上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试卷（解析版）

上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试题

一、选择题

i.已知在中，NC=90°,AC=3,BC=4,则tanA的值为（）

344

A.-8?D.-

45

【答案】8

【解析】

【分析】锐角A的对边。与邻边人的比叫做N4的正切，记作tanA,据此进行计算即可.

【详解】解：在用AABC中,

la加生，

AC3

故选：B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，解题时注意：在m△AC8中,

ZC=90°,贝i]tanA=3.

b

2.已知向量方和B都是单位向量，那么下列等式成立的是（）

A.a=bB.a+b=2C.a-b=0D.

向明

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量日和日都是单位向量,，可知国1=区|=1，由此即可判断.

【详解】解：A、向量方和5都是单位向量，但方向不一定相同，则〃=5不一定成立，故

本选项错误.

3、向量5和5都是单位向量，但方向不一定相同，则4+5=2不一定成立，故本选项错

误.

c、向量m和5都是单位向量，但方向不一定相同，则〃-5=o不一定成立，故本选项错

误.

。、向量方和5都是单位向量，则|源=区i=i,故本选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键

3.下列函数中，属于二次函数的是()

y=(x-2)--x2

【答案】C

【解析】

【分析】形如y=ax2+bx+c(a^O),a,b,c是常数的函数叫做二次函数，其中a称为二次

项系数，b称为一次项系数，c为常数项，x为自变量，y为因变量，据此解题.

【详解】A.y=一一右边不是整式，不是二次函数，故A错误；

x--2

B.y=Jx2一2右边是二次根式,不是整式，不是二次函数，故B错误：

C.y=d—2是二次函数，故C正确；

D.丁=(%-2)2-炉=%2-4%+4-%2=_4%+4是一次函数，故D错误，

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

4.将抛物线y=/一3向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是()

Ay=x2-1B.y=x2-5C.y=(x+2)2-3D.

y=(x-2)2-3

【答案】D

【解析】

【分析】先利用顶点式得到抛物线y=3的顶点坐标为(0,-3),再利用点平移的坐

标规律得到点(0,-3)平移后所得对应点的坐标为(2,-3),然后利用顶点式写出平移后

得到的抛物线的解析式.

【详解】解：•••原抛物线的顶点坐标为（0,-3）,

y=/-3向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（2,-3）,

...新抛物线表达式是y=（x—2）2-3.

故答案为：D.

【点睛】本题考查了二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点，用到的

知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数.

S.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=l:2.4,如果它把某物体从地面送到离地面10

米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）

传送带

/^777777777777777777777

A.10米B.24米C.25米D.26米

【答案】D

【解析】

【分析】根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案.

【详解】解：如图，

由题意得：斜坡AB的坡度：i=l：2.4,AE=10米，AE1BD,

1

•I=---=---,

BE2.4

；.BE=24米，

...在RJABE中，AB=yjAE2+BE2=26（米）・

故选：D.

【点睛】此题考查了坡度坡角问题.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意

理解坡度的定义.

6.如图，在RSABC中，ZACB=90°,。是边A3上一点，过。作OF_LA8交边于

点E,交AC的延长线于点尸，联结AE,如果tan/E4c=g,SACEF=I,那么以"c的值

是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

1-1-1

【分析】根据tan/E4C=—,可得——=一，由△EFCSAAB。，可得相似比为上，

3AC33

从而得到面积比为,，进而求出答案.

9

【详解】VZACB=90°,

.\ZfiAC+ZB=90°,

又；DELAB,

ZADF=90°,

：.ZBAC+ZF=9O°,

：.ZB=ZF,

又,?NECF=NACB=90°,

：./\ECF^/\ACB,

,ECCF/八1

••-----=------=tanN£L4C=—,

ACBC3

.SAECF_J_

,*1-9'

□△ACS7

又：SAECF=1,

••S&ABC=9,

故选：C.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的

性质是解决问题的关键.

二、填空题

7.如果。：。=3:2,那么----=.

a+b

3

【答案】-

【解析】

【分析】设a=3k,然后用k表示出b,最后代入，一计算即可.

a+b

【详解】解：设a=3k

■:a:b=3:2

：.3k:b=3;2,即3b=6k,解得b=2k

.a_3k_3k_3

a-vb3k+2k5k5

3

故答案为—.

【点睛】本题主要考查了比例化简求值，设出中间量、分别表示出a、b成为解答本题的关

键.

