十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编新高考卷与全国专题04导数及其应用选择填空题（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课

标理科卷)

专题04导数及其应用选择填空题

真题汇总一..

1.【2022年全国甲卷理科061当x=l时，函数/(%)=alnx+g取得最大值一2,则f(2)=()

A.-1B,-1C.1D.1

【答案】B

【解析】

因为函数/(x)定义域为(0,+8),所以依题可知，/⑴=-2,/-'(I)=0,而/''(x)=(一右,所以匕=一2,a-b=

0,即a=-2,b=-2,所以/'(x)=-：+1，因此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，x=1时取最

大值，满足题意，即有〃2)=-1+；，

故选：B.

2.【2022年全国甲卷理科12］已知a==cosLc=4sin*,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

因为:=4tan;因为当％E(0,^),sinx<x<tanx

所以ta*>；即所以c>b；

设/(x)=cosx+|x2-l,xe(0,+oo),

/(x)=-sinx+x>0，所以f(x)在(0,+8)单调递增，

则>八°)=°，所以cosi-|i>0,

所以b>a,所以c>b>a,

故选：A

3.【2022年新高考1卷07】设a=0.1e°,,b=g,c=-ln0.9,贝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】

设/(X)=ln(l+x)-x(x>-1),因为/'(x)=土一1=一W，

当工€(—1,0)时，/(%)>0,当％€(0,+8)时f'r)V0,

所以函数f(x)=ln(l+%)-%在(0,+8)单调递减,在(-1,0)上单调递增,

所以f([)Vf(0)=O所以In?-3<0,故g>In?=—ln0.9,即b>c,

所以了(一套)Vf(0)=。所以1咤+《<0，故看<e一而，所以

故a<b,

设。(%)=xex+ln(l-x)(0<x<1),则g'。)=(%4-l)ex+—=('一立",

X-1X-1

令h(x)=ex(x2—1)+1,/i(%)=ex(x2+2x—1)»

当0<x<VI—1时，/i'(x)<0,函数/i(x)=ex(x2-1)+1单调递减，

当夜一1<x<1时，h'(x)>0.函数九(<=ex(x2-1)+1单调递增，

又八(0)=0,

所以当0<x<夜-1时，/i(x)<0,

所以当0<x<VI—1时，g(x)>0.函数g(x)=xM+ln(l—x)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,BP0.1e01>—ln0.9,所以a>c

故选：C.

4.[2021年新高考1卷7]若过点(a,b)可以作曲线y=0尤的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<b

C0<a<e&D.0<b<ea

【答案】D

在曲线y=上任取一点pg/)，对函数y=求导得y'=ex,

所以，曲线y=e尤在点P处的切线方程为y—el=el{x—t)-即y=elx+(1—t)ef>

由题意可知，点(a,b)在直线y=elx4-(1—t)e，上，可得b=ael4-(1—=(a+

1-tW，

令/1(I)=(a+1-1)出，则/'(I)=(a-t)ef.

当t<a时，r(t)>0,此时函数/(t)单调递增，

当t>a时，/1(t)<0,此时函数/(t)单调递减，

所以，/(Omax=/(a)=e。，

由题意可知，直线y=>与曲线y=/(£)的图象有两个交点，则b</(t)max=ea'

当t<a+1.时;f(t)>0当t>a+1时，f(t)<0,作出函数f(t)的图象如下图所示:

由图可知，当0vb<e。时，直线y=b与曲线y=/(1)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=e”的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和％轴上方时才

可以作出两条切线.由此可知0<b<e。

5.[2021年全国乙卷理科10】设aHO,若；r=a为函数/(X)=a(x-a)2(x-b)的极大值

点，则()

A.a<bBa>bc.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

若a=b>则f(E)=a(x—a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a。b

依题意，x—a为函数/(%)=a(%一a)2(x—b)的极大值点，

当a<0时，由尢>b/(x)<0画出/(>:)的图象如卜图所示：

由图可知b<a-a<0-故ab>a2

当Q>0时，由%>b时，/（x）>0，画出f（M）的图象如下图所示:

由图可知b>a,a>0-故ab>a2

综上所述，ab>a2成立.

