全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）（解析版）

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动

，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

I,若z=l+i,则忆2-2胃=()

A.0B.1C.VID.2

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意首先求得T-2z的值，然后计算其模即可.

【详解】由题意可得：Z2=(1+/)2=2Z,则z2-2z=2i—2(l+i)=—2.

故卜2-2z卜卜2|=2.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.

2.设集合/={X|X2T=0}，8={x|2x+坯0},且姿1},则0=()

A.YB.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先求得集合48,然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

-1-

【详解】求解二次不等式r―440可得：A={x\-2<x<2},

求解一次不等式2x+aW0可得：8=]x|x4-g

由于4c8={x|-24x41},故：一]=1,解得：a=-2.

故选：B.

【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正

方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底而正方形的边长的比值为

()

【答案】C

【解析】

【分析】

设CD=a,PE=b,利用=得到关于“力的方程，解方程即可得到答案.

【详解】如图，设CD=a,PE=b,则PO=JQ£2一OE。=一，

由题意产（/=•!•",即/一《=1帅，化简得4（2）2-2惚—1=0,

242aa

解得2=11立（负值舍去）.

a4

故选：C.

-2-

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

4.已知力为抛物线C:炉=2px(p>0)上一点，点/到C的焦点的距离为12,至小轴的距离为9,则片()

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【详解】设抛物线的焦点为尸，由抛物线的定义知|力尸|=/+§=12,即12=9+§,解得p=6.

故选：C.

【点晴】本题主要考杳利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率p和温度x(单位：。(3)的关系，在20个不同的温度条

件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,,yj(i=l,2,…,20)得到下面的散点图：

由此散点图，在1(TC至40空之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的

是()

A.y=a+bxB.y=a+hx2

一3一

C.y=a+be'D.y-a+b\nx

【答案】D

【解析】

【分析】

根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率V和温度x的回归方程类型的是)，=a+人Inx.

故选：D.

【点附i】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

6.函数/(x)=x'-2x3的图像在点(1，/())处的切线方程为()

A.y=-2x-lB.,y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【解析】

【分析】

求得函数y=/(x)的导数/'(x),计算出/(I)和/'(1)的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

32

【详解】V/(X)=X4-2X3,：.f'(x)=4x-6x,.1./(1)=-!,/*(1)=-2,

因此，所求切线的方程为y+l=-2(x—1),即y=-2x+l.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

7.设函数/(x)=cos("x+3)在［一兀，兀］的图像大致如下图，则心)的最小正周期为()

-4-

10兀7兀

A.一B.

9~6

4兀3兀

C.—D.

3T

【答案】C

【解析】

【分析】

/4zr\4%7t

由图可得：函数图象过点一二-,0,即可得至Ucos--w+-=0,结合一工,0是函数/(x)

\971967\97

4TT冗TC3

图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到----0+—=一一，即可求得3=一

9622

.再利用三角函数周期公式即可得解.

【详解】由图可得：函数图象过点(一等,0)，

(47r7T、

将它代入函数，(x)可得：cos--—­«+—=0

196)

又(一飞-,01是函数/(x)图象与x轴负半轴的第一个交点，

所以----.0"1—=,解得：co=一

9622

7_2"_2乃_4%

所以函数/(x)的最小正周期为/=V=^~=T

2

故选：C

【点睹】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

y2.

8.(》+乙)(工+用5的展开式中炉,的系数为()

X

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【解析】

【分析】

一5一

求得(x+4展开式的通项公式为心=3=(reN且/'45),即可求得x+gj与(x+4

展开式的乘积为C"6-jr或C"4-?r+2形式，对「分别赋值为3,1即可求得工?/的系数，问题得解.

【详解】(x+y)5展开式的通项公式为却|=Gx>y(reN且,W5)

所以x+—与(x+v)s展开式的乘积可表示为：

IxJ

5rr5rr4r+2

xTr+l=xC；x-y=C；产V或/心=片C；xy=C；x/

XX

在x7；T=C；xjy中，令l=3,可得：x7；=C^y,该项中x'炉的系数为io,

22

在』-&=C"jy+2中，令〃=],可得：117；=c*3y3,该项中工3炉的系数为5

XX

所以丁产的系数为io+5=15

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考杳了赋值法、转化能力及分析能力，属

于中档题.

9.已知ae(0,7i),且3cos2a-8cosa=5,则sina=()

752

A.---R

33

C.-D.—

39

【答案】A

【解析】

【分析】

用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosa的一元二次方程，求解得出cosa

,再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.

