广东省广州市白云区2021-2022学年九年级上学期12月调研数学试卷（解析版）

广东省广州市白云区2021-2022学年九年级上学期调研数学试卷

（12月份）

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）

1.下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

96£255£3

2.三角形的三边长为6,8,10,那么此三角形的外接圆的半径长为（）

A.2B.3C.4D.5

3.下面命题正确的是（）

A.三角形的内心到三边的距离相等

B.方程W=14x的解为x=14

C.过三点可以作一个圆

D.平分弦的直径垂直于这条弦

4.平面直角坐标系中，0P的圆心坐标为（-4,-5）,半径为5,那么。尸与y轴的位置

关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.以上都不是

5.点A（xi,yi）,B（%2,”）都在反比例函数y=2的图象上，若xi〈x2<0,则（）

x

A.j2>yi>0B.yi>*>0C.D.yi<j2<0

6.现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是

（）

A.AB.2C.3D.”

2346

7.在下列条件中，不能判断△ABC与△OEF相似的是（

A.=NB=NEB.生AC

EFDF

AC

「AB=BC=ACnAB

DEEFDFDEDF

8.关于x的方程（x-3）G+2）=p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A.两个正根B.两个负根

C.一个正根，一个负根D.无实数根

9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCQ的边BC与x轴平行，A,8两点纵坐标分别为

4,2,反比例函数y=K经过A,B两点，若菱形ABCQ面积为8,则k值为（)

C.-8D.-673

10.如图，正方形A8CC的边长为4,。0的半径为1.若。。在正方形ABCQ内平移（。。

可以与该正方形的边相切，则点A到。。上的点的距离的最大值为（）

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）.

11.边长为2c,»的正六边形，它的内切圆半径是cm.

12.二次函数），=（x-l）（x-a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x=2.则。=.

13.如图，已知扇形AOB的半径为6c7”，圆心角的度数为120°,若将此扇形围成一个圆

14.如图，。。是△4BC的外接圆，NA=60°,BC=6，§,则。。的半径是

.0

B

15.如图，点尸是线段8。上一个动点，NB=ND=90°，AB=6,CD=4,80=14.当

乙4PC=90°,则8P的长度=

16.如图，边长为2的正方形ABC。内接于。。，点E是右上一点（不与A、B重合），点

F是BC上一点，连接。E、OF,分别与A8、BC相交于点G、H,NEOF=90°,下列

结论：①定=踊；②四边0G8H的面积随点E的位置变化而变化；③若8G=1-1，

3

则N8OG=15°；④/XBAG周长的最小值为2+&.其中正确的是（把所有正

K

三、解答题（本题有9个大题，共72分）.

17.（4分）解方程：x（x-7）=8（7-%）.

18.（4分）如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°,得到线段

连接A。，CD,求NAQC的度数.

A

19.(6分)一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等

可能地坐到①、②、③中的3个座位上.

(1)甲坐在①号座位的概率是;

(2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率.

20.(6分)已知关于x的一元二次方程x2-(/M+3)x+3m=0.

(1)求证：无论加取什么实数值，该方程总有两个实数根.

(2)若该方程的两实根xi和X2是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为行，求

m的值.

21.(8分)已知抛物线与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点P(0,1),求的最小值；

(2)已知点Pi(-2,1),P2(2,-1),P3(2,1)中恰有两点在抛物线上，求抛物线

的解析式.

22.(10分)某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，每件60元销售，

每天可卖出20件.通过市场调查发现每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.

(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件降价多少元？

(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.小明决定对该商品实

行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

23.（10分）如图，AB是0。的直径，AC=BC，E是08的中点，连接CE并延长到点F,

使EF=CE.连接AF交。。于点。，连接BO,BF.

（1）求证：直线5尸是的切线；

（2）若AF=10,求BD的长.

24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，点8在x轴上，NABO=90°,AB=BO,直线

-4与反比例函数y=9（尤>0）的图象交于点A,与y轴分别交于点C.

x

（1）求k的值；

（2）点。与点。关于AB对称，连接4。，CD.证明：△力C。是直角三角形；

（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上，若“ECD=SA（）CD,直接写出点E

25.（12分）在平面直角坐标系宜力中，点A（1,-1）在抛物线y=，+bx+c（b>0）上.

（1）求从c满足的关系式；

（2）若该抛物线与），轴交于点B,其对称轴与x轴交于点C,抛物线的顶点为。，若直

线BC分四边形OBDC的面积的比为2：3,求二次函数的解析式；

(3)将该抛物线平移，点A的对应点为AY1-〃?，2b-I),平移后的抛物线仍经过(1,

-1),求6,俄满足的关系式.

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）

1.下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

96S255£3

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.

