2023版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数与幂函数真题演练集训理新人教A版

PAGEPAGE52022版高考数学一轮复习第二章函数概念与根本初等函数Ⅰ2.4二次函数与幂函数真题演练集训理新人教A版1．[2022·新课标全国卷Ⅲ]a＝2eq\s\up15(eq\f(4,3))，b＝4eq\s\up15(eq\f(2,5))，c＝25eq\s\up15(eq\f(1,3))，那么()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案：A解析：因为a＝2eq\s\up15(eq\f(4,3))＝16eq\s\up15(eq\f(1,3))，b＝4eq\s\up15(eq\f(2,5))＝16eq\s\up15(eq\f(1,5))，c＝25eq\s\up15(eq\f(1,3))，且幂函数y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c.2．[2022·四川卷]如果函数f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递减，那么mn的最大值为()A．16 B．18C．25 D．eq\f(81,2)答案：B解析：①当m＝2时，∵f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递减，∴0≤n<8，mn＝2n<16.②当m≠2时，函数f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)的对称轴方程为x＝－eq\f(n－8,m－2).a．当m＞2时，抛物线开口向上，∵f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递减，∴－eq\f(n－8,m－2)≥2，即2m＋n≤12.又2m＋n≥2eq\r(2mn)，∴2eq\r(2mn)≤12，∴mn≤18.当2m＝n＝6，即m＝3，n＝6时取等号，∴mn的最大值为18.b．当m＜2时，抛物线开口向下，∵f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递减，∴－eq\f(n－8,m－2)≤eq\f(1,2)，即m＋2n≤18，即n≤9－eq\f(1,2)m.又∵0≤m＜2，n≥0，∴mn≤9m－eq\f(1,2)m2＝－eq\f(1,2)(m－9)2＋eq\f(81,2)＜－eq\f(1,2)(2－9)2＋eq\f(81,2)＝16.综上所述，mn的最大值为18，应选B.3．[2022·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是()ABCD答案：D解析：当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调遂增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，应选D.4．[2022·重庆卷]eq\r(\a\vs4\al(3－aa＋6))(－6≤a≤3)的最大值为()A.9 B．eq\f(9,2)C.3 D．eq\f(3\r(2),2)答案：B解析：易知函数y＝(3－a)(a＋6)的两个零点是3，－6，对称轴为a＝－eq\f(3,2)，y＝(3－a)(a＋6)的最大值为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(3,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋6))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2，那么eq\r(3－a6＋a)的最大值为eq\f(9,2)，应选B.5．[2022·辽宁卷]对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，eq\f(3,a)－eq\f(4,b)＋eq\f(5,c)的最小值为________．答案：－2解析：设2a＋b＝x，那么2a＝x－b，∴(x－b)2－b(x－b)＋4b2－c＝0，x2－3bx＋6b2－c＝0，即6b2－3xb＋x2－c＝0.∴Δ＝9x2－4×6×(x2－c)≥0，∴3x2－8x2＋8c≥0，∴x2≤eq\f(8,5)c.当|2a＋b|＝|x|取最大时，有(2a＋b)2＝eq\f(8,5)c，∴4a2＋4ab＋b2＝eq\f(8,5)c.又∵4a2－2ab＋4b2＝c，①∴eq\f(b,a)＝eq\f(2,3)，∴b＝eq\f(2,3)a.将b＝eq\f(2,3)a代入①，得4a2－2a·eq\f(2,3)a＋eq\f(4,9)a2·4＝c，∴a＝eq\f(3,2)eq\r(\f(c,10))，b＝eq\r(\f(c,10))或a＝－eq\f(3,2)eq\r(\f(c,10))，b＝－eq\r(\f(c,10)).当a＝eq\f(3,2)eq\r(\f(c,10))，b＝eq\r(\f(c,10))时，有eq\f(3,a)－eq\f(4,b)＋eq\f(5,c)＝eq\f(3,\f(3,2)\r(\f(c,10)))－eq\f(4,\r(\f(c,10)))＋eq\f(5,c)＝eq\f(2\r(10),\r(c))－eq\f(4\r(10),\r(c))＋eq\f(5,c)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(c))－\f(\r(10),5)))2－2≥－2，当eq\f(1,\r(c))＝eq\f(\r(10),5)，即c＝eq\f(5,2)时等号成立．此时a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(1,2).当a＝－eq\f(3,2)eq\r(\f(c,10))，b＝－eq\r(\f(c,10))时，eq\f(3,a)－eq\f(4,b)＋eq\f(5,c)＝－eq\f(2\r(10),\r(c))＋eq\f(4\r(10),\r(c))＋eq\f(5,c)＝eq\f(2\r(10),\r(c))＋eq\f(5,c)＞0，综上可知，当c＝eq\f(5,2)，a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(1,2)时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)－\f(4,b)＋\f(5,c)))min＝－2.课外拓展阅读构造二次函数解决问题二次函数是中学数学的一个重要知识，它与一元二次不等式、一元二次方程的联系是诸多命题者的关注点．对于有些问题假设能充分利用二次函数的性质，那么会迎刃而解．下面就给出几种构造二次函数解决问题的例题．1．构造二次函数求根式函数的最值[典例1]求函数y＝x2＋eq\r(1－x2)的最值．[思路分析]利用换元法转化为二次函数求最值．[解]令eq\r(1－x2)＝u，那么x2＝1－u2，且0≤u≤1.所以y＝1－u2＋u＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，所以1≤y≤eq\f(5,4)，故ymin＝1，ymax＝eq\f(5,4).2．构造二次函数解不等式(1)从结论的外形结构作形式联想进行构造[典例2]a<b<c，求证：a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2.[思路分析]观察结论的特点，假设将不等式移项后，有a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)<0，设A＝a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)＝(b－c)a2＋(c2－b2)a＋(b2c－bc2)，考虑到a是按降幂排列的，故可联想到构造二次函数f(x)＝(b－c)x2＋(c2－b2)x＋(b2c－bc2)求解．[证明]令A＝a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)＝(b－c)a2＋(c2－b2)a＋(b2c－bc2)．设f(x)＝(b－c)x2＋(c2－b2)x＋(b2c－bc2)＝(b－c)(x－b)(x－c)，因为b<c，所以函数f(x)的图象开口向下，且与x轴交点的横坐标为b，c，所以当x<b或x>c时，f(x)<0.又a<b，所以f(a)<0，即A<0，所以a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2.(2)利用二次函数的最值特征进行构造[典例3]a1，a2，…，an为实数，试证：(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2≥eq\f(na\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n)－a1＋a2＋…＋an2,n)[思路分析]所证不等式的左边可看作是关于x的二次函数，只要证此二次函数的最小值是eq\f(na\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n)－a1＋a2＋…＋an2,n)即可．[证明]设f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))．因为n>0，所以对于二次函数f(x)，当x＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)时，f(x)有最小值，且f(x)min＝eq\f(na\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n)－a1＋a2＋…＋an2,n).所以f(x)≥eq\f(na\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n)－a1＋a2＋…＋an2,n)，故原不等式成立．(3)利用根与系数的关系构造二次函数[典例4]a>eq\f(1,3)，b>eq\f(1,3)，ab＝eq\f(2,9)，求证：a＋b<1.[思路分析]条件出现了ab＝eq\f(2,9)，而结论中有a＋b，假设设a＋b＝t，那么a，b为二次函数f(x)＝x2－tx＋eq\f(2,9)的图象与x轴的两个交点的横坐标，由于a>eq\f(1,3)，b>eq\f(1,3