2023版高考数学大一轮复习第十一章概率11.3几何概型教师用书文新人教版

PAGEPAGE152022版高考数学大一轮复习第十一章概率11.3几何概型教师用书文新人教版1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).3．几何概型试验的两个根本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的根本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝eq\f(M,N)作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个根本领件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的时机相等．(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝eq\f(1,9).(×)1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，那么此点坐标小于1的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案B解析坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为eq\f(1,3).2．(2022·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x，那么事件“－1≤≤1〞发生的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)答案A解析由－1≤≤1，得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，∴0≤x≤eq\f(3,2).∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影局部，那么可中奖，小明要想增加中奖时机，应选择的游戏盘是()答案A解析∵P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．4．(2022·济南月考)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，假设一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，那么苍蝇被捕捉的概率是()A.eq\f(π,180)B.eq\f(π,150)C.eq\f(π,120)D.eq\f(π,90)答案C解析屋子的体积为5×4×3＝60(立方米)，捕蝇器能捕捉到的空间体积为eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13×3＝eq\f(π,2)(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是eq\f(\f(π,2),60)＝eq\f(π,120).5.假设将一个质点随机投入如下图的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，那么质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．答案eq\f(π,4)解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，那么P(A)＝eq\f(阴影面积,长方形面积)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).题型一与长度、角度有关的几何概型例1(1)(2022·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.eq\f(7,10)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8)D.eq\f(3,10)(2)(2022·太原调研)在区间[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上随机取一个数x，那么cosx的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为________．答案(1)B(2)eq\f(1,3)解析(1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，应选B.(2)当－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)时，由0≤cosx≤eq\f(1,2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，根据几何概型概率公式得所求概率为eq\f(1,3).(3)如下图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．解因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1〞，那么可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5).引申探究1．本例(2)中，假设将“cosx的值介于0到eq\f(1,2)〞改为“cosx的值介于0到eq\f(\r(3),2)〞，那么概率如何？解当－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)时，由0≤cosx≤eq\f(\r(3),2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,6)或eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,2)，根据几何概型概率公式得所求概率为eq\f(2,3).2．本例(3)中，假设将“在∠BAC内作射线AM交BC于点M〞改为“在线段BC上找一点M〞，求BM<1的概率．解依题意知BC＝BD＋DC＝1＋eq\r(3)，P(BM<1)＝eq\f(1,1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,2).思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型〞与“角度型〞的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2022·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)(2)集合A＝{x|－1<x<5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,3－x)>0))))，在集合A中任取一个元素x，那么事件“x∈(A∩B)〞的概率是________．答案(1)B(2)eq\f(1,6)解析(1)如下图，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2)，应选B.(2)由题意得A＝{x|－1<x<5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<3))))，故A∩B＝{x|2<x<3}．由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，那么x∈(A∩B)的概率为P＝eq\f(1,6).题型二与面积有关的几何概型命题点1与平面图形面积有关的问题例2(2022·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，那么用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.eq\f(4n,m)B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n)D.eq\f(2m,n)答案C解析由题意得(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如下图方格中，而平方和小于1的点均在如下图的阴影中，由几何概型概率计算公式知eq\f(\f(π,4),1)＝eq\f(m,n)，∴π＝eq\f(4m,n)，应选C.命题点2与线性规划知识交汇命题的问题例3(2022·武汉模拟)由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))确定的平面区域记为Ω1，由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))确定的平面区域记为Ω2，假设在Ω1中随机取一点，那么该点恰好在Ω2内的概率为________．答案eq\f(7,8)解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠局部就是区域OACD，易知C(－eq\f(1,2)，eq\f(3,2))，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝eq\f(S四边形OACD,S△OAB)＝eq\f(2－\f(1,4),2)＝eq\f(7,8).思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2022·昌平模拟)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，那么此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是()A.eq\f(4,13)B.eq\f(5,13)C.eq\f(8,25)D.eq\f(9,25)(2)(2022·福建)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的图象上．假设在矩形ABCD内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)答案(1)D(2)B解析(1)作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.∴P＝eq\f(S△AEF,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)×6×3,\f(1,2)×10×5)＝eq\f(9,25).(2)由图形知C(1,2)，D(－2,2)，∵S四边形ABCD＝6，S阴＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，∴P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).