2020-2021人教版数学4教师用书：第1章 1.2.1 第2课时三角函数线及其应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学必修4教师用书：第1章1.2.1第2课时三角函数线及其应用第2课时三角函数线及其应用学习目标核心素养1。了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2。能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．（难点）通过三角函数线的学习，培养学生数学抽象，直观想象和数学建模素养。1．有向线段（1)定义:带有方向的线段．（2）表示：用大写字母表示,如有向线段OM，MP.2．三角函数线（1）作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.②过A(1，0）作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T。(2)图示：（3）结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？提示：当角的终边落在x轴上时,正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．1．角eq\f（π,7)和角eq\f（8π，7）有相同的(）A．正弦线 B．余弦线C．正切线 D．不能确定C［角eq\f（π,7）和角eq\f（8π，7)的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线OM，正切线A′T′B．正弦线OM，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线MP，正切线A′T′C［α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．］3．若角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为________．1［若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0,1）或(0，－1），所以正弦线长度为1.］作已知角的三角函数线【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－eq\f(π，4)；(2)eq\f(17π,6)；(3)eq\f(10π,3）.[解]如图．其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．三角函数线的画法1作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足，从而得正弦线和余弦线。2作正切线时，应从A1，0点引x轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T，即可得到正切线AT.eq\o（[跟进训练］）1．作出－eq\f(5π,8）的正弦线、余弦线和正切线．[解］如图：sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(5π，8)))＝MP，coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（5π,8)))＝OM，taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(5π，8)））＝AT.利用三角函数线比较大小【例2】(1）已知cosα＞cosβ，那么下列结论成立的是()A．若α、β是第一象限角，则sinα＞sinβB．若α、β是第二象限角,则tanα＞tanβC．若α、β是第三象限角，则sinα＞sinβD．若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ（2)利用三角函数线比较sineq\f（2π，3）和sineq\f(4π,5），coseq\f(2π,3)和coseq\f（4π,5)，taneq\f(2π,3）和taneq\f（4π，5）的大小．思路点拨：（1）(2)（1)D［由图（1)可知，cosα＞cosβ时,sinα＜sinβ，故A错误;图（1)由图(2)可知，cosα＞cosβ时，tanα＜tanβ,故B错误；图（2)由图(3)可知，cosα＞cosβ时，sinα＜sinβ,C错误；图（3）由图（4）可知，cosα＞cosβ时，tanα＞tanβ，D正确．]图(4)（2)解：如图，sineq\f（2π,3）＝MP，coseq\f（2π，3)＝OM，taneq\f(2π,3)＝AT,sineq\f(4π,5）＝M′P′,coseq\f（4π,5）＝OM′,taneq\f(4π，5）＝AT′。显然|MP｜＞|M′P′｜，符号皆正，∴sineq\f(2π，3）＞sineq\f（4π,5）；｜OM|＜｜OM′｜，符号皆负,∴coseq\f(2π,3)＞coseq\f(4π，5）；｜AT｜＞|AT′|，符号皆负，∴taneq\f（2π,3)＜taneq\f(4π,5)。1利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负。2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.，②注意点：比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向。eq\o([跟进训练］)2．已知a＝sineq\f（2π,7），b＝coseq\f（2π,7)，c＝taneq\f（2π,7）,则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜cD［由如图的三角函数线知:MP＜AT,因为eq\f(2π，7)＞eq\f(2π，8)＝eq\f（π，4)，所以MP＞OM,所以coseq\f(2π,7）＜sineq\f（2π,7)＜taneq\f（2π,7），所以b＜a＜c。]3．设eq\f(π,4）＜α＜eq\f(π,2），试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果eq\f（π,2）＜α＜eq\f（3π,4）,上述长度关系又如何？[解]如图所示，当eq\f（π，4）＜α＜eq\f（π,2)时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM,正切线为AT,显然在长度上,AT＞MP＞OM；当eq\f（π,2)＜α＜eq\f（3π，4)时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′,正切线为AT′,显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′。利用三角函数线解三角不等式［探究问题］1．利用三角函数线如何解答形如sinα≥a,sinα≤a（｜a｜≤1)的不等式?