故选：D

4

6.【2020年全国1卷理科06】函数/（尢）=X-2尤3的图像在点（1,/（I））处的切线方程为（）

A.y=-2x-1B.y=-2x+1

c.y=2x—3D.y=2x+1

【答案】B

【解析】

,:/(x)=x4—2x3,•••/(x)=4x3—6x2,/(I)=-1./(I)=-2,

因此，所求切线的方程为y+1=—2（x-1）,即y=-2x+1

故选：B.

7.【2020年全国3卷理科10］若直线/与曲线产仃和/+/不都相切，则/的方程为（）

1111

A.y=2x+1B.产2田万C.产产HD.叶王苇

【答案】D

【解析】

设直线I在曲线y=«上的切点为Oo，，茹），则工o>0,

函数y=，土的导数为y'=白，则宜线I的斜率&==二，

2yAT2-yXQ

x

设直线［的方程为y-V^o=不工（冗一o）-即尢-2J而y4-x0=0,

2V^o

v7.71Xn1

由于直线l与圆％z+y=:相切，则=-7=,

J571「+4：x0V5

两边平方并整理得5刀彳-4Mo-1=0,解得工o=1,%（）=一1（舍），

11

则直线I的方程为九-2y+1=0,即y=5工+a

故选：D.

8.【2019年新课标3理科06】已知曲线y=必+;而:在点（1,ae）处的切线方程为y=2x+6,则（）

A.a—e,b--1B.a—e,6=1C.a—eb—\D.a-e1,b--1

【答案】解：y=a，+x/”x的导数为y'—aex+lnx+\,

由在点（1,ae）处的切线方程为y=2x+b,

可得ae+l+0=2,解得a=el

又切点为（1，1）.可得1=2+6,即6=-1,

故选：D.

9.【2019年新课标3理科07］函数夕=方瑞♦在［-6,6］的图象大致为（）

【答案】解：由y=/（x）=/瑞?在L6,6］,知

）

-Y——2-X+2X-------2--X---+---2------X-——

：.f(x)是［-6,6］上的奇函数，因此排除C

又/(4)=施五＞7,因此排除Z,D.

故选：B.

10.［2019年新课标1理科05］函数/(x)=需基在E的图象大致为(

S出x+x

【答案】解：；/'(X)x6[-IT,n],

cosx+x2'

./、-sinx-xsimr+x

•〃7)=cosO+N==-/«),

cosx+x2

：.f(x)为LIT,E上的奇函数，因此排除4

si?i7r+7T

又/(7T)=事＞。，因此排除8,G

cosn+n2

故选：D.

11.【2018年新课标1理科05】设函数/(x)=/+(a-1)^ax.若八x)为奇函数，则曲线y=/(x)

在点(0,0)处的切线方程为()

A.y--2xB.y--xC.y=2xD.y=x

【答案】解：函数/(X)=/+(4-1)幺+ax,若/(X)为奇函数，

可得。=1,所以函数/(x)—x3+x,可得/(x)=3x?+l,

曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线的斜率为：I,

则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为：y=x.

故选：D.

12.【2018年新课标2理科03］函数/(x)=丝萨的图象大致为(

则函数/(X)为奇函数，图象关于原点对称，排除4

当x=l时，/(1)=e-J>0,排除C.

当X-+8时，f(x)->4-00,排除C,

故选：B.

13.【2018年新课标3理科07］函数y=-d+f+2的图象大致为()

1

O\1/

A.

【答案】解：函数过定点(0,2),排除Z,B.

函数的导数/(x)=-4X3+2X=-2x(Zx2-1),

由/(x)>0得2x(2?-1)<0,

得xV-孝或0<xV孝，此时函数单调递增，

由/(x)V0得2x(2A-2-1)>0,

得x>孝或-此时函数单调递减，排除C,

也可以利用/(I)=-1+1+2=2>0,排除4B,

故选：D.

14.【2017年新课标2理科11］若x=-2是函数/(x)=(x2+ax-1)，一】的极值点，则/(x)的极小值

为()

A.-1B.-2e'3C.5/3D.1

【答案】解：函数=(f+办-1)

可得/(x)=(2x+a)e「i+C^+ax-1)

x=-2是函数f(x)=-1)/1的极值点,

可得：f(-2)=(-4+a)e-3+(4-2。-1)e3=0,即-4+a+(3-2。)=0.

