山东省潍坊市中考数学试题 解析版

2019年山东省潍坊市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确

的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记

0分）

1.（3分）2019的倒数的相反数是（

A.-2019B.-—C.-J—D.2019

20192019

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.3aX2Q=6QB.a8-ra4=a2

329

C.-3（a-1）=3-3。D.（ia）=.La

39

3.（3分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程.截止去年9月

底，各地已累计完成投资1.002X10”元.数据1.002义IO”可以表示为（）

A.10.02亿B.100.2亿C.1002亿D.10020亿

4.（3分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体.将小正方体①移走后，则关

于新几何体的三视图描述正确的是（）

A.俯视图不变，左视图不变

B.主视图改变，左视图改变

C.俯视图不变，主视图不变

D.主视图改变，俯视图改变

5.（3分）利用教材中时计算器依次按键下:

则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）

A.2.5B.2.6C.2.8D.2.9

6.（3分）下列因式分解正确的是（）

A.3a/-6ax=3（ax2-2ax）B.x2+y2=（-x+y）（-x-y）

C.a2+2ah-4b2=(a+26)2D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)2

7.(3分)小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：

成绩（分）94959798100

周数（个）12241

这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（）

A.97.52.8B.97.53

C.972.8D.973

8.（3分）如图，已知乙105.按照以下步骤作图:

①以点。为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交NZO8的两边于C,。两点，连接

CD.

②分别以点C,。为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在N/08内交于点

E,连接CE,DE.

③连接OE交CD于点M.

下列结论中错误的是（）

B.CM=MD

C./OCD=/ECDD.S四边形OCEO=&Z)♦0E

2

9.（3分）如图，在矩形/BCD中，AB=2,BC=3,动点P沿折线BCD从点8开始运动

到点。.设运动的路程为x,△/。尸的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大

致是（

B

10.（3分）关于x的一元二次方程/+2〃a+加2+加=。的两个实数根的平方和为12,则加

的值为（）

A.m--2B.m=3C.m=3或加=-2D.加=-3或加=2

11.（3分）如图，四边形45CD内接于。0,4B为直径,AD=CD,过点。作于

点E,连接ZC交。E于点尸.若sin/C/8=W,DF=5,则8c的长为（）

A.8B.10C.12D.16

12.（3分）抛物线>=$+版+3的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方程/+法+3-

f=0（t为实数）在-l〈xV4的范围内有实数根，则f的取值范围是（）

A.B.C.6</<11D.2«6

二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。）

13.（3分）若2<=3,2y=5,则2X+P=.

14.（3分）当直线y=（2-2左）x+k-3经过第二、三、四象限时，则人的取值范围

是.

15.（3分）如图，RtA4O8中，乙408=90°,顶点/,8分别在反比例函数y=L（x>

0）与y=3（xV0）的图象上，则tan/SNO的值为

16.（3分）如图，在矩形N8C。中，/。=2.将N/向内翻折，点”落在8C上，记为4

',折痕为。E.若将48沿E4'向内翻折，点8恰好落在。E上，记为B',则48

17.（3分）如图，直线y=x+l与抛物线y=/-4x+5交于4,8两点，点P是y轴上的一

个动点，当△尸48的周长最小时，S&PAB=.

18.（3分）如图所示，在平面直角坐标系X。,中，一组同心圆的圆心为坐标原点。，它们

的半径分别为1,2,3,按照“加1”依次递增；一组平行线，Io,h，b，，3,…都

与x轴垂直，相邻两直线的间距为/,其中/（）与了轴重合若半径为2的圆与/］在第一象

限内交于点尸1，半径为3的圆与6在第一象限内交于点尸2，…，半径为〃+1的圆与。

在第一象限内交于点P”，则点P”的坐标为.（〃为正整数）

1y八

三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）

19.（5分）己知关于x,y的二元一次方程组[2*-3尸5的解满足》＞外求人的取值范

[x-2y=k

围.