8.计算：3«-1（2«-4^）=

【答案】2a+2b

【解析】

【分析】根据向量的线性运算法则进行运算，从而可得答案.

【详解】解：3a——^2a-4b^=3a-a+2b=2a+2b.

故答案为：2a+2b-

【点睛】本题考查的向量的线性运算，掌握向量的加，减，数乘运算是解题的关键.

q.如果抛物线y=V-a经过点（2,0）,那么”的值是

【答案】4

【解析】

【分析】将点（2,0）代入抛物线解析式y=Y-。即可求得a的值.

【详解】解：•••抛物线y=。经过点（2,0）,

得：0=4-a.

解得,a=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，代入已知量即可求得未知量.

如果抛物线y=(Z+l)f有最高点，那么左的取值范围是.

【答案】k<-\

【解析】

【分析】根据二次函数>=(4+l)f有最高点，得出抛物线开口向下，即k+lVO,即可得

出答案.

详解】解：•.,抛物线y=(z+l)f有最高点，

.••抛物线开口向下，

.,.k+l<0,

**<k<-1>

故答案为：k<—1.

【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口

方向的特点.

11.如果抛物线/经过点4(-2,0)和3(5,0),那么该抛物线的对称轴是直线.

3

【答案】%=-

2

【解析】

3

【分析】根据抛物线的对称性得对称轴为直线x=彳.

2

【详解】•.•抛物线/经过点A(—2,0)和8(5,0),

-2+53

•••该抛物线的对称轴是直线x=

22

3

故答案为：%=-.

2

【点睛】此题考查抛物线的对称性，掌握抛物线的性质是解题的关键.

12.沿着x轴正方向看，抛物线y=/-2在V轴左侧的部分是的(填“上升”或“下

降”).

【答案】下降

【解析】

【分析】画出函数图象，直观判断即可.

【详解】抛物线y=f—2的图象如图所示:

可以看出，在y轴左侧部分下降，

故答案为：下降

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意画出正确图象是解决问题关键.

AP

13.点P是线段A8上的一点，如果AP2=BP-AB，那么——的值是________.

AB

【答案】叵11

2

【解析】

Ap

【分析】设AB=1,AP=x,贝i]BP=l-x,代入AP2=BP・AB求出x的值，最后代入——即

AB

可.

【详解】解：设AB=1,AP=x,则BP=l-x,

VAP2=BP•AB

/.x2=(1-x)•1,即x2+x-l=0,解得x=Yi二1或x=土史(舍)

22

V5-1

AP_[_石-1.

AB--1-2

故答案为避二1.

2

【点睛】本题考查了成比例线段，设出合适的未知数、根据比例列式求出未知数成为解答

本题的关键.

14.已知VA3C:VAB'C',顶点A、B、C分别与顶点A',B'，C'对应，A。、

AD分别是6C、8'C'边上的中线，如果8C=3,AD=2A,B'C'=2,那么AD的

长是.

o

【答案】I

【解析】

【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应边上的中线的比进而得出答案.

【详解】解：如图，

VAABC^AAiBiCi,BC=3,AD=2.4,B'C=2,

.BC_AD3_2.4

"B'CA'D''2A'D'

Q

5

Q

故答案为：

【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键.

rs.如图，AB//CD,A。、8c相交于点E，过E作EF//CD交BD于点、F,如果

AB=3,CD=6,那么EE的长是—

【答案】2

【解析】

APAR71

【分析】选证明得到一=一利用比例性质得到

EDCD62

DE2

—=一,再证明£F〃AB，则可判断△OEF'sqiB，然后利用相似比可得到

DA3

EF2

—问题可解.

AB3

【详解】解：•.•AB〃CD,

:./\ABE^/\DEC

•_A___E_____A___B_____3_____I

"ED~CD~6~2

DE2

——=-,

DA3

[]EF//CD,AB//CD,

DEF//AB,

:.ADEFSADAB，

EFDE_2

AS-AD-3

22

/.EF=—AB=—x3=2,

33

故答案为：2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形时，应注意利用图中已

有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方

法是通过作平行线构造相似三角形.

16.如图，梯形488中，AD//BC,ZA=90°,ZBDC=90°,49=4,

BC=9,那么

【答案】6

【解析】

【分析】根据题意可知△ABDS/XDCB,利用相似三角形对应边成比例，即可求出答案.

