计数原理与概率统计

计数原理与概率统计--11抽样.NN1中再随意抽取一个样本，这样连续地进行n次随意抽取，共抽取n（nN）抽样.⑴总数N⑵逐个抽取；⑶抽取后不再放回；⑷样本等可能性.1]在共有1010A23456,78910，只有抽中A才有奖，那么，是先抽还是后抽，那个的概率大？A>首先因为有10A的可能性是

A的可能性是9这时余9A的可能性是911 B>由第二个人来抽，由于这9A的可能性是

1

1的可能性是

A

A的可能性是

A的可能性就是1A的可能性是

，余下9个中的8个是不的，则此时第二个A的可能性：988 上述两者之和就是总的第二个人没抽中A的可能性 9 C>由第三个人来抽，此时余8张牌.由于前两个人抽中的总的可能性是

抽中的总的可能性是

下8个中的1个，即：81=1 AA的可能性

A的可能性2A的可能性

，余下8个中的7个是不的，则此时第三个人A的可能性：877 A的可能性：2

879 D>由此推下去，可以归纳出：这10A的可能性都是

A是9，因此这10 的概率相等22Nn等分，每部分都有NnkN为整数.如果k不是整数，可以调整nN.调整n使kN N就是去掉一些样本使kNn2]某校三年级共有200名学生，可以将它们均分成4个班，每班50成5个班，每班40人.还可以将它们大致均分成6个班，每班33~34假设现在分成了5404按规则，假设抽取尾号为5的同学，则各班编号为05152535352020200名学生3一定数量的样本，将抽取的样本合在一起作为抽样样本，这样的抽取方法称为分层抽样.[例3]某年级统考成绩统计，将60分以下(不含60A，将90分以上(不含90分)的分成一部分称B60~90分的分成一部分称C3部分.A部分20B30C部分有150名.现在，要抽取40名的抽样，那么，各部分A部分所占比例为：p

1 2030 B部分所占比例为：p

3 2030 C部分所占比例为：p 3 2030

A

40

1404xB

40

3406xp4034030 直方图、茎、散点图11⑴求极差：⑵定组距；⑶作频率分布表；⑷作直方图.注意：直方图的面积总和为4123456789⑴求极差：本组成绩最大为99，最小为50，故极差为99-⑵定组距；如果将组距定位5分，则可以分成10⑶作频率分布表；[100,(95,(90,(85,33423342(65,(60,(55,2221122211组距就是成绩区间的间隔，这里组距为5这样，就保证了直方图的阴影面积总和等于1.在样本数据较少的情况下，用茎表示分布，更能直观表达数据的特点.一般在具有一位或两位有效数字时，采用茎表示分布.将数据的数作为茎，将数据的低位数作为叶这就是茎.567,73,75,7885868890916568,72,738889899293用茎表示[解析]用茎表示的结果如下76588537238658998334]中，成绩为85时所对应的人数是4，为最多，则85在[例57388899293所对应的人数是273888992这5中位数：样本数据累积到频率等于0.5在[例4]中，先将数据按顺序排列，总人数为30，平分后是1515.5时，对应的数据是：第15个和第1685852故：本例的中位数是855]中，共有2012345678920个样本中，其中间的数为第10个和第11868887，故：本例的中位数是8724]中，成绩的总和除以总人数302418241880.6，故本例的平均数是80.64]中，成绩的总和除以总人数20成绩总和为1647164782.35，故本例的平均数是82.3544[例6]下面是某天的24小时的气温表，请用散点图表示出来.123456------789----------55x