20.（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众

步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜

坡48=200米，坡度为1：«；将斜坡4?的高度NE降低/C=20米后，斜坡改

造为斜坡CZ）,其坡度为1：4.求斜坡。的长.（结果保留根号）

21.（9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别

标有对应的数字2,3,4,5.小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一

次停止后，小明将指针所指数字记录如下：

次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次

数字35233435

（1）求前8次的指针所指数字的平均数.

（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均

数不小于3.3,且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算

过程；若不可能，说明理由.（指针指向盘面等分线时为无效转次.）

22.(10分)如图，正方形N8CD的边C。在正方形ECG尸的边CE上，连接。G,过点/

作4H〃DG,交BG于点、H.连接，尸，AF,其中/产交EC于点

(1)求证：尸为等腰直角三角形.

(2)若月8=3,EC=5,求EM的长.

23.(10分)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市

场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年

降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.

(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价

是多少元？

(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价

为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出

180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店

一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其它费用忽略不计.)

24.(13分)如图1,菱形的顶点N,。在直线上，NBAD=60°,以点工为旋转中

心将菱形/8C。顺时针旋转a(0°<a<30°),得到菱形CD',B'C交对

角线/C于点M,CD'交直线/于点N,连接MV.

(1)当MN〃B'D'时，求a的大小.

(2)如图2,对角线夕D'交AC于点H,交直线/与点G,延长C'B'交4B于点、

E,连接当AHEB'的周长为2时，求菱形/8CZ)的周长.

25.(13分)如图，在平面直角坐标系xoy中，。为坐标原点，点/(4,0),点B(0,

4),△480的中线ZC与y轴交于点C,且。阳经过O,A,C三点.

(1)求圆心A/的坐标；

(2)若直线与0〃相切于点/,交y轴于点。，求直线/D的函数表达式;

(3)在过点5且以圆心加为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PE〃y轴,交直线

4D于点E.若以PE为半径的OP与直线4。相交于另一点尸.当£尸=4再寸,求点P

2019年山东省潍坊市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确

的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记

0分）

1.（3分）2019的倒数的相反数是（）

A.-2019B.一C.」一D.2019

20192019

【分析】先求2019的倒数，再求倒数的相反数即可；

【解答】解：2019的倒数是」―，再求相反数为-」_；

201920192019

故选：B.

【点评】本题考查倒数和相反数；熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键.

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.3ax2a=6。B.a84-a4=a2

C.-3（a-l）=3-3aD.&3）2=。

39

【分析】根据单项式乘法法则，同底数幕的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性

质，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：/、3ax2a=6层，故本选项错误；

B、*+/=/,故本选项错误；

C、~3（fl-1）=3-3。，正确：

D、（L?）2=16,故本选项错误.

39

故选：C.

【点评】本题考查了单项式乘法法则，同底数基的除法的性质，去括号法则，积的乘方

的性质.熟练掌握法则是解题的关键.

3.（3分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程.截止去年9月

底，各地已累计完成投资1.002X10"元.数据1.002X10”可以表示为（）

A.10.02亿B.100.2亿C.1002亿D.10020亿

【分析】利用科学记数法的表示形式展开即可

【解答】解：

1.002X1011=100200000000=1002亿

故选：C.

【点评】本题主要考查科学记数法的展开，科学记数法是指把一个数表示成ax10的〃

次基的形式（lWa<10,n为正整数.）

4.（3分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体.将小正方体①移走后，则关

于新几何体的三视图描述正确的是（）

A.俯视图不变，左视图不变

B.主视图改变，左视图改变

C.俯视图不变，主视图不变

D.主视图改变，俯视图改变

【分析】利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；

【解答】解：将正方体①移走后，

新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变；

故选：A.

【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是

解题关键.

5.（3分）利用教材中时计算器依次按键下：

则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）

A.2.5B.2.6C.2.8D.2.9

【分析】利用计算器得到行的近似值即可作出判断.

