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先求得集合48,然后结合交集的结果得到关于a的方程,求解方程即可确定实数a的值.
-1-
【详解】求解二次不等式r―440可得:A={x\-2<x<2},
求解一次不等式2x+aW0可得:8=]x|x4-g
由于4c8={x|-24x41},故:一]=1,解得:a=-2.
故选:B.
【点睛】本题主要考查交集的运算,不等式的解法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底而正方形的边长的比值为
()
【答案】C
【解析】
【分析】
设CD=a,PE=b,利用=得到关于“力的方程,解方程即可得到答案.
【详解】如图,设CD=a,PE=b,则PO=JQ£2一OE。=一,
由题意产(/=•!•",即/一《=1帅,化简得4(2)2-2惚—1=0,
242aa
解得2=11立(负值舍去).
a4
故选:C.
-2-
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算,考查学生的数学计算能力,是一道容易题.
4.已知力为抛物线C:炉=2px(p>0)上一点,点/到C的焦点的距离为12,至小轴的距离为9,则片()
A.2B.3C.6D.9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为尸,由抛物线的定义知|力尸|=/+§=12,即12=9+§,解得p=6.
故选:C.
【点晴】本题主要考杳利用抛物线的定义计算焦半径,考查学生转化与化归思想,是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率p和温度x(单位:。(3)的关系,在20个不同的温度条
件下进行种子发芽实验,由实验数据(x,,yj(i=l,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在1(TC至40空之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的
是()
A.y=a+bxB.y=a+hx2
一3一
C.y=a+be'D.y-a+b\nx
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,
因此,最适合作为发芽率V和温度x的回归方程类型的是),=a+人Inx.
故选:D.
【点附i】本题考查函数模型的选择,主要观察散点图的分布,属于基础题.
6.函数/(x)=x'-2x3的图像在点(1,/())处的切线方程为()
A.y=-2x-lB.,y=-2x+l
C.y=2x-3D.y=2x+l
【答案】B
【解析】
【分析】
求得函数y=/(x)的导数/'(x),计算出/(I)和/'(1)的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.
32
【详解】V/(X)=X4-2X3,:.f'(x)=4x-6x,.1./(1)=-!,/*(1)=-2,
因此,所求切线的方程为y+l=-2(x—1),即y=-2x+l.
故选:B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题
7.设函数/(x)=cos("x+3)在[一兀,兀]的图像大致如下图,则心)的最小正周期为()
-4-
10兀7兀
A.一B.
9~6
4兀3兀
C.—D.
3T
【答案】C
【解析】
【分析】
/4zr\4%7t
由图可得:函数图象过点一二-,0,即可得至Ucos--w+-=0,结合一工,0是函数/(x)
\971967\97
4TT冗TC3
图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到----0+—=一一,即可求得3=一
9622
.再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得:函数图象过点(一等,0),
(47r7T、
将它代入函数,(x)可得:cos--—«+—=0
196)
又(一飞-,01是函数/(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,
所以----.0"1—=,解得:co=一
9622
7_2"_2乃_4%
所以函数/(x)的最小正周期为/=V=^~=T
2
故选:C
【点睹】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力,还考查了三角函数周期公式,属于中档题.
y2.
8.(》+乙)(工+用5的展开式中炉,的系数为()
X
A.5B.10
C.15D.20
【答案】C
【解析】
【分析】
一5一
求得(x+4展开式的通项公式为心=3=(reN且/'45),即可求得x+gj与(x+4
展开式的乘积为C"6-jr或C"4-?r+2形式,对「分别赋值为3,1即可求得工?/的系数,问题得解.
【详解】(x+y)5展开式的通项公式为却|=Gx>y(reN且,W5)
所以x+—与(x+v)s展开式的乘积可表示为:
IxJ
5rr5rr4r+2
xTr+l=xC;x-y=C;产V或/心=片C;xy=C;x/
XX
在x7;T=C;xjy中,令l=3,可得:x7;=C^y,该项中x'炉的系数为io,
22
在』-&=C"jy+2中,令〃=],可得:117;=c*3y3,该项中工3炉的系数为5
XX
所以丁产的系数为io+5=15
故选:C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式,还考杳了赋值法、转化能力及分析能力,属
于中档题.