解得ci—~1.

可得，(x)=(2x-1)(x2-x-1)

=(jr+x-2)evl,函数的极值点为：x=-2,x=l,

当-2或x>l时，f(x)>0函数是增函数，xG(-2,1)时，函数是减函数，

x=l时，函数取得极小值：/(1)=(I2-1-1)e11=-1.

故选：A.

15.【2017年新课标3理科11］已知函数/(x)=f-2x+a(evl+e-x+1)有唯一零点，贝lj〃=()

111

A.-4B.-C.-D.1

232

i

【答案】解：因为/(x)=/-2x+a(，乜RD=-1+(x-1)2+«(/1+小)=0,

所以函数/(x)有唯一零点等价于方程1-G-1)2=〃(/1+为)有唯一解，

等价于函数y=l-(x-1)2的图象与(/1+9储的图象只有一个交点.

①当a=0时，/(x)=--2x2-1,此时有两个零点，矛盾；

②当a<0时，由于y=1-(x-1#在(-8,1)上递增、在(1,+8)上递减，

且y=q(/】+-；、)在(-8,1)上递增、在(1,+8)上递减，

Jex~L

所以函数y=l-(x-1)2的图象的最高点为4(1,1),(/「+为)的图象的最高点为夕(1,2a),

由于24VoVI,此时函数y=l-(X-1)2的图象与(/'4-^y)的图象有两个交点，矛盾；

③当a>0时，由于y=l-(x-1)2在(-8,］)上递增、在(1,+oo)上递减，

且>=〃(/在(-8,1)上递减、在(］,4-00)上递增，

所以函数y=l-(X-1)2的图象的最高点为/(1,1),y=a(/1+白)的图象的最低点为8(1,2a),

由题可知点Z与点8重合时满足条件，即2a=1,即a=J符合条件；

综上所述，a=\,

故选：C.

16.【2016年新课标1理科07］函数凶在［-2,2］的图象大致为()

【答案】解：：/(x)=尸2?-加

.'.f(-x)—2(-x)2-e^'^—lx2-M

故函数为偶函数，

当*=±2时,y=S-e2G(0,1),故排除4,5；

当xG[0,2]时，f(x)=y=〃2-/,

：.f(x)=4x-j=0有解，

故函数、=2«-阴在[0,2]不是单调的，故排除C,

故选：D.

17.【2015年新课标1理科12】设函数/(x)=F(2x-l)-ax+a,其中。<1,若存在唯一的整数xo使得

f(xo)<0,则a的取值范围是()

A•[一3会1)B.[-34,*3C.[3-,-3)D,[3-,1)

【答案】解：设g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,

由题意知存在唯一的整数xo使得g(xo)在直线。的下方，

•.?'(x)="(2x7)+2/=/(2x+l),

.,.当xV一4时，g'(x)<0,当时，g'(x)>0,

11

，当工=一1时，g(x)取最小值-2eF,

当x=0时，g(0)=-1,当x=l时，g(1)=e>0,

直线恒过定点(1,0)且斜率为m

3

故-a>g(0)=7且g(-l)=-3e-a-a,解得丁<a<l

故选：D.

18.【2015年新课标2理科12]设函数/'(x)是奇函数/(x)(x€R)的导函数，/(-1)=0,当x>0

时，xf(x)-f(x)<0,则使得/(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(“，-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)

C.(-8,-1)u(-1,0)D.(0,1)U(1,+oo)

【答案】解：设g(x)=孕，则g(x)的导数为：g'(x)=M'(x)/),

1XX4,

V当x>0时总有xf(x)</(x)成立，

即当x>0时，g'(x)恒小于0,

.•.当x>0时，函数g(x)=尊为减函数，

又(-x)=f(_%)=-fa)==g(X),

匕—X—XX

...函数g(X)为定义域上的偶函数

又•"(-I)=止，=0,

—1

.,.函数g(X)的图象性质类似如图：

数形结合可得，不等式/(X)>0«x-g(x)>0

[%>0[%<0

或1,

ig(x)>0ig(x)<0

<=>0<x<l或-1.