,...,

xx1x2 (xx)2(xx)2...(

s2

nxx

xx1x2 (xx)2(

x)2...(xs2

n(x(xx)2(xx)2...(x12nn66设这条直线方程为：ykx 散点的数据为xiyi，其中i12对应于散点在回归直线上的点为xi,yi yy)2y 当所有的偏差平方和最小时，求出k和b当y

b)2

③(

b)22x(

b)

xykx2bx0xykx2bi i

ii i 即：(xy)kx2i

(ykxb)22(y

b)

yikxibi即：yikxibnkx xi

nk(x)2 xyxykx2nkii 即：xynxykx2nki i (xiyi)nxx2n(x2n(iixykx)2bx即：byk 三、三三、三 之间的关1在一点条件下一定会发生 ，叫做必 22在一点条件下一定不会发生 ，叫做不可 33在一点条件下可能发生也可能不发生 ，叫做随 44 A或 B中至少有一个一定发生或同时都发生则此 件B的并 .记为A B，或AB. 可类比与集合中的并集例如某校推荐优秀教师要求教龄15年以上或者所教科目在统 本例可把“教龄15年以上”看 A把“所教科目在 获得全年级平均成绩第一名”看 B那么所推荐的优秀教师，要么满足A(教龄15年以上)，要么满足B(所教科目在统考 A和 B.所以要推荐的优秀教师须满足 B（或AB，这就是 55交 A B中都发生时， 才发生，则 A 交记为 B或AB交很像集合中的交集，也可以类比电路里面的“串联电路”.两个串联的开关只若A和B在任何情况下都不可能同时发生时，A与B就是互斥件.记为 B家过年.这就是互斥.当A和B在任何情况下都不可能同时发生，但A和B必有一件事件发生时，A和B就是对立 .发生.对立一定是互斥，互斥不一定是对立.m1m2方法，……，第n种途径有mnNm1m2mn种方法，这称为分类加法.如果完成一件事，需要n个步骤，第一步有m1方法，第二步有m2方法，……，第nmnNm1m2...mn从n个不同的元素中取出m这就是排列.nAmn0nAnn

(n从n个不同的元素中取出m (n 组合的方法有：Cmn A AmnC0n CmCn

m m!(n②Cm

CmCm1Cnm

Cm (nm)![n(n (nm)!m ②CmCm1

m!(n (m1)!(nm n!(nm m!(nm)!(nm

m(m1)!(nmn!(nm1)m!(nm

m!(nm [(nm1)m!(nm n!(n m!(nm

(nm!(n1

n1对于任意正整数n，任意实数ab (ab)nC0anC1an1bC2an2b2...Cranrbr 即：即：(ab)C rnrn这个叫作二项式定理其中： (r0,1,2,...,n)叫二项式系数， Cranrbr叫二项式展开式的通项 r (11)n2nC0C1C2 在随机试验中，每个可能出现的结果，都是一个，称为基本 的个基 的总如果基本有限，且每个基本出现的可能性相等，这就是古典概型.对古典概型： 的个基 的总几何区域成正比，这就是几何概型.PA

12,7[解析]从这7A27

(7

423246共3个数字，那么个位有C136选完个位后还有6个数字可选十位，则十位有C163则组成没有重复数字的两位数是偶数，共有C1C1183C1C

故此两位数是偶数的概率，P36 A7 A72463可能性是有12,3456,7共7P3712,7[解析]从这7A37

(7

2103246共3个数字，那么个位有C1363选完个位后还有6个数字可选十位和百位，共有A2；则组成没有重复数字的三位数是偶数，共有C1A29063

C1A2

3AP36 7AP36 72463个位总的可能性是有12,3456,7共7P379ABA是亮2秒熄3B是亮3秒熄4秒，那么当灯AB时，求灯AB同时都亮的概率.B765432101234AA2秒熄3秒周期是5秒；B3B765432101234AB3秒(取1~4AB同时都亮的区域，故灯A和灯B同时都亮的概率是：P235 ⑴相同条件下重复n次试验 A出现次数nA A出现的频数f(A)nA

A出现的频率 A出现的频率fn(A)稳定于某个常数P(A)，称 A出现的概率介于0~1 的概 ：若一次试验共有n种等可能出现的结果其 A包含的结果有m种， A的概率为P(A)mn这里，