【解答】解：•••、=心2.646,

.♦.与行最接近的是2.6,

故选：B.

【点评】本题主要考查计算器-基础知识，解题的关键是掌握计算器上常用按键的功能

和使用顺序.

6.（3分）下列因式分解正确的是（

A.3a/-(>ax—3(ax2-2ox)B.x2+y2=(-x+y)(-x-y)

C.a2+2ah-4b2=(a+26)D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)

【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可.

【解答】解：4、3ax2-6ax—3ax（x-2）,故此选项错误；

B、/+/，无法分解因式，故此选项错误：

C、a2+2ab-4h2,无法分解因式，故此选项错误；

D、-a^+lax-a--a（x-1）2,正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关

键.

7.（3分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下:

成绩（分）94959798100

周数（个）12241

这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（）

A.97.52.8B.97.53

C.972.8D.973

【分析】根据中位数和方差的定义计算可得.

【解答】解：这10个周的综合素质评价成绩的中位数是空空=97.5（分）,

平均成绩为」-X(94+95X2+97X2+98X4+100)=97(分)，

10

.•.这组数据的方差为」-X[(94-97)2+(95-97)2X2+(97-97)2X2+(98-97)2

X4+（100-97）2]=3（分2）,

故选：B.

【点评】本题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义.

8.（3分）如图，已知N4O2.按照以下步骤作图：

①以点。为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交NHO8的两边于C,。两点，连接

CD.

②分别以点C,。为圆心，以大于线段0C的长为半径作弧，两弧在N408内交于点

E,连接CE,DE.

③连接0E交CQ于点M.

下列结论中错误的是（）

A.NCEO=NDEOB.CM=MD

C./OCD=NECDD.S四边形

2

【分析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可.

【解答】解：由作图步骤可得：OE是/Z08的角平分线,

J.ACEO^ADEO,CM=MD,S四边形℃£0=攵。・。石，

2

但不能得出NOCD=NECD,

故选：C.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线

段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作

已知直线的垂线）.

9.（3分）如图，在矩形,88中，AB=2,8c=3,动点P沿折线88从点8开始运动

到点£>.设运动的路程为x,的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大

致是（）

BC

.由此即可判断.

【解答】解：由题意当0WxW3时，夕=3,

当3cx<5时，y=Lx3K（5-x）=-当+应.

222

故选：D.

【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇

形思考问题，属于中考常考题型.

10.（3分）关于x的一元二次方程/+2mx+加2+〃?=o的两个实数根的平方和为12,则〃2

的值为（）

A.m=-2B.m=3C,m=3或m=-2D.m=-3或加=2

【分析】设修，工2是/+2加叶M2+加=0的两个实数根，由根与系数的关系得X]+'2=-

2〃?,Xi，X2=M2+m,再由XJ+%22=（冗]+%2）2-2x]・12代入即可；

【解答】解：设,，X2是9+2加什加2+阳=0的两个实数根，

-4加20,

「•"WO’

.*.%1+%2=-2加，勺,X2=加2+〃?，

/.XI2+X22=（工]+12）2-2jq・、2=4加2-2m2-2加=262-2加=12,

，〃7=3或，n=-2；

m=-2；

故选：A.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公

式是解题的关键.

11.（3分）如图，四边形N8CZ）内接于O。，4B为直径,AD=CD,过点。作于

点E,连接NC交OE于点F.若sin/C4B=W,DF=5,则8C的长为（）

5

A.8B.10C.12D.16

【分析】连接8。，如图，先利用圆周角定理证明得到尸。="=5,再

根据正弦的定义计算出EF=3,则/E=4,Z）E=8,接着证明利用相

似比得到8E=16,所以48=20,然后在RtZ\Z8C中利用正弦定义计算出8c的长.