故选：A,

19.【2014年新课标1理科11】已知函数/(x)—ax3-3^+1,若/(x)存在唯一的零点xo，且xo>O，则

实数。的取值范围是()

A.(1,4-0=)B.(2,+8)C.(-8,-1)D.(-8,-2)

【答案】解'(x)=/-3?+1,

：.f(x)=3--6x=3x(ax-2),/(0)=1；

①当a=0时，f(x)=-3/+1有两个霎点，不成立；

②当a>0时，f(x)=ax3-3X2+1在(-8,。)上有零点，故不成立；

③当aVO时，/(x)=办3-3/+1在(0,+8)上有且只有一个零点：

故/(x)—ax3-3f+l在(-8,o)上没有零点；

而当x=1时,/(x)=ax3-3^+1在(-8,0)上取得最小值;

“284

故八1)=今-3，7+1>0；

故a<-2；

综上所述,

实数a的取值范围是(-8,-2)；

故选：D.

20.[2014年新课标2理科08】设曲线>=双-历G+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】解：y'=a--^r,

・3(0)=a-1=2,

故选：D.

21.【2014年新课标2理科12】设函数/(x)=V3sin—,若存在/(x)的极值点xo满足回2+[/'(讹)]2<

混，则加的取值范围是()

A.(-8,-6)U(6,+8)B.(-8,-4)U(4,+°°)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-8,-1)u(1,+oo)

【答案】解：由题意可得，f(xo)=±V3,即一-5,kEz,即必=?峙工m.

mz乙

再由刈2+『'Go)尸即刈2+3〈加2,可得当加2最小时，|川最小，而|对最小为习训，

nr>/〃?2+3,/,nr>4.

求得m>2,或mV-2,

故选：C.

22.【2013年新课标2理科10】已知函数/G)=x3W+^4-c,下列结论中错误的是()

A.BxoGR,f(xo)=0

B.函数y=/(x)的图象是中心对称图形

C.若刈是/G)的极小值点，则/(工)在区间(-8,比)单调递减

D.若刈是/G)的极值点，则，(xo)=0

【答案】解：f(x)=3x2+2ax+h.

(1)当△=4/-12b>0时，(x)=0有两解，不妨设为xi〈X2，列表如下

X(-0°,xi)XI(x\,X2)X2(必十8)

f(x)+0-0+

f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

由表格可知：

①尢2是函数/(%)的极小值点，但是/(%)在区间(-8,也)不具有单调性，故。不正确.

3232

@一华-x)-+yix)=(一当-x)+Q(一等-%)+b(-华-%)+c+x+ax^bx+c=/凉—当^+2c,

/(-f)=(_»+a(T)2+-^)+C=-^a3一学+c,

(一学—x)+/(x)=2/•(一外

.♦.点p(T，〃一号))为对称中心，故B正确.

③由表格可知X”X2分别为极值点，则f(勺)=/(x2)=0,故。正确.

(4),/X-*-8时，/(x)f-8；x->+°0,f(X)f+8,函数/(X)必然穿过X轴，即mXaER，/Ga)=0,

故4正确.

(2)当时，/(X)=3(%+^)2>0,故/(X)在R上单调递增，①此时不存在极值点，故。正确，

C不正确；

②8同(1)中②正确；

③•.,x—•-8时，/(X)--OO.x->+°°,/'(x)f+8,函数/(x)必然穿过x轴，即mxoWR,/(xo)=0,

故/正确.

综上可知：错误的结论是C

由于该题选择错误的，故选：C.

23.【2022年新高考1卷10】已知函数/(乃=炉一%+1,则()

A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点

C•点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(久)的切线

【答案】AC

【解析】

由题，/(X)=3x2-1,令/''a)>0得X>曰或X<-y,

令f(x)<0得—苧<x〈导

所以/(X)在(一今?)上单调递减，在(一8,—当，(苧,+8)上单调递增，

所以x=+在是极值点，故A正确；

-3

因/■(誉)=1+等>o,f谭)=1-等>0,A-2)=-5<0,

所以，函数/(x)在(一8,-弓)上有一个零点，

当》>苧时，fix)>/(y)>0,即函数/(x)在停,+8)上无零点，

综上所述，函数f(x)有个零点，故B错误；

令/1(*)=炉—X,该函数的定义域为R,/i(—X)-(―%)3—(—%)——X3+X——/l(x),

则/1(乃是奇函数，(0,0)是/i(x)的对称中心，

将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，

所以点(0,1)是曲线y=/'(x)的对称中心，故C正确；

令/''(X)=3/—1=2,可得x=±l,又/(I)=/(—1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-l,当切点为(一L1)时，切线方程为y=2x+3,

故D错误.