【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；

8、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

。、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：A.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋

转180度后与原图形重合.解题的关键是轴对称图形与中心对称图形的概念：如果一个

图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做

对称轴.如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心

对称图形，这个点叫做对称中心.

2.三角形的三边长为6,8,10,那么此三角形的外接圆的半径长为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据勾股定理的逆定理得到此三角形是直角三角形，根据直角三角形的外心的

特点解答即可.

【解答】解：V62+82=102,

此三角形是斜边为10的直角三角形，

.••此三角形的外接圆的直径是10,

此三角形的外接圆半径是改=5,

2

故选：D.

【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念、勾股定理的逆定理的应用，掌握

直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点是解题的关键.

3.下面命题正确的是（）

A.三角形的内心到三边的距离相等

B.方程7=14x的解为x=14

C.过三点可以作一个圆

D.平分弦的直径垂直于这条弦

【分析】根据三角形内心的性质对4进行判断;利用因式分解法解方程可对B进行判断；

根据确定圆的条件可对C进行判断；根据垂径定理的推论对。进行判断.

【解答】解：A.三角形的内心到三边的距离相等，所以A选项符合题意；

B.方程）=14工的解为川=14,X2=O,所以8选项不符合题意；

C.过不共线的三点确定一个圆，所以C选项不符合题意；

D.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以。选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了命题：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的

真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

4.平面直角坐标系中，。尸的圆心坐标为（-4,-5）,半径为5,那么。尸与y轴的位置

关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.以上都不是

【分析】由题意可求。P到y轴的距离d为4,根据直线与圆的位置关系的判定方法可求

解.

【解答】解：,..（DP的圆心坐标为（-4,-5）,

QP到y轴的距离4为4

：d=4<r=5

轴与OP相交

故选：A.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与圆的位置

关系的判定方法是解决问题的关键.

5.点A（xi,yi）,B（X2,）2）都在反比例函数y=2的图象上，若xi<x2<0,则（）

x

A.">yi>0B.yi>）2>0C.D.yi<j2<0

【分析】由k=2>0,可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得

结果.

【解答】解：・・Z=2>0,

・••此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内），随x的增大而减小,

Vx|<X2<0,

・••点A（xi,yi）,B（尤2,>2）位于第三象限，

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的

坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

6.现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是

（）

A.AB.2C.3D.5

2346

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，再由概

率公式求解即可.

【解答】解：把2盒不过期的牛奶记为A、B,2盒已过期的牛奶记为C、D,

画树状图如图：

开始

/1\Z\/N

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，

...至少有一盒过期的概率为改=§,

126

故选：D.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两

步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

7.在下列条件中，不能判断△A8C与△£>£下相似的是（）

A.ZA-ZD,NB=NEB.区=/且/8=/£；

EFDF

C.岖=里=9D.姻_=旭且乙4=/。

DEEFDFDEDF

【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案.

【解答】解：A、Z4=ZD,NB=NE,可以得出△月BCs/XOFE,故此选项不合题意;

B、区•=££,且NB=/E,不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意;

EFDF

C、BC=AC,可以得出AABCs△。尸E,故此选项不合题意；

DEEFDF

D、地_=空•且NA=/。，可以得出△ABCSAOFE,故此选项不合题意；

DEDF

故选：B.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）

平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相

似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组

对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的

两个三角形相似.

8.关于x的方程（x-3）（x+2）=p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A.两个正根B.两个负根

C.一个正根，一个负根D.无实数根

【分析】先把方程（x-3）（x+2）=p2化为7-x-6-p2=0,再根据A—b2-4ac=1+24+4/?2

>0可得方程有两个不相等的实数根，由-6-p2<0即可得出结论.

【解答】解：•••（x-3）（x+2）=p2（p为常数），

.'.%2-X-6-p2—0,

：.△=.-4ac=l+24+4p2=25+4p2>0,

方程有两个不相等的实数根，

根据根与系数的关系，方程的两个根的积为-6-p2<0,

一个正根，一个负根.

故选：C.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若无1,X2是一元二次方程以2+版+°=0（“#0）的

两根时，*1+也=-电，X1・X2=£.也考查了根的判别式.

9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边8C与无轴平行，48两点纵坐标分别为

4,2,反比例函数y=K经过A,8两点，若菱形ABCQ面积为8,则k值为（)

【分析】方法一：根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据

菱形的面积=BCX（卅-泮）=8,得出关于左的方程，解方程得出正确取值即可.

方法二：过点4作AELBC于点E,根据面积求出BC,根据勾股定理求出BE,设出A

点和B点坐标，在利用反比例函数过A点和8点求出A值即可.