【解答】解：连接8。，如图，

；力8为直径，

AZADB=ZACB=90°,

:NAD=CD,

：.ND4C=NDCA,

而/。C4=48。，

ZDAC=ZABD,

:DEUB,

：.ZABD+ZBDE=90°,

而NADE+NBDE=90°,

ZABD=ZADE,

：.NADE=ND4C,

：.FD=FA=5,

在RtZ\4£F中，：sinNC48=E^=W,

AF5

：.EF=3,

：.AE=J^2_32=4,£>£=5+3=8,

NADE=NDBE,N4ED=/BED,

:AADESADBE,

:.DE：BE=AE：DE,即8：BE=4：8,

：.BE=16,

.,."8=4+16=20,

在RtZ\/8C中，；sin/G48=K=

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的

圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.

12.（3分）抛物线y=/+bx+3的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方程，+云+3-

f=0”为实数）在-1<X<4的范围内有实数根，贝丸的取值范围是（）

A.2WfVllB.C.6<r<llD.2Wt<6

【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为夕=/-2x+3,将一元二次方程x2+bx+3-

t=0的实数根可以看做-2x+3与函数的有交点，再由-1VxV4的范围确定

y的取值范围即可求解；

【解答】解：・・3=/+以+3的对称轴为直线、=1,

：.b=-2,

Ay=x2-2x+3,

，一元二次方程/+反+3-t=0的实数根可以看做y=--2x+3与函数的有交点，

•・•方程在-1VxV4的范围内有实数根，

当x=-1时，y=6；

当x=4时，y=\\；

函数>=7-2%+3在4=1时有最小值2；

.•.2Wt<6；

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与

直线的交点问题，借助数形结合解题是关键.

二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。）

13.（3分）若2、=3,2y=5,则2/=15.

【分析】由2、=3,2y=5,根据同底数事的乘法可得#+»=2'・2A继而可求得答案.

【解答】解：；2》=3,2y=5,

.•.2巾=2”=3*5=15.

故答案为：15.

【点评】此题考查了同底数幕的乘法.此题比较简单，注意掌握公式的逆运算.

14.（3分）当直线y=（2-2%）x+k-3经过第二、三、四象限时，则人的取值范围是」

<k<3.

【分析】根据一次函数夕=履+'k<0,6V0时图象经过第二、三、四象限，可得2-

2k<0,k-3<0,即可求解：

【解答】解：夕=（2-2k）x+八3经过第二、三、四象限，

：.2-2k<0,3<0,

：.k>l,k<3,

：.\<k<3；

故答案为1<在<3；

【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y=Ax+b,/与b对函数

图象的影响是解题的关键.

15.（3分）如图，RtZUOB中，408=90°,顶点48分别在反比例函数（x>

X

0）与y=二L（尤<0）的图象上，则tan/8/O的值为_近_.

X

【分析】过4作ZC_Lx轴，过8作BO_Lx轴于。，于是得到N8Z)O=/4co=90°,

根据反比例函数的性质得到SABDO=§,S2OC=L根据相似三角形的性质得到

22

5,

Sabod=(强)2=斗=5,求得强=依，根据三角函数的定义即可得到结论.

SAOAC0A10A

2

【解答】解：过Z作NCJ_x轴，过8作8Z)_Lx轴于。，

则/8OO=NZCO=90°,

•.•顶点/,8分别在反比例函数y=L(x>0)与y=W_(xV0)的图象上，

XX

:.SRBDO=JS△力0。=二，

22

VZAOB=90°,

・・・ZBOD+ZDBO=ZBOD+ZAOC=90°,

・・・/DBO=/AOC,

:.△BDOs/\OCA,

_5

S^BOD=(0B)2=^=5,

2AOAC°A—

2

,.察=亦

OA

*••tanNBAO=

OA

故答案为：A/5-

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性

质.解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.