故选：AC.

24.【2022年全国乙卷理科16］已知x=Xi和x=尤2分别是函数/(%)=2a*-e/(a>0且a71)的极小

值点和极大值点.若打<犯，则”的取值范围是.

【答案】gl)

【解析】

解：/(%)=21na-ax—2ex»

因为勺,％2分别是函数/(%)=2a"-ed的极小值点和极大值点，

所以函数/(X)在(一8,勺)和(%2,+8)上递减，在(%i，X2)上递增，

所以当nW(―8,%1)u(%+8)时,f\x)<0,当%€(%1，%2)时，/(无)>0，

若Q>1时，当XV0时，21na•Q”>0,2e%V0,则此时与前面矛盾，

故Q>1不符合题意，

若0Va<1时，则方程21na-ax-2ex=0的两个根为工力冷，

即方程Ina・ax=e%的两个根为％力不，

即函数y=Ina-a"与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

VO<a<I,，函数y=凝的图象是单调递减的指数函数，

又Ylna<0,.\y=Ina-Q”的图象由指数函数y=a”向下关于%轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横

坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|lna|倍得到，如图所示：

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为Qo/na•Q》。),

x

则切线的斜率为g'(xo)=In2a.aof

x2Xo

故切线方程为y—Ina.a°=\na-a(x—%0)»

x2x

则有—Ina•a°=-x0lna•a°,解得%o=总

则切线的斜率为1MQ-d\na=eln2n,

因为函数y=Ina•a》与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

所以el/ave,解得」VQ<e,

e

又0<a<l,所以工<a<l,

e

综上所述，a的范围为g,l).

25.【2022年新高考1卷15】若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

【答案1(—co,-4)U(0,+8)

【解析】

Vy=(x+d)ex,y=(x+1+a)ex,

x

设切点为(X0，M)),则y0=(x0+a)ex。,切线斜率k=(x0+1+a)e°,

xx

切线方程为：y-(殉+a)e°=(x0+1+a)e°(x-x0),

xx

切线过原点，二一(X。+a)e°=(x0+1+a)e°(—x0),

整理得：XQ+ax0—a=0,

,/切线有两条，；.A=a?+4a>0,解得a<-4或a>0,

.♦.a的取值范围是(一8,-4)U(0,+8),

故答案为：(—8,-4)U(0,+8)

26.【2022年新高考2卷14】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

【答案】y=~xy=~~x

【解析】

解：因为y=ln|x|,

当x>0时y=lnx,设切点为(X。,lnx()),由y'=：,所以ylx=xo=5，所以切线方程为y-Ex。=-沏)，

又切线过坐标原点，所以-Inx。=5(-q)，解得x0=e,所以切线方程为y-1=-e),即y=

当x<0时y=ln(-x),设切点为(Xi，ln(-Xi)),由y'=%所以?|工=必=“,所以切线方程为y-In(-勺)=

又切线过坐标原点，所以一In（-%!）=?（一%!）,解得修=一e,所以切线方程为y-1=《（x+e）,即y=—£羽

故答案为：y=%y=-；x

2x-l

27.【2021年全国甲卷理科13】曲线y=在点（一1,一3）处的切线方程为

x+2

【答案】5x-y+2=0

由题，当%=-1时，y=—3，故点在曲线上.

2(x+2)-(2x-l)号’所以田>-1

求导得：y==5-

(x+2)2

故切线方程为5%一y+2=0.

故答案为：5x-y+2=0

28.［2021年新高考1卷15］函数/（X）=\2x-1|-21rl尢的最小值为.