AnAPAm ⑸概率的几个基本性质：①概率的取值范围是0PA②必 的概率为1，不可 的概率为③ A B互斥，则P( B)P(A)P(B)1，为概率的加B)④ A B对立，则B)从而P(A)1P(B)，这就是常常采用对 计算概率 ⑤相互独 同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)在概率计算中，经常会用到对 的概念，就是④中 九、相互独九、相互独 与条件概1 ，若发生A的概率与发生B的概率互不影响，则A,B是两件相. A B中都发生时， 才发生， A B B或AB发生，那么交AB发生的概率P(AB)P(A)P(B)[例10]某家庭已经有一个，现在要第二胎，问第二胎是男孩的概率[解析]由于每胎生男生女的概率都是1，第一胎和第二胎是两个相互独 ，发生的概21222对A,B是两件，若在A发生的条件下，问B发生的概率，这就是条概率.记为P(B|APABP([例11]某家庭有，其中一个是，问另一个是男孩的概率.设有的为A，有男孩的为本例中，的可能分布是：男男、男女、女男、女则 的概率为P(A)4有男孩 的概率为P(AB)4P(B|APAB)P( 33、n在n次独立重复试验中设A发生的次数为X在每次试验中A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，A恰好发生k次的概率为：nP(Xk)Ckpk(1 k0,1,2,...,n十、离散型十、离散型 1、离散型1、离散型 这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随量.所有随量可以一一出的就是离散型 量随量可以是离散型的，也可以是连续型的，所以有离散型随量和连续型随22若离散型随量X的可能值为x1,x2,...,xn，对应于可能值xi的概率P(Xxi)（i1,2,...,n，将X和P以表格形式表示就称为离散型随量X的概率分布列求离散型随量X的概率分布列的方法Xxi（i12nxi所对应的概率pi（i12n33离散型随量的平均值称为数学期望，记为E(X)计算为：E(X)x1p1x2p2...xn44nn DX D(X定义标准差：D(X

E(X))2方差和标准差都是反映随量相对于均值E(X)的偏离程度几种常见的离散型随量的分布11若随量的分布列为两个状态，对应这两个状态的概率分别为(1p)和p,则称这样的分布列为两点分布列.X01P1pX0和1EXx1p1x2p2xipixnpnnn DX

E(X))2

(0p)2(1p)(1p)2pp(1故两点分布列数学期望是E(X)p，方差是)p(1p).[例12]求抛硬币时，得到正面的概率和方差.其出现正面的概率是p2出 的概率是(1p)12EXp2DXp(1p422若随量X的分布列如下X123…nPp(1p)(1p)2…(1p)n1p2p(1p)3p(1p)2...np(1p[12(1p)3(1p)2...n(1p[12q3q2...q1pEX)

[12q3q2...nqn1]，

q2q23q3...

1 两式相减得：(1q)Sn1q1

...

1qEXpSn

p因为q1p1，当nEXpEpDE2(E)22p1)21 例如：篮球的投篮为p，未就是q1p第1次投篮中率为p第1次未中，第2次投篮中概率为qp第2次还未中，第3次投篮中概率为q2p；…第k次未中，第k1次投篮中概率为qkp.本例中率是呈几何形式分布，故是几何分布33MNMNnnNX件次品，则{Xk}发生的概率P(Xk)是多少？MM件次品中任取k件的方法有CkM剩下的任取(nk)件是在(NM)件正品中任选，有CnkMN所以选取n件产品，恰有k件次品的方法共有CkMNNN件产品中任取n件的方法有CnN故概率P(Xk故概率P(Xk)为：P(Xk) N.CCEN[例13]从一个有5个红球、15个白球中摸出5个球，至少摸出3个红球就，求的概XN20M5摸出的球数n5，其中X3、X4、X5就则按超几何分布的计算得3M53个，其余2个在15P(X

3C5CC5C⑵摸出4M5个红球中摸出4个，其余1个在15P(X

4C515C

2019 1⑶摸出5M5个红球中摸出5个，其余0个在155CP(X

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