题型三与体积有关的几何概型例4(1)(2022·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个外表的距离均大于1，那么称其为“平安飞行〞，那么蜜蜂“平安飞行〞的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,27)D.eq\f(3,8)(2)正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP—ABC<eq\f(1,2)VS—ABC的概率是()A.eq\f(7,8)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案(1)C(2)A解析(1)由题意知小蜜蜂的平安飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故平安飞行的概率为P＝eq\f(1,27).(2)当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2022·哈尔滨模拟)在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，那么三棱锥S－APC的体积大于eq\f(V,3)的概率是________．答案eq\f(2,3)解析如图，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，要使三棱锥S－APC的体积大于eq\f(V,3)，只需△APC的面积大于△ABC的面积的eq\f(1,3).假设点P′是线段AB靠近点A的三等分点，记事件M为“三棱锥S－APC的体积大于eq\f(V,3)〞，那么事件M发生的区域是线段P′B.从而P(M)＝eq\f(P′B,AB)＝eq\f(2,3).12．几何概型中的“测度〞典例(1)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，那么∠CAM<30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，那么这两点之间的距离小于eq\f(1,2)的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)错解展示解析(1)∵∠C＝90°，∠CAM＝30°，∴所求概率为eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).(2)两点之间线段长为eq\f(1,2)时，占长为1的线段的一半，故所求概率为eq\f(1,2).答案(1)eq\f(1,3)(2)B现场纠错解析(1)因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“测度〞是长度．设直角边长为a，那么所求概率为eq\f(\f(\r(3),3)a,a)＝eq\f(\r(3),3).(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，那么0≤x≤1，且0≤y≤1.由题意知|x－y|<eq\f(1,2)，所以所求概率为P＝eq\f(1－2×\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2),1)＝eq\f(3,4).答案(1)eq\f(\r(3),3)(2)C纠错心得(1)在线段上取点，那么点在线段上等可能出现；在角内作射线，那么射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度〞是面积．1．(2022·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68答案A解析设椭圆的面积为S，那么eq\f(S,4×6)＝eq\f(300－96,300)，故S＝16.32.2．(2022·南平模拟)设p在[0,5]上随机地取值，那么关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案C解析方程有实数根，那么Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)，故所求概率为P＝eq\f(5－2,5－0)＝eq\f(3,5)，应选C.3．(2022·四川宜宾筠连中学第三次月考)如下图，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为eq\f(2,3)，那么阴影区域的面积为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)答案B解析正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P＝eq\f(S阴影,S正方形).又∵S正方形＝4，∴S阴影＝eq\f(8,3)，应选B.4.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率是()A.1－eq\f(2,π)B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π)D.eq\f(1,π)答案A解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，那么OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白局部面积S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以整体图形中空白局部面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以阴影局部面积为S3＝π－2.所以P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).5．△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，那么使△ABD为钝角三角形的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案C解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，那么点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，那么点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形，所以△ABD为钝角三角形的概率为eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).6.欧阳修的?卖油翁?中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿〞，可见“行行出状元〞，卖油翁的技艺让人叹为观止．假设铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，假设随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，那么正好落入孔中的概率是________．答案eq\f(4,9π)解析依题意，所求概率为P＝eq\f(12,π·\f(3,2)2)＝eq\f(4,9π).7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，那么点P到点O的距离大于1的概率为________．答案eq\f(2,3)解析V圆柱＝2π，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，eq\f(V半球,V圆柱)＝eq\f(1,3)，故点P到O的距离大于1的概率为eq\f(2,3).8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，那么方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．答案eq\f(1,2)解析∵方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影局部的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝eq\f(1,2).9．随机地向半圆0<y<eq\r(2ax－x2)(a为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，那么原点与该点的连线与x轴的夹角小于eq\f(π,4)的概率为______．答案eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)解析半圆区域如下图．设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于eq\f(π,4)〞，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq\f(A的面积,半圆的面积)＝eq\f(\f(1,4)πa2＋\f(1,2)a2,\f(1,2)πa2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,π).10．(2022·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P，那么点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．答案1－eq\f(π,24)解析由题意作图，如图，那么点P应落在深色阴影局部，S△＝eq\f(1,2)×6×eq\r(52－32)＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为eq\f(π,2)，故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率为eq\f(12－\f(π,2),12)＝1－eq\f(π,24).11．向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)假设x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)假设x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的根本领件总数为6×6＝36，由a·b＝－1得－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的根本领件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个，故满足a·b＝－1的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)假设x，y在连续区间[1,6]上取值，那么全部根本领件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，满足a·b<0的根本领件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x