【详解】解：在直角梯形A8CO中，

VAD//BC,ZA=90。，ZBDC=90°,

.*.ZADB=ZDBC,NA=NBDC,

.".△ADB^ADCB,

.ADBD

又：AD=4,,BC=9,

；.BD=6

故答案为：6.

【点睛】本题考察了直角梯形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出

△ABD^ADCB.

17.如图，图中提供了一种求C0tl50的方法，作&“WC,使NC=90°,

ZABC=30°,再延长C3到点。，使班>=54,联结AO，即可得NO=15°,如果设

则可得(那么cotl5°=cot£>=C2=2+百，运用以上方

AC=fCO=2+6/

AC

法，可求得cot22.5°的值是

【答案】J^+l

【解析】

【分析】作使NC=90°,ZABC=45°,再延长BC到点。，使团>=84,

联结AO,即可得/£>=22.5°,设AC=r,然后用t表示出CD,最后根据余切的定义

作答即可.

【详解】解：如图：作使NC=90°,ZABC=45°,再延长CB到点。，使

BD=BA,联结AO,即可得ND=22.5°

设4C=f,则BC=t,AB=BD=V2t

所以DC=BC+AB=t+V^t=(1+V2)t

所以cot22.5o=生=°+夜”=1+6・

ACt

故答案为l+正.

【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45。的直角三角形，再作

辅助线得到22.5。角的直角三角形成为解答本题的关键.

18.如图，在ZC=90°,AC=6,BC=8,。是8C的中点，点E在边

ABk,将△5汨沿直线OE翻折，使得点8落在同一平面内的点8'处，线段夕。交边

AB于点尸，联结AB',当AAB'/Z是直角三角形时，8E的长为

【答案】2或一

17

【解析】

【分析】分两种情况讨论，当乙4尸8'=90。时，则NBED=90°,利用锐角三角函数先

求解DE,BF，B'F,设BE=x,再表示B'E,EF,再利用勾股定理求解x即可得到答

案；当NA?尸=90°时，如图，连接AD，过E作EHLBD于H,先证明:

Rt^ADC^ADB',再证明NAOE=90。，设BE=5x,利用B8的锐角三角函数可得

EH=3,BH=4x,DH=4-4x,AE=10-5x,利用勾股定理求解x可得答案.

【详解】解：•.•AC=6,BC=8,ZC=90°,

..AB=10,

1••。是3c的中点,

.-.BD=COMB'D=4,

当NAFB'=90°时，则/BFD=90°，

...sin/八"、=竺

AB5DB

设BE=x,则=EF=BF-x=--x,

5

2

/.x=2,

即：BE=2.

当NABN=90°时，如图，连接AO，过E作石HJL3D于“，

同理可得：CD=BD=B'D=4,

\AD=AD，NC=90°，

/.RMADgAADB'(HL)

：.ZADC=ZADB',

•;ZBDE=ABDE，

：.ZADB'+NB'DE=90°=ZADE,

设BE=5x,

由sin八把二二里

AB5BE

EH=3x,BH=4x,

..DH=4-4x,

.♦.0^2=(3x)2+(”4x)2,

4炉=(10-5x「

A£)2=62+42=52,

.-.(10-5x)2=52+(3x『+(4_旬2,

8

BE=5x=竺

17

当NB'AF=90。，不合题意，舍去.

综上：8E的长为2或4,0.

17

40

故答案为：2或万.

【点睛】本题考查的是折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应

用，掌握以上知识是解题的关键，要注意分情况讨论.

三、解答题

tan?45。

工Q.计算:-2sin60°.

cot30°-2cos45°

【答案】五

【解析】

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

【详解】解：原式=三上外生息J-g

=百+"6=啦.

2

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关

键.

2.0.已知二次函数的解析式为丁=:/一2》.

(1)用配方法把该二次函数解析式化为y=a(x+m)2+Z的形式;

(2)选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系X。)，内描点，画出该函

数的图像.

【解析】

【分析】(1)直接利用配方法即可把该二次函数的解析式化为顶点式;

(2)列表、描点、连线，画出函数的图象即可.

1,

【详解】解：(1)y=-JC-2x

2

=1(X2-4X)

1,

=-(X2-4X+4-4)

[(XT-2

1

y=/(x-2)-7-2；

(2)填表如下:

......-20246......

......60-206......