【详解】3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8=0，

2

即3cos2a-4cosa-4=0，解得cosa=-§或cosa=2(舍去)，

一6一

又•・•[£(0,1)二sina=Jl-cos2a=*•

故选：A.

【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能

力，属于基础题.

10.已知4队。为球。的球面上的三个点，。01为LU8C的外接圆，若的面积为4兀，

AB=BC=AC=OO,,则球O的表面积为()

A.647tB.48TIC.36兀D.32n

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可得等边力8c的外接圆半径，进而求出其边长，得出OQ

的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.

【详解】设圆。1半径为〃，球的半径为A，依题意，

得;r—=4乃二厂=2，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=2百，

OOi=AB=2y^,根据圆截而性质OQ1平面ABC,

：.OOtLO}A,R=OA=++户=4,

*b•球。的表面积S=4兀R2=647r.

故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.

一7一

11.已知。M：r+y2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,p为/上的动点，过点尸作。M的切

线P4PB,切点为A,B,当•|Z6|最小时，直线的方程为（）

A.2x-V-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+\=0D.2x+y+\=0

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可判断直线与圆相离，根据网的知识可知，四点4P,民M共圆，且根据

归加卜|/8=2S“稣,=2归/|可知，当直线MPJ./时，|尸陷・|/"最小，求出以心

为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程.

【详解】圆的方程可化为（x—l）-+（y—l）-=4,点洋到直线/的距离为d=!J??「=:5>2

,所以直线/与圆相离.

依圆的知识可知，四点4P,8,“四点共圆，且所以

\PM\-\AB\=2s△.=2x；x处小|/M|=2|PJ|,而|尸川=—4，

当直线MP_L/时"M?L=后，RL=i，此时1PM•1明最小.

|,y=—x+—fx=-1

=—(x-1)即,=gx+；,

由《一22解得，\

l[2x+v+2=0〔了=°n

所以以MP为直径的圆的方程为(x-1)(x+l)+y(y-l)=0,即x2+y2-y-i=o.

两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线的方程.

故选：D.

【点睛】本题主要考查宜线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的

转化能力和数学运算能力，属于中档题.

12.若2"+log,a=4"+2log4b,则()

22

A.a>2bB.a<2bc.a>bD.a<b

【答案】B

【解析】

-8-

【分析】

设/(x)=2'+log2x,利用作差法结合/(x)的单调性即可得到答案.

【详解】设/(x)=2riog?x,则/(x)为增函数，因为2"+设g2a=4“+21og4b=2乃+log2b

fl2b2b2b

所以f(a)-/(26)=2+log2a~(2+log226)=2+log2b~(2+log,2b)=log2-=-l<0,

所以〃a)</(26),所以a<26.

2a22h2MJ

f(a)-f(b)=2+log,a-(2"+log2b)=2+log,b一(2"+log,/>)=2-2*-log2b，

当6=1时，/(4)一/(/)=2>0,此时/(a)>/(〃)，有a>〃

当8=2时，/(“)一/(从)=一1<0,此时/(a)</(〃)，有a<b2,所以C、D错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中

档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

[2x+2<0,

13.若x,y满足约束条件1》一y一120,则z=x+7y的最大值为_____________.

L+1N0,

【答案】I

【解析】

【分析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

-9-

目标函数z=x+7y即：y=--x+-z,

77

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在j，轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点力处取得最大值，

[2x+y-2=0..

联立直线方程：〈一，八，可得点彳的坐标为：力（1，0），

（x-y-i=0

据此可知目标函数的最大值为：z,皿=1+7x0=1.

故答案为：1.

【点睛】求线性目标函数z=ox+刎而网）的最值，当Q0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最

大，在y轴截距最小时，z值最小；当6<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，：:值最小，在j，轴上截距

最小时，z值最大.

14.设为单位向量，且|。+分|=1,则|。一6|=.

【答案】6

【解析】

【分析】

整理已知可得：[+*,（£+1）2,再利用£出为单位向量即可求得2>各=-1,对‘一〃变形可得：

|”小用诃，问题得解.

【详解】因为Z3为单位向量，所以。=啊=1

所以B+B卜jR+B）2=j0+2£i+w2=vr^n=i

解得：2a-b=~\

所以卜一可=J（"盯=一231+=石

故答案为：也

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

15.已知尸为双曲线。:q-4=1（。>0,6>0）

b

的右焦点，/为C的右顶点，8为C上的点，同8尸垂直Fx轴.若的斜率为3,则C的离心率为

【答案】2

【解析】

-10-

【分析】

»2

根据双曲线的几何性质可知，忸”|=幺，|/目=。-。，即可根据斜率列出等式求解即可.

