（江苏专用）2023版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.3直线、平面平行的判定与性质教师用书文苏教版

PAGEPAGE218.3直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行〞)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行〞)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行〞)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b【知识拓展】重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即假设α∥β，β∥γ，那么α∥γ.【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)假设一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面.(×)(2)假设一条直线平行于一个平面，那么这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(√)(5)假设直线a与平面α内无数条直线平行，那么a∥α.(×)(6)假设α∥β，直线a∥α，那么a∥β.(×)1.(教材改编)以下命题中不正确的有________.①假设a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②假设直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④假设直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.答案①②③解析①中，a可以在过b的平面内；②中，a与α内的直线可能异面；③中，两平面可相交；④中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.2.设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，那么“l∩m＝∅〞是“α∥β〞的______条件.答案必要不充分解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅〞是“α∥β〞的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件.3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.假设EF∥平面AB1C，那么线段EF的长度为________.答案eq\r(2)解析因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝eq\f(1,2)AC，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).4.(教材改编)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，那么BD1与平面ACE的位置关系为________.答案平行解析连结BD，设BD∩AC＝O，连结EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，那么BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.5.过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.答案6解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意.题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.证明(1)连结EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，∴BC綊AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点.又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)连结FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.命题点2直线与平面平行的性质例2(2022·镇江月考)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2eq\r(17).点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)假设EB＝2，求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连结AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连结OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K为OB的中点.再由PO∥GK得GK＝eq\f(1,2)PO，即G是PB的中点，且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18.思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β).如下图，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形.证明∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角.又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形.题型二平面与平面平行的判定与性质例3(2022·镇江模拟)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1.在本例条件下，假设D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如下图，连结HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下，假设D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如下图，连结A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连结MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行〞、“线面平行〞、“面面平行〞的相互转化.(2022·盐城模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.(1)证明由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)解∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高.又AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝1.又S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，题型三平行关系的综合应用例4(2022·盐城模拟)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？假设存在，请确定点E的位置；假设不存在，请说明理由.解方法一存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连结DF，那么DF∥B1C1，∵AB的中点为E，连结EF，ED，那么EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，ED，那么DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点.即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.(2022·南京模拟)如下图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形.设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).又设FG＝x，GH＝y，那么由平面几何知识可得eq\f(x,a)＝eq\f(CG,BC)，eq\f(y,b)＝eq\f(BG,BC)，两式相加得eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即y＝eq\f(b,a)(a－x)，∴S▱EFGH＝FG·GH·sinα＝x·eq\f(b,a)·(a－x)·sinα＝eq\f(bsinα,a)x(a－x).∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a为定值，∴eq\f(bsinα,a)x(a－x)≤eq\f(absinα,4)，当且仅当x＝a－x时等号成立.此时x＝eq\f(a,2)，y＝eq\f(b,2).即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.5.立体几何中的探索性问题典例(14分)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝eq\f(2,3).(1)求四棱锥S－ABCD的体积；(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明.标准解答解(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝eq\f(2,3)，SA＝2，∴AD＝3. [2分]由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，VS－ABCD＝eq\f(1,3)·SA·eq\f(1,2)·(BC＋AD)·AB＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝eq\f(10,3). [6分](2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB. [8分]证明如下：取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连结CE，EF，BF，那么EF綊eq\f(2,3)AD，BC綊eq\f(2,3)AD，∴BC綊EF，∴CE∥BF. [12分]又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，∴CE∥平面SAB.[14分]解决立体几何中的探索性问题的步骤第一步：写出探求的最后结论；第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步：反思回忆，查看关键点、易错点和答题标准.1.(2022·南通模拟)有以下命题：①假设直线l平行于平面α内的无数条直线，那么直线l∥α；②假设直线a在平面α外，那么a∥α；③假设直线a∥b，b∥α，那么a∥α；④假设直线a∥b，b∥α，那么a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是________.答案1解析命题①，l可以在平面α内，不正确；命题②，直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a可以在平面α内，不正确；命题④正确.2.(2022·苏北四校联考)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD是正方形，E，F分别为PA，PD的中点.在此几何体中，给出以下四个结论：①直线BE与直线CF是异面直线；②直线BE与直线AF是异面直线；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的序号为________.答案②③解析因为EF綊eq\f(1,2)AD，AD綊BC，所以EF綊eq\f(1,2)BC，所以E，B，C，F四点共面，所以BE与CF共面，所以①错误；因为AF⊂平面PAD，E∈平面PAD，E∉直线AF，B∉平面PAD，所以BE与AF是异面直线，所以②正确；因为EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，所以③正确；由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立，所以④错误.3.设l为直线，α，β是两个不同的平面.以下命题中正确的选项是________.①假设l∥α，l∥β，那么α∥β；②假设l⊥α，l⊥β，那么α∥β；③假设l⊥α，l∥β，那么α∥β；④假设α⊥β，l∥α，那么l⊥β.答案②解析l∥α，l∥β，那么α与β可能平行，也可能相交，故①错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行〞可知②正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故③错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故④错.4.(2022·苏锡常联考)以下关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①假设m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，那么l与m不共面；②假设m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，那么n⊥α；③假设l∥α，m∥β，α∥β，那么l∥m；④假设l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，那么α∥β.其中假命题是________.(填序号)答案③5.平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，那么BD的长为______.答案24或eq\f(24,5)解析由α∥β得AB∥CD.分两种情况：假设点P在α，β的同侧，那么eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，∴PB＝eq\f(16,5)，∴BD＝eq\f(24,5)；假设点P在α，β之间，那么eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，∴PB＝16，∴BD＝24.6.(2022·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有以下四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.7.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，那么m∥n〞中的横线处填入以下三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________.答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，那么M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)9.将一个真命题中的“平面〞换成“直线〞、“直线〞换成“平面〞后仍是真命题，那么该命题称为“可换命题〞.给出以下四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题〞的是______.(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题〞；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题〞；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题〞；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题〞.10.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，那么四面体的四个面中与MN平行的是________.答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连结AE，BE.那么EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.11.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________.答案eq\f(45,2)解析如图，取AC的中点G，连结SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，那么SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，那么H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝(eq\f(1,2)AC)·(eq\f(1,2)SB)＝eq\f(45,2).12.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，∵OG綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)BC，∴OG綊BE，∴四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG，又EG⊄平面BB1D1D，OB⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连结HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.13.(2022·贵州兴义八