修改前论文-2009级6班刘伟new

矩阵分解数学与应用数学专业学生刘伟指导教师刘军摘要：矩阵是代数中一个应用广泛的重要概念，是代数中的主要研究对象。随着现代技术的发展，矩阵知识逐渐应用于工程技术等诸多领域中，把矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积，是在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的。当某些矩阵满足一些特定的条件时可以对其进行一定的分解。矩阵分解后的特殊形式，一方面能明显地反应出原矩阵的某些数字特征；另一方面，分解的方法与过程往往提供了某些有效的数值计算方法和理论分析依据。矩阵分解方法在多个领域得到了很好的应用。关键词：矩阵分解三角分解法QR分解法奇异值分解法MatrixDecompositionmathematicsandappliedmathematicsLiuweiTutorLiujunAbstract：Matrixisanimportantconceptwidelyusedinalgebra,isthemainresearchobjectinalgebra.Knowledgegraduallywiththedevelopmentofmoderntechnology,matrixusedinmanyfieldssuchasengineeringtechnology,thenatureoftheformofmatrixisdecomposedintosimpleormorefamiliarwithsomeofthematrixproduct,isintheresearchandapplicationofmatrixtheory,isveryimportant.Whencertainmatrixsatisfycertainconditionstoacertainnumberofdecomposition.Specialformafterthematrixdecomposition,ontheonehand,canclearlyreflectacertainNumbersoftheoriginalmatrixcharacteristic;Decomposition,ontheotherhand,oftenprovidessomeeffectivemethodsandprocessofnumericalcalculationandtheoreticalanalysisbasis.Matrixdecompositionmethodisappliedinmanyfields.Keywords:MatrixDecomposition；TriangularDecomposition；QRDecomposition；SingularValueDecompostion引言矩阵分解是研究矩阵性质的主要方法，明确矩阵分解的具体定义，探讨矩阵分解的三种常见方法，三角分解法、QR分解法、奇异值分解法。这些矩阵的分解方法可以解决高等代数中的许多问题。例如线性方程组的一些重要性质就反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，而且解线性方程组的过程也就是变换这种矩阵的过程。某些复杂的线性方程组就可以利用矩阵的三角分解法来求解。除此之外还有求矩阵的逆、行列式的值、矩阵特征值等这些问题，也都利用了矩阵分解的方法。从而可以看出矩阵分解在矩阵理论的研究中占有较为重要的地位。对矩阵的研究是对矩阵进行初等变换或进行分解以后进行研究，当矩阵满足一些特定的条件时可以对其进行一定的分解，矩阵的分解方法是解决矩阵问题的重要方法之一,它的核心思想就是删繁就简,充分体现了解决数学问题的“转化”思想。为高效率地处理存放于矩阵中的数据信息,采取将矩阵进行分解的方法。分解后,不但可将用于描述问题的原始阵的维数大大消减,同时也可以对原始矩阵中存放的大量数据进行压缩和概括。非负矩阵分解（NMF）近年来快速发展,是目前国际上新的矩阵分解方法,并已初步成功地应用于一些领域中。如:图像处理、生物医学、文本聚类和语音信号处理等.因此,探索矩阵的分解方法一直是非常有意义的。1三种常见的矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三角分解法2)QR分解法，3)奇异值分解法。1．1三角分解法对于n阶矩阵A，如果存在n阶下三角矩阵L和n阶上三角矩阵U，使得A=LU，则称之为A的三角分解。