16.（3分）如图，在矩形中，AD=2.将向内翻折，点/落在8c上，记为/

',折痕为。E.若将N8沿EH向内翻折，点8恰好落在。£上，记为夕，则/8=

Q

【分析】利用矩形的性质，证明/40£：=/4。£=/4。。=30°,ZC^ZA'B'D=90

°,推出△084名△OC4,CD=B'D,设/8=OC=x,在中，通过勾股定理

可求出的长度.

【解答】解：•••四边形/BCD为矩形，

...NADC=NC=/8=90°,HB=DC,

由翻折知，/\A'BE^/\A'B'E,/AB'E=ZB=NABD=90°,

AZAED=ZA'ED,ZA'EB=ZA'EB',BE=B'E,

ZAED=ZA'ED=ZA'EB=LX180°=60°,

3

AZADE=90°-4ED=30°,/4。£=90°-NHE8=30°,

N4DE=NA'DE=N4DC=30°,

又,.,NC=/48'D=90°,DA'^DA',

：./\DB'A'^/\DCA'(AAS),

：.DC=DB',

在RtZ\/ED中,

ZADE=3Q°,AD=2,

.•./£•=3=

V33

设AB=DC=x,则BE=B'E=x-

3

"：AE2+AD2=DE2,

22

...（2愿.）2+22=（x+x_Vs.）,

33

解得，Xl=二/1■（负值舍去），X2=J&

3

故答案为：Vs.

【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明

ZAED=ZA'ED=ZA'EB=60°.

17.（3分）如图，直线y=x+l与抛物线y=x2-4x+5交于4,8两点，点P是y轴上的一

个动点，当△48的周长最小时，SAPJg=_ll_.

【分析】根据轴对称，可以求得使得△P48的周长最小时点P的坐标，然后求出点尸

到直线N8的距离和N8的长度，即可求得△P/8的面积，本题得以解决.

【解答】解：yv=x+1,

Ly=x-4x+5

解得，（x=l或（x=4,

ly=2（y=5

.•.点4的坐标为（1,2）,点B的坐标为（4,5）,

•J"、（5—2）2+（4一］产3近,

作点4关于y轴的对称点,连接8与y轴的交于尸，则此时△P48的周长最

小，

点/的坐标为（-1,2）,点8的坐标为（4,5）,

设直线Z'8的函数解析式为y=H+6,

J-k+b-2得15

l4k+b=5'卜工，

...直线，8的函数解析式为夕=旦什/，

55

当x=0时，

5

即点P的坐标为（0,E）,

5

将x=0代入直线歹=工+1中，得y=l,

•・,直线y=x+l与y轴的夹角是45°,

.•.点P到直线的距离是：（W-l）Xsin45°=&乂返=2返，

5525

研又堂~12

.•.△尸/8的面积是：---------丝，

25

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称-最短路径问题，解答本

题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

18.（3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点。，它们

的半径分别为1,2,3,按照“加分依次递增;一组平行线，./i，%，b，…都

与x轴垂直，相邻两直线的间距为/,其中/（）与丁轴重合若半径为2的圆与/]在第一象

限内交于点P],半径为3的圆与，2在第i象限内交于点尸2，…，半径为勿+1的圆与1,1

在第一象限内交于点P”,则点P”的坐标为（〃，亚a?）.（〃为正整数）

1y八

【分析】连OPi，OP2,OP3,1\、&、/3与X轴分别交于小、42、43，在Rt^O/lP]

中，OAi=\,OP\=2,由勾股定理得出小P|=Jop]2_0A]2=J^,同理：A2P2=近

，43P3=瓜，得出修的坐标为（1.J&）,七的坐标为（2,、尺），2的坐标

为（3,夜），……，得出规律，即可得出结果.

【解答】解：连接。P|,OP2,OP3,八、%、，3与X轴分别交于小、42、小，如图所

示：

在RtZ\O4]P[中，0小=1,OPi=2,

••㈤PI=J0P[2_0A[2=、22_12=V^

同理：42P2=d32-22=43P3=442.32=5/^,....，

二尸1的坐标为（1,22的坐标为（2,遍），尸3的坐标为（3,77）,....,

…按照此规律可得点P”的坐标是（”，d（n+l）2-2），即（小V2n+1）

故答案为：（〃，V2n+1

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了勾股定理;

由题意得出规律是解题的关键.