\BE.2，

【详解】依题可得，品=3,而怛3=幺，|/尸卜c-a,即二=3,变形得。2-/=3讹-3/

।c-a

,化简可得，e2-3e+2=0,解得e=2或e=l（舍去）.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题.

16.如图，在三棱锥P-48C的平面展开图中，AC=\,AB=AD=4i

,AB^AC.ABLAD,NC/E=30°,则cos/FC8=.

［答案］---

4

【解析】

【分析】

在中，利用余弦定理可求得CE,可得出CF,利用勾股定理计算出8C、BD，可得出8斤

,然后在口武尸中利用余弦定理可求得cos/RTB的值.

【详解】vAB±AC,AB=BAC=］,

由勾股定理得BC=y/AB2+AC2=2•

同理得,BF=BD=a，

在中，AC=\,AE=AD=BNC/E=30，

-11-

由余弦定理得+/炉—24。•力£cos30°=1+3-2x1*Jjx二=1,

2

CF=CE=1,

在口8b中，BC=2,BF=R，CF=1,

CF2+BC2-BF2l+4-6_I

由余弦定理得cosN，'C8=

2CF-BC2x1x2—4

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.设｛%｝是公比不为1的等比数列，%为生,出的等差中项,

（1）求｛%｝的公比:

（2）若％=1,求数列｛〃4｝的前〃项和.

【答案】（1）-2；（2）S=1-。上3〃［（二2）”

"9

【解析】

【分析】

（I）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；

（2）由（1）结合条件得出｛4｝的通项，根据｛〃。“｝的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.

【详解】（1）设的公比为9,《为4，%的等差中项，

*/2%=%+。3，。］*0二42+夕一2=0,

•・•q01/.（7=-2：

（2）设｛〃勺｝的前〃项和为S〃，1=1,4=（-2尸,

5z,=lxl+2x（-2）+3x（-2『+・・・+〃（一2）z,①

—2S〃=1x（―2）+2x（―2）-+3x（―2）3+…—1）（—2）"14-/7（—2）n,（2）

-12-

①一②得,3sli=1+(―2)+(―2)2+…+(-2)--'-/»(-2)"

上包-十2）"」一（"3〃）（一2）"

1-（-2）3

1-(1+3")(-2)”

Si=

9

【点睛】本题考查等比数列通项公式基本最的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求

解能力，属于基础题.

18.如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，4E为底面直径，AE=AD.\JABC

是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=^-DO.

6

（1）证明：4_L平面尸8C；

（2）求二面角8-0C-E的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）正.

5

【解析】

【分析】

（1）要证明尸/JL平面P8C,只需证明P/_LP5，即可：

（2）以O为坐标原点，。/为x轴，CW为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PC8

的法向量为平面0CE的法向量为蓝，利用公式cos<，〃,〃>==^•计算即可得到答案.

\n\\m\

【详解】（1）由题设，知△加«为等边三角形，设4E=1，

则正，C0=B0=g4E二,所以尸。=逅。。=也，

22264

PC=y/PO2+OC2=—,PB=>JPO2+OB2=—,

44

又口/3。为等边三角形，则一咤=2。4,所以84=迫，

sin602

3

PA2+PB2=-=AB2,则N/P8=90°，所以/M_LP8，

4

同理P/11PC,又PCCPB=P,所以P4JL平面PBC；

(2)过。作ON〃灰交48于点M因为尸OJ_平面X8C

,以。为坐标原点，O/为x轴，ON为)，轴建立如图所示的空间直角坐标系,

一；

''、

则吟0,0）心0净，吟务）,0

44

定=（」,-0-也），方=（」,立,-・务而=（_飙一争,

44444

设平面PCB的一个法向量为G=（莅,弘,z）,

C/?-PC=0[-^|-V3j|-V2z|=0

令％=JI,得ZI=T，必=0,

ln-PB=0'得|匕+岛-抵=0,

所以〃=（V2,0,—1）»

设平面PCE的一个法向量为m=（吃,必,z?）

im-PC=0[-x2-V3y,-41z2=0

,令=1，得Z2=—A/2,^2=~~，

叫和屋=0'%-2X2-V2Z2=0

所以m=（T,[■，—6）

2y[5

cos<m.n>=—2V2

设二面角8—PC-E的大小为。，则cos。=会已.

5

【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算

能力，是一道容易题.

19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛

的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：

当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中•人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、

乙首先比赛，闪轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为J,

（1）求中连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率：

<3）求丙最终获胜的概率.