【答案】1

由题设知：/（x）=\2x-1|-21n%定义域为（0,+co）,

六当0V工4：时，/（%）=1-2%一21nx.此时/（尢）单调递减；

当±V工41时，/（x）=2x-1-21nx.有/'（嵬）=240,此时/1（A：）单调递减：

当%>1时，/（x）=2x-l-21nx-有rO）=2-^>0.此时/（%）单调递增；

又/1（>:）在各分段的界点处连续，

...综上有：0<尢41时，/■（元）单调递减，x>1时，/（元）单调递增：

•••/（%）>f（1）=1

故答案为：1.

x

29.【2021年新高考2卷16］已知函数/（尢）=\e-l|,Xi<0,X2>0,函数/（尢）的图象在点

4（尢1，/（%1））和点3（久2，/（冗2））的两条切线互相垂直，且分别交N轴于"，N两点，则瑞取值范

围是.

【答案】（0,1）

xx

x1—e,x<0…，/、e,x<0

由题意，/(x)=|e-11=、C，则/(x)={x、c

ex-41,x>0'')1ex,x>0

所以点和点X1X2

1—e*i)3(%2,e*2—1),kAM=—e,kBN=e,

所以一eX1-eX2=-1,+%2=°，

所以X1X1右)，X1X1

4M:y—1+e=—e(x—M(0,ex1—e+1)-

所以|4M|=J/+(e-%i)2=V14-e2xi♦|靠1卜

同理2x

|BN|=V1+e2.|x2p

所以MMI_q+e2?.|xi|_Il+e2xl

2x=e*iG(0,1)

IBN|7i+e2x2.\x21[l+e~l

故答案为：(0,1)

30.【2019年新课标1理科13］曲线y=3/在点(0,0)处的切线方程为一.

【答案】解：；y=3(f+x)

W=3/(/+3x+l),

当x=0时，y'=3,

，y=3(f+x)/在点(0,0)处的切线斜率左=3,

•••切线方程为：y=3x.

故答案为：y=3x.

31.【2018年新课标2理科13］曲线产=2及(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.

【答案】解：：y=2/"(x+1),

.,2

•少=。’

当x=0时，y'—2,

.•.曲线y=2加(x+1)在点(()，0)处的切线方程为y=2x.

故答案为：y=2x.

32.【2018年新课标3理科14］曲线y=(ax+1)/在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则。=

【答案】解：曲线y=(ax+1)可得=a/+(ax+1)

曲线y=(4x+l)/在点(0,1)处的切线的斜率为-2,

可得：a+\=-2>解得-3.

故答案为：-3.

33.【2016年新课标2理科16]若直线是曲线y=阮什2的切线，也是曲线(x+1)的切线，

则b=.

【答案】解：设》=履+力与y=/〃x+2和丁=/〃(x+1)的切点分别为(xi，履i+b)、(X2,kxz+b)；

由导数的几何意义可得上白=』，得X1=X2+1

X1x2+1

再由切点也在各自的曲线上，可得像：窗;丫

k=2

X1=2;

{犯7

从而kx\+b—lnx\+2得出b—1-In2.

34.(2016年新课标3理科15]已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)—In(-x)+3x,则曲线y=/(x)

在点(1,-3)处的切线方程是.

【答案】解：/(x)为偶函数，可得/(-x)=/(x),

当xVO时，/(x)=ln(-x)+3x,即有

1

x>0时，f(x)=lnx-3K,f(x)=——3,

可得/(1)=/"l-3=-3,/(1)=1-3=-2,

则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为厂(-3)=-2(x-I),

即为2x+y+1=0.

故答案为：2x+y+1=0.

35.【2013年新课标1理科161若函数/(x)=(1-x2)C^+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，则/(x)

的最大值为.

【答案】解：•••函数f(x)=(1-x2)C^+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，

：.f(-1)=/(-3)=0且/(I)=/(-5)=0,

即口-(-3)2][(-3)2+a-(-3)+包=。且[1-(-5)2][(-5)2+««(-5)+b]=Q,

解之得{MM,

因此，/(x)=(1-x2)(X2+8X+15)=-x4-8x3-14^+8^+15,

求导数，得/(x)=-4x3-2以2.28.共8,

令/'(x)=0,得XI=-2-V5,X2—~2,X3—-2+V5,

当x€(-8,-2-6)时，/(x)>0；当xe(-2-有，-2)时，/(%)<0；

当xe(-2,-2+V5)B']',f(x)>0；当(-2+而，+8)时，/(x)<0

：.f(x)在区间(-8,-2-V5),(-2,-2+V5)上是增函数，在区间(-2-V5,-2)、(-2+V5,

+°°)上是减函数.

