第十一章 推理与证明、算法初步、复数(文数) 第1讲

2433342222224333422222ab22基础巩固题组建议用时：40钟)一、填空题西安八校联考)察一列算式：1⊗1，⊗，⊗1，13，22，3⊗1，1⊗4，2332，4⊗1，„子35第_.解析两数和为的有，和为有2，和为有3个，和为5有4个，和为6的有5个，和为有6，前面共有21个，⊗和为8第3，所以为第24.答案242.观察)＝2，)′＝x，(cosx′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上函数f(x满足f(－x＝f(x，记g)为f)导函数，则(－x＝________.解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故(－)＝－gx).答案－g(x13.在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的.拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________.解析设正三角形的边长为，高为，内切圆半径为r由等面积法知3＝1ah所以r；1同理，由等体积法知4＝，所以RH答案

144.下列推理是归纳推理的是________.①A，B为定点，动点满足＋＝2a，点的轨迹为椭圆；②由a＝1a＝3n－，求SS，猜想出数列的n和S的表达式；1123nxy③由圆x＋y＝r的面积r，猜想出椭圆＋＝的面积＝π；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.解析从SS猜想出数列的项和S，是从特殊到一般的推理，所以123②是归纳推理.

2233455101010322334551010103233323333332224332答案②5.观察下列各式ab＝1a＋＝3＋＝4a＋＝，a＋b＝11，„则a＋等于________.解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则＋b＝123.答案123仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○„„若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120○和●中，●的个数是________.解析进行分组○●eq\o\ac(○,|)●eq\o\ac(○,|)○○●○○○○●eq\o\ac(○,|)○○○○eq\o\ac(○,|)○○○○○●„„，则前组两种圈的总数是fn)234„＋＝＝119，f(15)135故n答案14

nn32

，易知7.(2016·徐州检)观察下列等式1＝，1＋2＝，1＋2＋＝，1＋2＋3＋4＝10，„，根据上述规律，第n等式为________.解析

观察所给等式左右两边的构成易得第

n个等式为1＋„n＝＋1n（n1答案1＋2＋„＝

n（＋1）4济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下：1321

„5915

„„1125

„„„1927

„„„„29

„„„„„„„„„„„则第30从左到右第3个数是

x1x1解析

先求第30的第个数，再求第30的第3数观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1810„30（2602

－1又第行从左到右的第2数比第1个大2n个数比第2数大2n2行从左到右的第2数比第1数大60数比数30从左到右3数92960＝051.答案

1二、解答题9.给出下面的数表序列：表1

表2

表31154412

„其中表(＝1，2，3„行，第1行的n个数是13，5，„n－1，从第2起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥不要求证明).解表4

134812122032它的第1234行的数的平均数分别是1632它们构成首项为4公比为2等比数列将这一结论推广到表n(n≥3)，即表nn各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n公比为2等比数列.f(x)＝

13＋3

，先分别求(0)＋(1)，(－＋f(2)，f(－＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.解f(0)＋(1)＝

3

0

11＋＋3＋3

333x1xxxxxxx3x22333x1xxxxxxx3x22131＝＋＝＋＝，1＋（＋3）31＋3）（＋）3同理可得f(－1)＋f＝，f(－＋f(3)＝3由此猜想f(x＋f(1－)证明f(x＋f(1－)＝

11＋3＋3－＋311＝＋＝＋3＋333·33＋33＋3

x

）＝

3＋3＝.3（＋）能力提升题组建议用时：20钟)平面内有n条直线，最多可将平面分成(n)个区域，则(n)＝________.解析1直线将平面分成＋个区域；条直线最多可将平面分成＋＋＝个区域；3条直线最多可将平面分成1＋23)7个区域；„„；n条直线最多可将平面分成(12„区域.

nn1＋n＝个2答案

n＋＋22古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的13，6，，„于这数能够表示成三角形，将其

2xx＋122xx＋1221222xx＋122xx＋122122＜sinADABAC22称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，16„样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是________(填号).①289；②1；③225；④1解析观察三角形数：，，610„为{}a＝，＝n1＋2a＝a＋33„＝＋n∴a＋a＋„(a＋＋„)(12„a＝2„122n＋n

nn12

，观察正方形数：1，，„为{}＝.四个选项的nn数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得都为正整数的只有225.答案③13.(2016·南测试)已知点A，ax)，x，)是函数y＝a(a＞的图象上任112意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，两点之间函数图象的上ax＋ax方，因此有结论＞a2成立运用类比思想方法可知，若点x，1x)B(xsinx)是函数＝sinx∈，))的图象上任意不同两点，则类似地122有_立.解析对于函数ya(a1)图象上任意不同两点，B依据图象可知，线ax＋ax段AB是位于B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立；对于函数y(x∈(0π的图象上任意不同的两点(x，sinx)1(x，sinx)线段总是位于AB点之间函数图象的下方，2sin＋sinx＋x类比可知应有＜成立.答案

sin＋sinx＋x12211在ABC中，⊥，AD⊥于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.证明如图所示，由射影定理，得

222222.22222ADAC222222222222＝222222.22222ADAC222222222222＝＋＋22AD

＝BD，AB

2

＝BDBC，＝BCDC，11∴＝ADBD·DC＝＝BD·DCBC·AC

2又BC＝＋AC，1AB＋AC1∴＝＝＋·AC猜想，在四面体ABCD中，A