137

【答案】（1）—；（2）—；（3）—.

16416

【解析】

【分析】

（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率：

（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（3）列举出甲扁的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概

率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.

【详解】（1）记事件M：甲连胜四场，则尸==：;

（2）记事件〃为甲输，事件8为乙输，事件。为丙输，

则四局内结束比赛的概率为

（1VI

P=P[ABAB）+P（JCJC）+P（BCBC）+P（BABA）=4x-=-,

3

所以，需要进行第五场比赛的概率为P=1-。=一

（3）记事件彳为甲输，事件8为乙输，事件。为丙输,

-15-

记事件M:甲赢，记事件N:丙赢，

则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、

BABCC,BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC.

所以，甲赢的概率为尸=+7x（；,=*.

由对称性可知，乙赫的概率和甲隔的概率相等，

97

所以丙赢的概率为P（N）=1-2x^=布.

【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属

于中等题.

2

20.已知48分别为椭圆E：^-+/=1（«>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，而.而=8

,尸为直线x=6上的动点，P.4与£的另一交点为C,尸8与£的另一交点为O.

（1）求£的方程；

（2）证明：直线8过定点.

【答案】（D二+/=］；（2）证明详见解析.

9-

【解析】

【分析】

（1）由已知可得：A（-a,0）,B（a,0）,6（0,1）,即可求得而.G5=a2_l,结合已知即可求得：

"=9,问题得解.

（2）设。（6,乂,），可得直线/P的方程为：j，=^（x+3）,联立直线力P的方程与椭圆方程即可求得点

'-34+276为］’3稣2—3-2），。、

。的坐标为,同理可得点。的坐标为即可表示出直线。

IW+9>2+9j22

0、y«+l'v0+l>

的方程，整理直线8的方程可得:命题得证.

【详解】（1）依据题意作出如下图象:

-16-

AG=(a,\),GB=(a,-\)

AGGB=a2-\=3'a2=9

椭圆方程为：—+v2=l

9.

(2)证明：设P(6,.%),

yn—0/.、

则直线4p的方程为：尸「黑x+3),即:T4(x+3)

6-(—3)

X2,

—+V*=1

联立直线力尸的方程与椭圆方程可得：<,a”,整理得:

J吟(x+3)

2222

(y0+9)x+6y0x+9v0-81=0,解得：x=-3或x=

%~+9

将、=声代入直线、

引x+3)可得:

'-31+27

所以点。的坐标为

、W+9

3典'-3-2yo

同理可得：点。的坐标为

、%2+1'W+1,

-17-

2盟8%(才+3)[34—3]

整理可得:

,而一不与丁I

故直线S过定点(|,0

【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属

于难题.

21.已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当0=1时，讨论/'(X)的单调性；

(2)当xN)时，/(x)>-^-x3+l.求a的取值范围.

【答案】⑴当xw(-a),0)时,/'(x)<0,/(x)单调递减，当xe(0,+oo)时，/,(x)>0,/(x)

[7-e2]

单调递增(2)—^―,+<»

【解析】

【分析】

(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.

(2)首先讨论x=0的

情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数。的取值范围.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=F+/-x,/'(x)=e1+2x-l,

由于/"(x)=，+2>0.故/'(x)单调递增，注意到/'(0)=0,故:

当X6(-00,0)时,/'(x)<0J(x)单调递减,

当xe(0,+oo)时，/'(x)>0J(x)单调递增.

⑵由/(x)N+1得，e*+-X...QK'+1,其中xN0,

①.当尸0时，不等式为；121,显然成立，符合题意：

-18-

②.当x>°时,分离参数出「一5[-1

令〃(x)=e'_；x2-x-l(x>0),

则/i'(x)=e*-x-1,/i"(x)=ei-1>0,

故力(x)单调递增,〃(x)2"(0)=0,

故函数〃(x)单调递增,/7(x)>/»(0)=0,

由〃(x)20可得：e'-■1》2-x-L,O恒成立，

故当XG(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增；

当xe(2,+oo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减;

「，-1z、7-e2

因此1>(、)1­(2)=工，

[l-e2)

综上可得，实数。的取值范围是——,-Hc.

L4)

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导

数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单.调性；已知单调性，求参数.

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

|选修I：坐标系与参数方程|

fX=cos"'t

22.在直角坐标系xQv中，曲线G的参数方程为<*'(，为参数).以坐标原点为极点，x

[y=sint

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为40cosO-16psin0+3=O.

(1)当％=1时，G是什么曲线？

(2)当k=4时，求G与C2的公共点的直角坐标.