这样的分解法又称为LU分解法。并不是任何一个n阶矩阵A都能进行三角分解，如当A是可逆矩阵时，A可以进行三角分解的充要条件是A的n个顺序主子阵均可逆。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。LU分解常用于计算行列式的值，解方程组和求矩阵的逆。当矩阵Ａ的各阶顺序主子式不为零，且不接近零时，LU分解可以通过顺序高斯消去法得到。例如把方程组写成矩阵形式Ax=b.第一步消元等价于用初等矩阵左乘增广矩阵（A，b),直到矩阵A变为上三角矩阵，因此将现在的增广矩阵记为（U，）则,于是有据此得这里是单位下三角矩阵，U是上三角阵。(1)计算行列式的值：由于LU分解A=LU，则由行列式性质推出(2)解方程组：由LU分解，则解方程组等价于解令Ux=y,则归结为解两个三角形方程组(3)求矩阵的逆：考虑n阶方阵A.设存在，即记得第i列为,则记的第i列为,则于是即这是以A为系数阵，为右端项的线性代数方程组，它的解恰好是的第i列元。据此分析得求A的步骤：首先作三角分解.然后对i=1,2,...,n分别解三角形方程组,求出（i=1,2,...,n)后，把装配起来得到例1用LU分解求解下列问题：计算行列式解方程组,其中求逆矩阵解用Gauss消去法可得A的三角分解1)2)先解,得再解,得先解,得再解,得同样可求出所以1.2QR分解法对于n阶复（或实）矩阵A，如果存在n阶酉矩阵（或正交矩阵）Q和n阶上三角矩阵R，使得，则称之为A的QR分解，也称之为酉-三角分解（或正交三角分解）。方阵A的QR分解总是存在的。矩阵的QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要的作用，而且得到他们的精确解非常重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解，故在工程技术上用QR分解可以得到其在某一精度水平上的近似解。特别地，当矩阵A可逆时，也可以采用Schmidt正交化方法进行QR分解。定理若是可逆矩阵，则存在n阶酉矩阵Q和非奇异上三角矩阵，使得A=QR，且这一表示式是唯一的。证明令,其中是A的第i个列向量，由A可逆知它们线性无关。用Schmidt正交化方法将其正交化，即其中.再对P,P,...,P单位化：,,...,代入上式得于是有令则Q是酉矩阵，R是上三角矩阵，且。再证惟一性，设A有两个分解式,其中Q和Q是酉矩阵，R和是上三角矩阵，则有上式表明是酉矩阵，又它是上三角矩阵，易知上式表明，从而，即分解式是惟一的。例2利用Schmidt正交化方法求矩阵的QR分解。解将正交化得再单位化得于是故1.3奇异值分解法（SVD）奇异值分解法是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，该方法的理论基础的诞生已有百余年的历史，而被应用到技术领域还是随着计算机的发展以及信息工程的需要，于20世纪70年代初开始广泛应用于处理矩阵的有关秩的问题之中。并且，在许多领域展现了其魅力，如：信号处理、系统辨认、实验数据处理、统计学等等。定义设，称矩阵的n个特征值（i=1,2,...,n)的算术平方根为A的奇异值。对于秩为r(r>0)的矩阵A，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得其中，而为A的全部非零奇异值，称上式为A的奇异值分解。证明：设矩阵A的奇异值分解为则U的列向量是的特征向量，V的列向量是的特征向量。证由于，于是令,,代入上式可得（j=1,2,,r）(j=r+1,,m)(j=1,2,,r)(j=r+1,,n)可见是的特征向量，是的特征向量。例3已知。求A的奇异值分解。解，所以的特征值，A的奇异值，的特征值的单位特征向量因此又的零特征值所对应的次酉矩阵的零特征值所对应的次酉矩阵于是的酉矩阵U与的酉矩阵Ｖ分别为且2矩阵分解的应用研究2．1基于矩阵分解的数字图像分存技术随着现代通讯技术的飞速发展和广泛应用，我们可以预见将会有大量的国家、企业和个人的信息在国际互联网和各种不同类型的局域网上传输。然而，由于网络开放性的特点，使得每一个人都可以在网络上自由地获得他感兴趣的信息，而且也可以很方便地对信息进行编辑、修改和复制，甚至可以恶意对某些信息进行破坏。这就使得我们对信息的安全性更加关注。而图像信息的安全性就是其中一个特别重要的研究领域。任何一幅数字图像都可以看作一个矩阵，矩阵元素所在的行与列，就是图像显示在计算机屏幕像素点的坐标，元素的数值就是像素的灰度（或色彩值）。