图像如下:

【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确掌握配方法以及画二次

函数图象的步骤是解题关键.

2，.如图，在A/WC中，点G是AABC的重心，联结AG,联结BG并延长交边AC于

点。，过点G作GE〃BC交边AC于点E.

(1)如果而=£，AC^h＜用£、B表示向量而;

(2)当AG_L8O,BG=6,NG4T>=45°时，求AE的长.

D

G

BC

—21「

【答案】(1)BG=——ci+—br；(2)AE=4^2'

【解析】

—>i—>—>2f

【分析】(1)由G是重心，可得AO=］力，BG=-BD,因为访=函+筋，可得

->->1->

BD=-a+^b,进而求出33；

(2)根据G是重心，求出OG=3,因为△AGO是等腰直角三角形，勾股定理计算出AZ)二

3亚，由4O=OC,Z)C=3Z)E求出QE=0,相加即可.

【详解】解：()

1-BD=BA+AD'

:点G是放△A8C的重心，

：.AD=^AC,

••—>—>—>—>

,AB=afAC=b1

-1f

AD=—a,

2

fT1T

・•・BD=-a+-h

2

-2f2^1―

・・・BG=—BD=—(-a+—b),

332

t2fL

BG=——a+—b.

33

(2)・・・G是三角形的重心,

；・BG=2GD,AD=DC,

・：BG=6,

:・GD=3,

VAGLBD,NGAZ)=45°，

：.AG=GD=3,

">=6+32=3万

•:GE//BC,

.DEGD\

"DC~BD~3'

：,DE=yj2，

/.AE=AD+DE=4-72

【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；

熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾

股定理解题是关键.

22.图1是一款家用落地式取暖器，如图2是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形

ABC。是取暖器的主体，等腰梯形是底座，BE=CF,烘干架连杆GH可绕边

CO上一点H旋转，以调节角度，已知C£>=50C7〃，BC=Scm,EF=20cm,

DH=Ucm,GH=15cm,ZCFE=30°,当NG”Z)=53°时，求点G到地面的距

离.(精确到0/cm)【参考数据：5m53°«0.80,cos530*06(),tan530-l.33,

百a1.73J

图1图2

【答案】点G到地面的距离为50.5cm.

【解析】

【分析】过H作HRLAB,在RSHGR中，利用三角函数求出GR的长，再根据

RB=CH=DC-DH,求出RB长，即可求出G到B的长度，过C作CT_LEF,过B作

BQ±EF,通过证明ABEQ之△CFT,得出EQ=FT,在RtaCFT中，利用三角函数求出

CT=BQ的长，由GQ=GB+BQ即可求出答案；

【详解】解：如图，过H作HRLAB,

VZGHD=53°,且AB//CD,

/.ZHGR=53°,

在Rt^HGR中，GR=COS53°XGH=COS53°X15=9,

.\GB=GR+RB=9+(50-12)=47,

过C作CT_LEF,过B作BQ_LEF,则NCTF=NBQE=90。,

VBE=CF,

ZE=ZF,

.♦.△BEQ丝△CFT,

.\EQ=FTBQ=CT,

•.,BC=8cm,EF=20cm,

EQ=FT=6cm,

在RtACFT中，NCFT=30。,

.".CT=BQ=tan30°xFT=-x6=273，

3

GQ=GB+BQ=47+26a47+2x1.73=50.46a50.5(cm),

答：点G到地面的距离约为50.5cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数值等知识点，解题的关键是构

造直角三角形利用三角函数值求线段长.

23.如图，在AABC中，点。、G在边AC上，点E在边BC上，DB=DC,

EG//AB,AE、BD交于点、F,BF=AG.

(1)求证：△BEE〜△CGE；

(2)当ZA£G=NC时，求证：AB2=AG-AC.

D

FG

BE

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

【分析】（1）由EG〃/3易证aCGEs^CAB,由性质得生=笠由比例性质得

CACB

—,由已知BF=AG比例式变为29=笠，由已知。5=£心，利用等边对等角

AGBEBFBE

得NFBE=NGCE,利用两边成比例夹角相等知^BFE^ACGE,

（2）由EG〃43,利用性质内错角相等/BAE=/AEG,由已知NAEG=NC,推出

ABBE

ZBAE=ZC,又/ABE=/CBA共用，可证AABES^CBA,由性质一=——，

BCAB

/BEA=/BAC,把比例变等积得ABJBGBE，由（1）利用性质

ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,推出/BAC=/GEC=/ABC=NEGC,利用等角对等边

得AC=BC,GC=EC,利用等量代换得AG=BE,可证AB?=AC.AG.