【解答】解：方法一：•；四边形A8Q）是菱形，

：.AB=BC,AD//BC,

B两点的纵坐标分别是4、2,反比例函数），=K经过A、B两点，

X

.,.XB=―,XA=A,即A（区，4）,B（K,2）,

2442

2

：.AB2^（K-K）2+（4-2）2=工_+4,

4216

又•菱形ABCD的面积为8,

.".BCX(卅-中)=8,

即X(4-2)=8,

整理得

解得人=±8代,

；函数图象在第二象限,

：.k<0,即&=-8通,

方法二：过点A作AEL8c于点E,

YA、8两点的纵坐标分别是4、2,

・・・AE=4-2=2,

•・•菱形ABC。的面积为8,

・・.BC・AE=8,

・・・8C=4,

：.AB=BC=4f

BE=VAB2-AE2=V42-22=2Vs>

设A点坐标为（a,4）,则2点的坐标为（a-2百，2）,

•.•反比例函数），=K经过A、B两点,

X

4上

a

:.,

29\—-2V_3

解得（k=-8出，

Ia=-2近

故选：A.

【点评】本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有k的代数式表示出菱形的面

积是解题的关键.

10.如图，正方形A8CQ的边长为4,。。的半径为1.若。。在正方形A8CQ内平移（。。

可以与该正方形的边相切，则点A到。。上的点的距离的最大值为（）

BC

A.472B.2V2+1C.3V2+1D.3V2-1

【分析】由题意画出符合题意的图形，当。。与8C,CQ相切时，点A到。。上的点的

距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论.

【解答】解：由题意，当。。与8C,8相切时，点A到。。上的点的距离取得最大值，

AC=VAB2+BC2=4®

与OO相切于点E,

：.OE±EC.

,/四边形ABCD是正方形，

...NACB=45°.

...△OEC为等腰直角三角形.

：.0C=&。£=丘

：.CG=OC-OG^42-1-

：.AG=AC-CG=4-^2-（&-l）=3&+l.

故选：C.

【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理,

连接0E,利用切线的性质得到OE_LEC是解题的关键.

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）.

II.边长为2cm的正六边形，它的内切圆半径是

【分析】利用正多边形的概念计算.

【解答】解：长为2cm的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，

而正多边形的内切圆的半径即为每个边长为2的正三角形的高，

所以正多边形的内切圆的半径等于近X2=J§(cm),

2

故答案为：V3•

【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力.解答这类题往往一些学生

因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计

算.

12.二次函数)=(x-1)(x-a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2.则“=3.

【分析】根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质

求得。的值即可.

【解答】解：由二次函数y=(x-1)(x-a)(。为常数)知，该抛物线与x轴的交点坐

标是(1,0)和(a,0).

•••对称轴为直线x=2,

...l+a=2.

2

解得a—3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了二次函数图象和性质，抛物线与x轴的交点，求得交点坐标，熟知

二次函数的对称性是解决本题的关键.

13.如图，已知扇形AO8的半径为6cm,圆心角的度数为120。，若将此扇形围成一个圆

【分析】设围成的圆锥的底面圆的半径为rem,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个

扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2何=120兀X6,然后解关于「的方

180

程即可.

【解答】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为W，“，

根据题意得2M=120兀X6,解得r=2,

180

即围成的圆锥的底面圆的半径为2cm.

故答案为2.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

14.如图，。。是△A8C的外接圆，ZA=60°,BC=6M，则G)O的半径是6.

【分析】作直径CC,如图，连接8。，根据圆周角定理得到NC8D=90°,ZD=60°,

然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD,从而得到。。的半径.

【解答】解：作直径8,如图，连接

为直径,

.".ZCBD=90°,

VZD=ZA=60°,

.•.8。=运8。=近_乂6百=6,

33

：.CD=2BD=\2,

：.OC=6,

即。。的半径是6.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直

平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

15.如图，点尸是线段上一个动点，/8=/。=90°,AB=6,CD=4,80=14.当

N4PC=90°,则BP的长度=2或12.

A

5b----------------------------------

【分析】证得△ABPS^PDC,根据相似三角形的性质即可求得结果.

【解答】解：VZB=ZD=90°,/APC=90°,

AZA+ZAPB=-ZCPD+ZAPB=90°,

NA=/CPO,

：./^ABP^APDC,

•BP=AB

**CDED;

•BP=6

"~T14-BP'

解得BP=2或12；

故答案为：2或12.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程，证得三角形相似是解题

的关键.

16.如图，边长为2的正方形A8C。内接于。0,点E是金上一点（不与A、B重合），点

F是能上一点，连接OE、OF,分别与A3、BC相交于点G、H,/EOF=90°,下列

结论：①金=踊；②四边OGB”的面积随点E的位置变化而变化；③若8G=1-近，

3

则NB0G=15°；④ABHG周长的最小值为2+五.其中正确的是①③④（把所

有正确结论的序号都填上）.