9.已知ae(0,7i),且3cos2a-8cosa=5,则sina=()
752
A.---R
33
C.-D.—
39
【答案】A
【解析】
【分析】
用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于cosa的一元二次方程,求解得出cosa
,再用同角间的三角函数关系,即可得出结论.
【详解】3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8=0,
2
即3cos2a-4cosa-4=0,解得cosa=-§或cosa=2(舍去),
一6一
又•・•[£(0,1)二sina=Jl-cos2a=*•
故选:A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值,熟记公式是解题的关键,考查计算求解能
力,属于基础题.
10.已知4队。为球。的球面上的三个点,。01为LU8C的外接圆,若的面积为4兀,
AB=BC=AC=OO,,则球O的表面积为()
A.647tB.48TIC.36兀D.32n
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得等边力8c的外接圆半径,进而求出其边长,得出OQ
的值,根据球截面性质,求出球的半径,即可得出结论.
【详解】设圆。1半径为〃,球的半径为A,依题意,
得;r—=4乃二厂=2,
由正弦定理可得AB=2rsin60°=2百,
OOi=AB=2y^,根据圆截而性质OQ1平面ABC,
:.OOtLO}A,R=OA=++户=4,
*b•球。的表面积S=4兀R2=647r.
故选:A
【点睛】本题考查球的表面积,应用球的截面性质是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.
一7一
11.已知。M:r+y2-2x-2y-2=0,直线/:2x+y+2=0,p为/上的动点,过点尸作。M的切
线P4PB,切点为A,B,当•|Z6|最小时,直线的方程为()
A.2x-V-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+\=0D.2x+y+\=0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可判断直线与圆相离,根据网的知识可知,四点4P,民M共圆,且根据
归加卜|/8=2S“稣,=2归/|可知,当直线MPJ./时,|尸陷・|/"最小,求出以心
为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线AB的方程.
【详解】圆的方程可化为(x—l)-+(y—l)-=4,点洋到直线/的距离为d=!J??「=:5>2
,所以直线/与圆相离.
依圆的知识可知,四点4P,8,“四点共圆,且所以
\PM\-\AB\=2s△.=2x;x处小|/M|=2|PJ|,而|尸川=—4,
当直线MP_L/时"M?L=后,RL=i,此时1PM•1明最小.
|,y=—x+—fx=-1
=—(x-1)即,=gx+;,
由《一22解得,\
l[2x+v+2=0〔了=°n
所以以MP为直径的圆的方程为(x-1)(x+l)+y(y-l)=0,即x2+y2-y-i=o.
两圆的方程相减可得:2x+y+l=0,即为直线的方程.
故选:D.
【点睛】本题主要考查宜线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的
转化能力和数学运算能力,属于中档题.
12.若2"+log,a=4"+2log4b,则()
22
A.a>2bB.a<2bc.a>bD.a<b
【答案】B
【解析】
-8-
【分析】
设/(x)=2'+log2x,利用作差法结合/(x)的单调性即可得到答案.
【详解】设/(x)=2riog?x,则/(x)为增函数,因为2"+设g2a=4“+21og4b=2乃+log2b
fl2b2b2b
所以f(a)-/(26)=2+log2a~(2+log226)=2+log2b~(2+log,2b)=log2-=-l<0,
所以〃a)</(26),所以a<26.
2a22h2MJ
f(a)-f(b)=2+log,a-(2"+log2b)=2+log,b一(2"+log,/>)=2-2*-log2b,
当6=1时,/(4)一/(/)=2>0,此时/(a)>/(〃),有a>〃
当8=2时,/(“)一/(从)=一1<0,此时/(a)</(〃),有a<b2,所以C、D错误.