提示：对形如sinα≥a，sinα≤a（|a|≤1）的不等式:图①画出如图①所示的单位圆;在y轴上截取OM＝a，过点（0,a）作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′,并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合;图中阴影部分即为满足不等式sinα≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式sinα≥a的角α的范围．2．利用三角函数线如何解答形如cosα≥a,cosα≤a(｜a｜≤1）的不等式？提示：对形如cosα≥a，cosα≤a(|a|≤1)的不等式：图②画出如图②所示的单位圆;在x轴上截取OM＝a，过点（a,0）作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cosα≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cosα≥a的角α的范围．【例3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．（1）cosα＞－eq\f（\r（2），2)；（2)tanα≤eq\f（\r（3），3)；（3)|sinα|≤eq\f(1,2)。思路点拨:[解]（1)如图，由余弦线知角α的取值范围是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\}(\a\vs4\al\co1（2kπ－\f(3π，4）＜α＜2kπ＋\f(3π，4)，k∈Z）)））。（2）如图，由正切线知角α的取值范围是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}（\a\vs4\al\co1（kπ－\f（π,2）＜α≤kπ＋\f（π,6），k∈Z）)））。（3)由｜sinα|≤eq\f(1,2),得－eq\f(1,2）≤sinα≤eq\f（1,2).如图，由正弦线知角α的取值范围是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π,6））)））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（≤α≤kπ＋\f(π，6)，k∈Z）））)。1．将本例(1）的不等式改为“cosα＜eq\f（\r（2），2)”，求α的取值范围．[解］如图，由余弦线知角α的取值范围是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\}（\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f(π,4)＜α＜2kπ＋\f(7π,4），k∈Z)))）.2．将本例（3)的不等式改为“－eq\f（1,2）≤sinα＜eq\f(\r(3),2）"，求α的取值范围．［解]由三角函数线可知sineq\f(π，3)＝sineq\f（2π,3)＝eq\f（\r(3),2），sineq\f(7π,6)＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，6)））＝－eq\f(1,2)，且－eq\f（1,2）≤sinθ＜eq\f（\r(3）,2),故θ的取值集合是eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π,6），2kπ＋\f(π，3）)）∪eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f（2π,3),2kπ＋\f(7π,6）)）(k∈Z)．3．利用本例的方法，求函数y＝eq\r(,2sinx－1)的定义域．［解］要使函数有意义,只需2sinx－1≥0，即sinx≥eq\f(1,2）。由正弦线可知定义域为eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f（π,6),2kπ＋\f(5π，6）)）(k∈Z）．利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法1首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.2角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.3写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合。1．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题（1)三角函数线的画法，见类型1;(2）利用三角函数线比较大小,见类型2；（3)利用三角函数线解简单不等式，见类型3.2．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负,与坐标轴同向为正,异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．3．利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sinx≥b,cosx≥a（sinx≤b，cosx≤a），求解关键是寻求恰当的点,只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于tanx≥c,取点（1，c),连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围1．下列判断中错误的是(）A．α一定时，单位圆中的正弦线一定B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C．α和α＋π有相同的正切线D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上B［A正确；B错误，如eq\f(π,6)与eq\f（5π,6)有相同正弦线;C正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线;D正确．］2．如果OM,MP分别是角α＝eq\f(π，5）的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是()A．MP＜OM＜0 B．MP＜0＜OMC．MP＞OM＞0 D．OM＞MP＞0D［角β＝eq\f（π，4)的余弦线与正弦线相等,结合图象可知角α＝eq\f(π,5）的余弦线和正弦线满足OM＞MP＞0。]3．若a＝sin4,b＝cos4，则a，b的大小关系为________．a＜b[因为eq\f（5π,4）＜4＜eq\f(3π,2），画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图），观察可知sin4＜cos4，即a＜b.］4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r（3）,2)；（2）cosα≤－eq\f(1，2).［解］(1）作直线y＝eq\f(\r(3)，2）交单位圆于A，B两点,连接OA，OB,则角α的终边在如图①所示的阴影区域内（含边界)，角α的取值集合为eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(π,3)＋2kπ≤α≤\