三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）

19.（5分）己知关于x,y的二元一次方程组（尸5的解满足x>»求人的取值范

[x-2y=k

围.

【分析】先用加减法求得x-y的值（用含2的式子表示），然后再列不等式求解即可.

【解答】解：（2x-3尸p

[x-2y=k②

①~②得：x-y=5-k,

**x>y,

.*.x-y>0.

A5-A>0.

解得：k<5.

【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得x-y的值（用含左的式子表

示）是解题的关键.

20.（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众

步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜

坡48=200米，坡度为1：V3；将斜坡的高度ZE降低ZC=20米后，斜坡改

造为斜坡8,其坡度为1：4.求斜坡8的长.（结果保留根号）

【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得ZE的长，进而得到CE的长，再根据锐角

三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长.

【解答】解：•••/ZE8=90°,48=200,坡度为1：如,

tanZABE=-^^3~,

a-3

AZABE=30°,

：.AE=l^B=\00,

2

:/C=20,

：.CE=S0,

VZC£D=90",斜坡CA的坡度为1：4,

.生小

♦.施工，

即里I」

ED-4

解得，红）=320,

-'-CD=J&（）2+3202=8，

答：斜坡8的长是80j百米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，

利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.

21.（9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别

标有对应的数字2,3,4,5.小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一

次停止后，小明将指针所指数字记录如下：

次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次

数字35233435

（1）求前8次的指针所指数字的平均数.

（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均

数不小于3.3,且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算

过程：若不可能，说明理由.（指针指向盘面等分线时为无效转次.）

【分析】（1）根据平均数的定义求解可得：

（2）由这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5知后两次指正所指数

字和要满足不小于5且不大于7,再画树状图求解可得.

【解答】解：（1）前8次的指针所指数字的平均数为1X（3+5+2+3+3+4+3+5）=

8

3.5；

（2）•••这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5,

•••后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7,

画树状图如下:

2345

AAAA

345245235234

由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，

所以此结果的概率为国-=2.

123

【点评】本题考查的是利用树状图求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

22.(10分)如图，正方形/8CZ)的边CD在正方形ECG尸的边CE上，连接。G,过点工

作AH//DG,交8G于点，.连接“凡AF,其中/尸交EC于点

(1)求证：为等腰直角三角形.

(2)若48=3,EC=5,求EAf的长.

【分析】(1)通过证明四边形/"G。是平行四边形，可得4H=DG,AD=HG=CD,

由"S4S"可证△OCG丝△4GF,可得QG=//F,ZHFG^ZHGD,可证N//_L4F,

AH=HF,即可得结论；

(2)由题意可得OE=2,由平行线分线段成比例可得趴=旦匕=旦，即可求EW的长.

DMAD3

【解答】证明：(1)•.•四边形四边形ECGF都是正方形

J.DA//BC,AD=CD,FG=CG,NB=NCGF=90°

'：AD//BC,AH//DG

四边形AHGD是平行四边形

:・AH=DG,AD=HG=CD

■:CD=HG,/ECG=NCGF=90°,FG=CG

：.△QCGg丛HGF(SAS)

:・DG=HF,4HFG=/HGD

：.AH=HF,

NHGD+/DGF=90°

：.NHFG+NDGF=9G°

：.DG±HF,^.AH//DG

J.AHLHF,KAH=HF

/为等腰直角三角形.

（2）'：AB=3,EC=5,

：.AD=CD=3,DE=2,EF=5

■:AD//EF

，史=EF=5,且。E=2

DMAD-3

4

【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，平行线分线段成比例等知识点，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键.

23.（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市

场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年

降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.