故选:B.
【点睛】本题主要考查函数与方程的综合应用,涉及到构造函数,利用函数的单调性比较大小,是一道中
档题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
[2x+2<0,
13.若x,y满足约束条件1》一y一120,则z=x+7y的最大值为_____________.
L+1N0,
【答案】I
【解析】
【分析】
首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
-9-
目标函数z=x+7y即:y=--x+-z,
77
其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在j,轴上的截距最大,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点力处取得最大值,
[2x+y-2=0..
联立直线方程:〈一,八,可得点彳的坐标为:力(1,0),
(x-y-i=0
据此可知目标函数的最大值为:z,皿=1+7x0=1.
故答案为:1.
【点睛】求线性目标函数z=ox+刎而网)的最值,当Q0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最
大,在y轴截距最小时,z值最小;当6<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,::值最小,在j,轴上截距
最小时,z值最大.
14.设为单位向量,且|。+分|=1,则|。一6|=.
【答案】6
【解析】
【分析】
整理已知可得:[+*,(£+1)2,再利用£出为单位向量即可求得2>各=-1,对‘一〃变形可得:
|”小用诃,问题得解.
【详解】因为Z3为单位向量,所以。=啊=1
所以B+B卜jR+B)2=j0+2£i+w2=vr^n=i
解得:2a-b=~\
所以卜一可=J("盯=一231+=石
故答案为:也
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.
15.已知尸为双曲线。:q-4=1(。>0,6>0)
b
的右焦点,/为C的右顶点,8为C上的点,同8尸垂直Fx轴.若的斜率为3,则C的离心率为
【答案】2
【解析】
-10-
【分析】
»2
根据双曲线的几何性质可知,忸”|=幺,|/目=。-。,即可根据斜率列出等式求解即可.
\BE.2,
【详解】依题可得,品=3,而怛3=幺,|/尸卜c-a,即二=3,变形得。2-/=3讹-3/
।c-a
,化简可得,e2-3e+2=0,解得e=2或e=l(舍去).
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法,以及双曲线的几何性质的应用,属于基础题.
16.如图,在三棱锥P-48C的平面展开图中,AC=\,AB=AD=4i
,AB^AC.ABLAD,NC/E=30°,则cos/FC8=.
[答案]---
4
【解析】
【分析】
在中,利用余弦定理可求得CE,可得出CF,利用勾股定理计算出8C、BD,可得出8斤
,然后在口武尸中利用余弦定理可求得cos/RTB的值.
【详解】vAB±AC,AB=BAC=],
由勾股定理得BC=y/AB2+AC2=2•
同理得,BF=BD=a,
在中,AC=\,AE=AD=BNC/E=30,
-11-
由余弦定理得+/炉—24。•力£cos30°=1+3-2x1*Jjx二=1,
2
CF=CE=1,
在口8b中,BC=2,BF=R,CF=1,
CF2+BC2-BF2l+4-6_I
由余弦定理得cosN,'C8=
2CF-BC2x1x2—4
故答案为:—.
4
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查计算能力,属于中等题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个
试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.设{%}是公比不为1的等比数列,%为生,出的等差中项,
(1)求{%}的公比:
(2)若%=1,求数列{〃4}的前〃项和.
【答案】(1)-2;(2)S=1-。上3〃[(二2)”
"9
【解析】
【分析】
(I)由已知结合等差中项关系,建立公比q的方程,求解即可得出结论;
(2)由(1)结合条件得出{4}的通项,根据{〃。“}的通项公式特征,用错位相减法,即可求出结论.