又；/i(-2-VI)=f(-2+V5)=16,

.V(x)的最大值为16.

故答案为：16.

⑥模拟好题

1,已知函数/'(x)=e*,函数g(x)与/'(x)的图象关于直线y=x对称，若h(x)=g(x)-kx无零点，则实数左

的取值范围是()

A.B.(-，e)C.(e,+8)D.+8)

【答案】D

【解析】

由题知g(x)=Inx,h(x)=g(x)-kx=0=>k=吟设F(x)=~~=>F'(x)=当F’(x)<0时，xG(e,+

oo),此时F(x)单调递减，当F'(x)>0时，XG(0,e),此时F(x)单调递增，所以尸(x)max=F(e)=F(x)的

图象如下，由图可知，当时，y=F(x)与y=k无交点，即h(x)=g(x)-kx无零点.

故选：D.

A.a20B.-24aW2C.a>—2D.a20或aW—2

【答案】C

【解析】

因为函数/(x)=asinx+2cosx在％e［一，-；］上单调递增，

所以/(x)=acosx-2sinx>0在％6［一,一；］上恒成立，

即Q>2tanx在％E一月上恒成立，

由y=2tanx在(一，0)上单调递增知，ymax=2tan(-J)=-2,

所以a>—2.

故选：C

3.定义:设函数/■(%)的定义域为如果［犯汨=D,使得/(X)在［犯汨上的值域为则称函数/(x)在［m,n］

上为“等域函数”，若定义域为卜相2］的函数g(x)=a，(a>0,a力1)在定义域的某个闭区间上为“等域函

数”，贝b的取值范围为()

A-E*)B-［?-；］c-e鬲底)D.e?,ee

【答案】C

【解析】

当0<a<l时，函数g(x)=a*在［，,e2］上为减函数，

若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，

则存在m,ne［i,e2］(m<7i)使得｛£：=n,

所以巴Ino—Inn,消去］口处得?nlnm=nlrm,

n\na=Inm

令k(x)=xlnx,则k'(x)=Inx4-1,

当x£《,e2］时，fc'(x)>0,所以k(x)在［1e2］上是单调增函数，

所以符合条件的n不存在.

当Q>1时，函数g(x)=a"在总工2］上为增函数，

若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，

则存在m,ne［^,e2］(m<n)使得=m,an=n,即方程Q*=不在弓,e?］上有两个不等实根，

即Ina=9在上有两个不等实根，

设函数h(%)=当(^<x<e2),则九'(%)=与詈，

当时，/i(%)>0；当eVxWe?时，九’(%)<0,

所以h(x)在K，e)上单调递增，在(e,e2］上单调递减，

所以八。)在x=e处取得极大值，也是最大值，

所以九(x)max=h(e)=%又呢)=-e,h(e2)=

故.式Ina<i,即e苕<a<e^-

故选：C.

【点睛】

解题的关键是讨论g(x)的单调性，根据题意，整理化简得到新的函数，利用导数求得新函数的单调性和最

值，分析即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

4.已知函数/(x)=-^+*-02有两个零点，则实数a的取值范围为()

A.(0,e2)B.(0,e)

C.(e,+oo)D.(e2,+oo)

【答案】D

【解析】

f(x)=—ex+a,

当aWO时，/(x)<0,则f(x)单调递减，此时/(x)至多一个零点，不符合题意；

当a>0时，令/>(X)=0.则x=Ina.

当x€(-8,Ina)时，/'(%)>0,/Xx)单调递增，当x€(lna,+8)时，f'(x)<0./(久)单调递减，

因为/(x)有两个零点，所以f(lna)=alna-a-e2>0,

令g(a)=alna-a-e2,a>0,则g'(a)=Ina,

令g'(a)<0解得0<a<1,令g'(a)>0,解得a>l,

所以g(a)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

且当0<a<l时，g(a)<0,g(l)=-1-e2<0,g(e2)=0,

所以a>e2.

故选：D.