【详解】（1）,/EG//AB,

.•.NCGE=NCAB,ZCEG=ZCBA,

.♦.△CGEs/xCAB,

.CGCE

"CA"CB'

CGCECGCE

•.-------=-------即P1tl=:

CA-CGCB-CEAGBE

VBF=AG

,CG_CE

BF-BE'

DB=DC,

，NDBC=NDCB,即NFBE=NGCE,

ABFESACGE,

(2),/EG//AB,

.\ZBAE=ZAEG,

又•••NAEG=NC,

；./BAE=/C,

又•.,NABE=NCBA共用,

.".△ABEcoACBA,

ABBE

-----=------,NBEA=NBAC,

BCAB

•••AB2=BC.BE-

由(1)ABFE^/\CGE,

.*.ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,

:EG//AB,

NABC=NGEC,ZBAC=ZEGC,

/.ZBAC=ZGEC=ZABC=ZEGC,

.\AC=BC,GC=EC,

；.AG=BE,

AB2=BC.BE=AC.AG.

BE

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形

的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，会利用换比的方法证三角形相似，会利用相似

证角等转化边角关系是解题关键.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点4(一1,0)、8(3,0)、C(0,3)，抛物线

y+Z?x+c经过A、B两点.

(1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；

(2)在(1)题的条件下，点尸为该抛物线上一点，且位于第三象限，当

NPBC=NACB时，求点尸的坐标；

(3)如果抛物线y="2+0x+c的顶点。位于ABOC内，求。的取值范围.

【解析】

【分析】(1)将点A(-1,0)、8(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=谒+法+。,利用待定

系数法即可求解：

(2)先证明△AOC丝aEOBlASA)得出E(0,-1),利用待定系数法求出直线PB的解析

式，根据P是直线与抛物线的交点，联立解析式即可求出P点的坐标；

(3)根据抛物线丁=。无2+以+。经过4(—1,0)、8(3,0),求得抛物线解析式，从而表

示出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，当x=l时，y=2,根据D位

于ABOC内部，列出关于a的不等式即可求解.

【详解】(1)将点A(T,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c

a-b+c=O

得：<9a+3>b+c=0,

c=3

a=-1

解得："=2,

c=3

抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.

(2)如图：

.\OB=OC

ZOBC=ZOCB

当NPBC=/ACB时，则NPBC-/OBC=NACB-/OCB

E|JZPBO=ZACO

设PB交y轴于点E,

在4AOCWAEOB中

ZPBO=NACO

<OB=OC,

ZEOB=ZAOC

：.AAOC^AEOB(ASA)

/.OE=OA=1

AE(O,-1)

设PB的解析式为y=mx+n

将B(3,0),E(0,-1)代入

3m+n=0

得《

n=-1

1

m=—

解得《3,

n=-1

直线PB的解析式为y=；x-l,

y=-_1

联立解析式彳3x,

y——x~+2x+3

4

x——

x,=32

解得《3

IM=o13

29

413

P(­7

(3)如图，

•.，y=ax2+bx+c经过A(T,0)、B(3,0)

y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a

一2。

・・・对称轴为直线x=-——=1,顶点D的坐标为(1,-4a)

2a

由B(3,0)、C(0,3)易得BC解析式为y=-x+3

当x=l时，y=2

因此当D位于ABOC内时

0<-4a<2

解得一,VaVO

2

即a的取值范围是＜a＜0.

2

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次

函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定，证得AAOC丝aEOB,从而得到E

的坐标是解题的关键.

25如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=3,8C=4,过点A作射线

点。、E是射线4W上的两点(点。不与点A重合，点E在点。右侧)，连接3D、BE

分别交边AC于点/、G,NDBE=NC.

(1)当AD=1时，求FB的长

(2)设AD=x,FG=y,求＞关于》的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)联结力G并延长交边8c于点H,如果△08〃是等腰三角形，请直接写出A。的

长.

4/—4V-+36937

【答案】(1)FB=-M；(2)y=(0<x<4)；(3)AO=一或一或一.

5.5x+2()\'428

【解析】

4(f+9)

【分析】

4x+9