【详解】(1)设的公比为9,《为4,%的等差中项,
*/2%=%+。3,。]*0二42+夕一2=0,
•・•q01/.(7=-2:
(2)设{〃勺}的前〃项和为S〃,1=1,4=(-2尸,
5z,=lxl+2x(-2)+3x(-2『+・・・+〃(一2)z,①
—2S〃=1x(―2)+2x(―2)-+3x(―2)3+…—1)(—2)"14-/7(—2)n,(2)
-12-
①一②得,3sli=1+(―2)+(―2)2+…+(-2)--'-/»(-2)"
上包-十2)"」一("3〃)(一2)"
1-(-2)3
1-(1+3")(-2)”
Si=
9
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本最的计算、等差中项的性质,以及错位相减法求和,考查计算求
解能力,属于基础题.
18.如图,。为圆锥的顶点,。是圆锥底面的圆心,4E为底面直径,AE=AD.\JABC
是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=^-DO.
6
(1)证明:4_L平面尸8C;
(2)求二面角8-0C-E的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)正.
5
【解析】
【分析】
(1)要证明尸/JL平面P8C,只需证明P/_LP5,即可:
(2)以O为坐标原点,。/为x轴,CW为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别算出平面PC8
的法向量为平面0CE的法向量为蓝,利用公式cos<,〃,〃>==^•计算即可得到答案.
\n\\m\
【详解】(1)由题设,知△加«为等边三角形,设4E=1,
则正,C0=B0=g4E二,所以尸。=逅。。=也,
22264
PC=y/PO2+OC2=—,PB=>JPO2+OB2=—,
44
又口/3。为等边三角形,则一咤=2。4,所以84=迫,
sin602
3
PA2+PB2=-=AB2,则N/P8=90°,所以/M_LP8,
4
同理P/11PC,又PCCPB=P,所以P4JL平面PBC;
(2)过。作ON〃灰交48于点M因为尸OJ_平面X8C
,以。为坐标原点,O/为x轴,ON为),轴建立如图所示的空间直角坐标系,
一;
''、
则吟0,0)心0净,吟务),0
44
定=(」,-0-也),方=(」,立,-・务而=(_飙一争,
44444
设平面PCB的一个法向量为G=(莅,弘,z),
C/?-PC=0[-^|-V3j|-V2z|=0
令%=JI,得ZI=T,必=0,
ln-PB=0'得|匕+岛-抵=0,
所以〃=(V2,0,—1)»
设平面PCE的一个法向量为m=(吃,必,z?)
im-PC=0[-x2-V3y,-41z2=0
,令=1,得Z2=—A/2,^2=~~,
叫和屋=0'%-2X2-V2Z2=0
所以m=(T,[■,—6)
2y[5
cos<m.n>=—2V2
设二面角8—PC-E的大小为。,则cos。=会已.
5
【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小,考查学生空间想象能力,数学运算
能力,是一道容易题.
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛
的两人,另一人轮空:每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰:
当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中•人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、
乙首先比赛,闪轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为J,
(1)求中连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率:
<3)求丙最终获胜的概率.
137
【答案】(1)—;(2)—;(3)—.
16416
【解析】
【分析】
(1)根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率:
(2)计算出四局以内结束比赛的概率,然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率;
(3)列举出甲扁的基本事件,结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率,由对称性可知乙赢的概
率和甲赢的概率相等,再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】(1)记事件M:甲连胜四场,则尸==:;
(2)记事件〃为甲输,事件8为乙输,事件。为丙输,
则四局内结束比赛的概率为
(1VI
P=P[ABAB)+P(JCJC)+P(BCBC)+P(BABA)=4x-=-,
3
所以,需要进行第五场比赛的概率为P=1-。=一
(3)记事件彳为甲输,事件8为乙输,事件。为丙输,
-15-
记事件M:甲赢,记事件N:丙赢,
则甲赢的基本事件包括:BCBC、ABCBC、ACBCB、
BABCC,BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC.
所以,甲赢的概率为尸=+7x(;,=*.
由对称性可知,乙赫的概率和甲隔的概率相等,
97
所以丙赢的概率为P(N)=1-2x^=布.
【点睛】本题考查独立事件概率的计算,解答的关键就是列举出符合条件的基本事件,考查计算能力,属
于中等题.