5.已知函f(x)=ex+alnx-xa-x(a>0),(e为自然对数底数，e=2.71828...),若f(x)>0对Vxe(1,+

8)成立，则实数。的最大值为()

A.-B.1C.eD.e2

e

【答案】C

【解析】

解：因为」W(l,+8),f(%)NO恒成立,即e"+alnx-一x之0,

所以,lnxa—xa>lnex—ex,

故令m(t)=Int—3t>1,m(t)=}-1=芋V0在(1,+8)上恒成立，

所以，？n(t)在(1,+8)上单调递减，

所以We”,两边取对数得aln%4x,%>1,即。式已，

记9(%)=・(%>!■),则"(%)=等>1)，

所以，当无€(l,e),(p*(x)<0,9(%)单调递减，当xc(e,+8)时，(p'(x)>0,?(%)单调递增，

所以，9(%)的最小值是@(e)=e,故QWe,

所以，实数。的最大值是e.

故选：C

6.设直线％=t与函数/(%)=2%2,g。)=in%的图像分别交于点M,N,则|MN|的最小值为()

1e1

A./In2B.3ln2-lC.--1D.-

【答案】A

【解析】

由题意M(£,2匹)，/V(t,lnt),

所以|MN|=12t2—lnt|,令九(t)=2t2—Int,贝Uh'(t)=4t—1=竺三，

当0V」V决寸,<0,当t>决寸，h'(t)>0,所以九(t)mm=h。=g+也2,

即|MN|的最小值为g+ln2,

故选：A.

7.已知对任意实数%都有f(%)=31+/(%),/(0)=-1,若不等式/(%)VQ(X—2)(其中QV1)的解集中

恰有两个整数，贝心的取值范围是()

A.[53B.[Q)C.层卷)D.层，3

【答案】C

【解析】

解：由f'(x)=3ex+/(x),即/'(x)-/(x)=3eL得(詈)=3，则望=3x+C(C为常数),

又/'(0)=—1，所以C=-1.所以/'(x)=(3x-l)ex,故/''(x)=(3x+2)ex,所以当x>—|时/'(丫)>0,当x<-

|B4/1(x)<0,即f(x)在(―：,+8)上单调递增，在(—8,上单调递减，所以〃乃在》=一瓢得极小值.

设/i(x)=a(x-2).可知该函数恒过点(2,0),

画出/(x),/i(x)的图象，如下图所示，

不等式/(x)<a(x-2)(其中a>0)的解集中恰有两个整数，

则这两个整数解为0,-1,所以说一?：勺一：?，

即「第二；；一占，解得所以一白④.

(―7e/>—4a4e3eL4ez3e/

8.若函数/'(x)=ln(Vl+x2+mx)(m>0)是奇函数，函数g(x)=e(k-2)x-31nx+(3k-7)x,若g(x)>m—

1恒成立，则实数k的取值范围是()

A.[1+e,+oo)B.[1+1+8)

C.[2+e,+oo)D.t+…)

【答案】D

【解析】

因为f(x)为奇函数,

所以/(%)+/(—%)=ln(Vl+x2+mx)+In(J1+(―x)2—mx)=ln(l4-x2—m2x2)=0

恒成立，即1+/—m2X2=1恒成立，所以血2=1

因为m>0,所以zn=l

所以g(x)=e(k-2)x—31nx+(3k—7)x>。恒成立.

即e(z-2)x+3(4—2)x>x+31n%恒成立

记g(%)=%+31nx,(%>0),则g(x)=1+|=平>0,

所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

因为e(k-2)%>o,所以g(e("2%)=e(k-2)x+3(fc一2)x

所以e("-2)%+3(fc—2)x>%+31nx=g(e("-2)x)>g(%)恒成立

即e(R-2)x、x,亦即kN处+2恒成立

X

记h(%)=W+2,则九(%)=

易知当0<x<e时，/i(x)>0,当％,e时,ft(x)<0

所以当％=e时，九(%)有最大值九(%)max=h(e)=：+2

所以kN(+2,即％的取值范围为[2+，,+8)

故选：D

9.已知Q>0且QW1,若任意XN1,不等式考一均恒成立，贝！1Q的取值范围为()

exx

A.[e,4-00)