利用矩阵分解的结论，可以把表示图像的矩阵分解为两个矩阵的和的形式，从而可以实现图像的分存。这种矩阵分解的方式可以无限迭代，由此可以把一幅图像分解为任意多个子图像的和的形式，达到隐蔽传输图像的目的。数字图像分存技术把一幅秘密的数字图像分解成几幅无意义或者杂乱无章的图像或者伪装到几幅有意义的图像中进行存储或传输。它可以避免由于少数图像信息的丢失而造成严重的事故，同时在通信中个别图像信息的泄露不会引起整个图像信息的丢失。2．2矩阵分解算法在生物信息学中的应用研究以芯片技术为代表的高通量技术的诞生,标志着基因组研究进入了新的水平。芯片实验能够同时测量成千上万个基因的表达水平,利用这一技术,研究者可以获得细胞在生理、发育过程中各个基因表达水平的动态变化信息,也可以监控外部环境变化时细胞内部各个基因表达水平的变化状况,这就提供了一种量化细胞活动过程的有效途径。因此,芯片技术在生命科学的研究中得到了广泛应用,产生了海量的基因表达数据。这些数据中蕴藏着生命活动的基本规律,深入分析这些数据,有助于进一步认识和理解纷繁多样的表现型下隐藏的调控机理、作用机制,有助于人们研究各种疾病的病变机理、确定药物的作用靶、辅助新药的研制等,最终帮助人们理解生命的奥秘。针对这些海量的基因表达数据设计新的算法,识别蕴藏的各种特征,并给出合理解释,是当前生物信息学研究的主题,来自不同学科的研究者提出了各种各样的计算方法。数学上,芯片实验产生的数据一般表现为的矩阵,其中N表示基因数目,M表示样本数目(如基于时间顺序的采样点、不同的实验条件、组织类型等),M<<N,即样本的数目远远小于基因数目。针对这一特点,奇异值分解(SVD)及各种成分分析技术先后被用于芯片实验数据的分析和处理,这些方法能够有效地降低表达数据的维数,识别数据中蕴含的全局特征,但却难以识别细胞活动过程中特定条件下存在的局部特征。而非负矩阵分解算法(NMF)最大优点是能够在一定程度上识别数据的局部特征,定量地刻画局部与整体之间潜在的、可加的非线性组合关系。近年来,非负矩阵分解算法已经被广泛地应用于图像处理、人脸识别、文本信息处理、音频处理等多个领域,产生了大量快速实用的有效算法,这就使得非负矩阵分解算法特别适合于分析大规模的基因芯片数据。许多研究者利用非负矩阵分解算法能够分析和处理生物信息学领域的多种问题,包括基因表达数据聚类、调控模式及功能模块识别、生物医学文本挖掘、序列模式与基因功能分析等,取得了诸多有意义的研究成果。2.3矩阵分解解决线性代数问题的应用线性代数中将一个矩阵分解为若干个矩阵的和或乘积,是解决某些线性代数问题的重要方法,其技巧性、灵活性以及实用性都很强,通过例题从以下几方面说明矩阵分解的简单应用。1.“无”中生“E”分解的应用例1若A满足,证明E-A非奇异,并求。证明:由方程两端同时加一单位阵E，即非奇异，且。例2已知A、B、A+B都为n阶可逆阵,求证也可逆并求其逆。证明:因为又因为A、B、A+B都可逆，则、也可逆，因此可逆。故为可逆矩阵，并且=。2.矩阵乘积分解的应用若一矩阵A可分解为两个矩阵的乘积(如矩阵A的秩为1),或可以相似对角化(如A有n个线性无关的特征向量),则可以利用分解式计算A的幂次。例1设矩阵求。解:因为r(A)=1,显然，令，，故3小结与展望本文首先介绍了矩阵分解的三种常见方法，矩阵的三角分解法又称LU分解，可以利用这种分解方法求解矩阵的逆、方程组的解、行列式的值。矩阵的QR分解又称为酉-三角分解，这种分解法解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要的作用。了解三种方法的具体定义，探究它们的分解过程，并用具体的例子加以说明。然后介绍了矩阵分解在数字图像分存技术、生物信息学中的应用研究，还介绍了矩阵分解为解决某些线性代数问题提供的方法。由于近代数学、工程技术、经济理论管理科学等诸多领域中，大量涉及到了矩阵理论知识。因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。然而矩阵分解是解决矩阵问题的重要方法之一,分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析依据。这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。非负矩阵分解（NMF）近年来快速发展,是目前国际上新的矩阵分解方法,并已初步成功地应用于一些领域中.如:图像处理、生物医学、文本聚类和语音信号处理等.因此,探索矩阵的分解方法一直是非常有意