2
20.已知48分别为椭圆E:^-+/=1(«>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,而.而=8
,尸为直线x=6上的动点,P.4与£的另一交点为C,尸8与£的另一交点为O.
(1)求£的方程;
(2)证明:直线8过定点.
【答案】(D二+/=];(2)证明详见解析.
9-
【解析】
【分析】
(1)由已知可得:A(-a,0),B(a,0),6(0,1),即可求得而.G5=a2_l,结合已知即可求得:
"=9,问题得解.
(2)设。(6,乂,),可得直线/P的方程为:j,=^(x+3),联立直线力P的方程与椭圆方程即可求得点
'-34+276为]’3稣2—3-2),。、
。的坐标为,同理可得点。的坐标为即可表示出直线。
IW+9>2+9j22
0、y«+l'v0+l>
的方程,整理直线8的方程可得:命题得证.
【详解】(1)依据题意作出如下图象:
-16-
AG=(a,\),GB=(a,-\)
AGGB=a2-\=3'a2=9
椭圆方程为:—+v2=l
9.
(2)证明:设P(6,.%),
yn—0/.、
则直线4p的方程为:尸「黑x+3),即:T4(x+3)
6-(—3)
X2,
—+V*=1
联立直线力尸的方程与椭圆方程可得:<,a”,整理得:
J吟(x+3)
2222
(y0+9)x+6y0x+9v0-81=0,解得:x=-3或x=
%~+9
将、=声代入直线、
引x+3)可得:
'-31+27
所以点。的坐标为
、W+9
3典'-3-2yo
同理可得:点。的坐标为
、%2+1'W+1,
-17-
2盟8%(才+3)[34—3]
整理可得:
,而一不与丁I
故直线S过定点(|,0
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想,还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力,属
于难题.
21.已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当0=1时,讨论/'(X)的单调性;
(2)当xN)时,/(x)>-^-x3+l.求a的取值范围.
【答案】⑴当xw(-a),0)时,/'(x)<0,/(x)单调递减,当xe(0,+oo)时,/,(x)>0,/(x)
[7-e2]
单调递增(2)—^―,+<»
【解析】
【分析】
(1)由题意首先对函数二次求导,然后确定导函数的符号,最后确定原函数的单调性即可.
(2)首先讨论x=0的
情况,然后分离参数,构造新函数,结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数。的取值范围.
【详解】(1)当a=l时,/(x)=F+/-x,/'(x)=e1+2x-l,
由于/"(x)=,+2>0.故/'(x)单调递增,注意到/'(0)=0,故:
当X6(-00,0)时,/'(x)<0J(x)单调递减,
当xe(0,+oo)时,/'(x)>0J(x)单调递增.
⑵由/(x)N+1得,e*+-X...QK'+1,其中xN0,
①.当尸0时,不等式为;121,显然成立,符合题意:
-18-
②.当x>°时,分离参数出「一5[-1
令〃(x)=e'_;x2-x-l(x>0),
则/i'(x)=e*-x-1,/i"(x)=ei-1>0,
故力(x)单调递增,〃(x)2"(0)=0,
故函数〃(x)单调递增,/7(x)>/»(0)=0,
由〃(x)20可得:e'-■1》2-x-L,O恒成立,
故当XG(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当xe(2,+oo)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
「,-1z、7-e2
因此1>(、)1(2)=工,
[l-e2)
综上可得,实数。的取值范围是——,-Hc.
L4)
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.
(2)利用导数求函数的单调区间,判断单.调性;已知单调性,求参数.
(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一
题计分。
|选修I:坐标系与参数方程|
fX=cos"'t
22.在直角坐标系xQv中,曲线G的参数方程为<*'(,为参数).以坐标原点为极点,x
[y=sint
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线。2的极坐标方程为40cosO-16psin0+3=O.
(1)当%=1时,G是什么曲线?
(2)当k=4时,求G与C2的公共点的直角坐标.
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