（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价

是多少元？

（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价

为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出

180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店

一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计.）

【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10

（1-20%）=12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价

为（x+i）元，可列出方程：12000。」ooooo=]O00,求得x即可

Xx+1

（2）根据总利润=（售价-成本）X数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最

大值.

【解答】解：

（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是X元，则去年的批发价为（x+1）

元

今年的批发销售总额为10(1-20%)=12万元

•120000100000

-------------------n-=iooo

Xx+1

整理得X2-19x-120=0

解得x=24或x=-5(不合题意，舍去)

故这种水果今年每千克的平均批发价是24元.

(2)设每千克的平均售价为〃，元，依题意

由(1)知平均批发价为24元，则有

w=(zn-24)(qIFX180+300)=-60m2+4200”？-66240

3

整理得w=-60-35)2+7260

-60<0

.••抛物线开口向下

，当加=35元时，w取最大值

即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函

数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润

=一件的利润X销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实

际问题.

24.(13分)如图1,菱形的顶点Z,。在直线上，NBAD=60°,以点/为旋转中

心将菱形/8CD顺时针旋转a(0°<a<30°),得到菱形力夕CD',B'C交对

角线4C于点"，CD'交直线/于点N,连接MN.

(1)当MN〃B'D'时，求a的大小.

(2)如图2,对角线8'D'交AC于点、H,交直线/与点G,延长C'B'交48于点

E,连接£77.当△HE8'的周长为2时，求菱形/8CO的周长.

【分析】(1)证明M^/\AD'N(SAS),推出N8'AM=ND'AN,即可解决问

题.

(2)证明△4E8'g△NG。'(44S),推出E8'=GD',AE=AG,再证明

△AHG(SAS),推出£7/=G〃，推出B'D'=2,即可解决问题.

【解答】解：(1)•••四边形CD'是菱形，

J.AB'=夕C=CD'=AD',

VZ5ZAD'=NB'CD'=60°,

A/\AB'D',/\B'CD'是等边三角形，

,:MN〃B'C,

AZCZMN=NC'B'D'=60°,NCNM=NC'D'B'=60°,

.♦.△C'MN是等边三角形，

：.CM=CN,

：.MB'=ND',

,:NAB'M=NAD'N=120°,AB'=4D',

A/XAB'M学LAD'N(£4S),

:.NB'AM=ND'AN,

VZCAD=LZBAD=30°,

2

ZDAD'=15°,

；.a=15°.

(2)VZCB'D'=60°,

:.NEB'G=120°,

VZEAG=60°,

:.NEAG+NEB'G=180°,

四边形E4G8'四点共圆，

AZAEB'=NAGD',

■:NEAB'=NGAD',AB'=AD',

.♦.△AEB'丝△ZG。'(AAS),

：.EB'=GD',AE=AG,

'：AH=AH,NHAE=NHAG,

:.4AHE妥AAHG(SAS),

：.EH=GH,

'：/\EHB'的周长为2,

J.EH+EB'+HB'=B'H+HG+GD'=B'D'=2,

.".AB'—AB=2,

，菱形/8CO的周长为8.

【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的

关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

25.(13分)如图，在平面直角坐标系xoy中，。为坐标原点，点”(4,0),点B(0,

4),的中线/C与y轴交于点C,且。"经过O,A,C三点.

(1)求圆心M的坐标：

(2)若直线与。〃相切于点4交y轴于点O,求直线的函数表达式；

(3)在过点5且以圆心收为顶点的抛物线上有一动点P,过点尸作PE〃y轴，交直线

于点E.若以PE为半径的。P与直线/D相交于另一点F.当EF=4四寸，求点尸

【分析】(1)利用中点公式即可求解；

(2)设：ZCAO=a,则/C4O=NOZ14=/尸£7/=a,tanZCAO=—=tana,则

_OA2

sina=-^,cosa=-^,则CD=----...="10=1