【分析】连接OC,OB,CF,BE,根据同角的余角相等可知/80E=NC。凡则BE=CF>

可知①正确；利用AS4证明△80GgZ\C。”，得S四边柩OGBH=Sz\BOC=/s正方形488=定

值，故②错误；由GM=1,得NGOM=30°,又NBOM=45°,可知③正确；C^BGH

=BG+BH+GH=BC+-j2OG=BC+42OG=2+-j2OG,当0G_LA8时，OG的长最小,

此时OG=1,则CzxGBH的最小值为2+衣，可知④正确.

【解答】解：如图，连接OC,OB,CF,BE,

VZBOE+ZBOF=90°,ZCOF+ZBOF=90<>,

：.ZBOE=ZCOF,

••.BE=3.

VAB=BC«

/.AE=BF-

故①正确；

在ABOG与△CO”中，

rZB0G=ZC0H

<OC=OB，

Z0BG=Z0CH

：./\BOG^/\COHCASA),

S&OBG=SAOCH,

:.S四边形正方形45c7)=定值，

故②错误；

如图，作。M_LA6于M,

则OM=8M=«^g=：］,OB=y/"2OM=^2>

，GM=近，

3_

，tanNGOM=@L=E,

ON3

.,.ZGOM=30°,

：/3OM=45°,

AZBOG=45°-30°=15°,

故③正确；

*：BG=CH,

：.C&BGH=BG+BH+GH=BC+M()G=BC+&0G=2+&0G,

当0G_L4B时，0G的长最小，此时0G=l,

二CMBH的最小值为2+&,

故④正确.

故答案为：①③④.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，勾股定

理，圆周角定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

三、解答题(本题有9个大题，共72分).

17.(4分)解方程：x(x-7)=8(7-x).

【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：x(x-7)=8(7-x),

x(x-7)+8(%-7)=0,

(%-7)(x+8)=0,

xi=7,xi--8.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是找准公因式.

18.(4分)如图，aABC为等边三角形，将8C边绕点B顺时针旋转30°,得到线段8£>,

连接AO,CD,求NAOC的度数.

【分析】首先证明NABO=90°,求出NBOC,NAOB即可解决问题.

【解答】解：:△ABC为等边三角形，

：.AB=BC,ZABC=60°.

根据题意可知BO=BC,ZDBC=30°.

：.AB=BD.

：.ZABD=90°,ZBZ)C=75°.

：.ZBDA=45".

：.ZADC=30°.

【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

19.(6分)一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等

可能地坐到①、②、③中的3个座位上.

(1)甲坐在①号座位的概率是1;

-3-

(2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率.

【分析】(1)直接根据概率公式计算即可；

(2)画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式

求解即可.

【解答】解：(1)甲坐在①号座位的概率是工，

3

故答案为：1；

3

(2)画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有4种,

二.甲与乙相邻而坐的概率为且=2.

63

【点评】本题考查的是树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

20.(6分)已知关于x的一元二次方程％2-(m+3)x+3，〃=0.

(1)求证：无论相取什么实数值，该方程总有两个实数根.

(2)若该方程的两实根xi和r是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为JTU，求

m的值.

【分析】(1)先求出判别式△的值，再根据的意义证明即可；

(2)根据根与系数的关系得出x\+x2=m+3,xfx2=3m,根据勾股定理可知XI2+JC22=10,

利用完全平方公式得出关于m的方程，求出方程的解即可.

【解答】(1)证明：A=[-(w+3)J2-4X3/n=/n2-6w+9=(/»-3)2,

因为不论m为何值,5-3)220,

所以△》()，

所以无论“取什么实数值，该方程总有两个实数根；

(2)解：根据根与系数的关系得：xi+x2=m+3,x\'x2=3m,

•.•该方程的两实根XI和X2是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为丁元，

.".X^+XT2—10,

'.xr+xi1—(xi+%2)2-2*XI*X2—(m+3)2-2*3m=10»

即?n2=1,

解得：m\=\,W2=-1,

：矩形的边长不可能是负数，

.'.m2--1不合题意，舍去，

即与的值为1.

【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是

解此题的关键，题目比较好，难度适中.

21.(8分)已知抛物线与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点P(0,1),求“+%的最小值；

（2）已知点Pi（-2,1）,P2（2,-1）,P3（2,1）中恰有两点在抛物线上，求抛物线

的解析式.

【分析】（1）将点尸的坐标代入解析式中，得出a和人的关系式，即可求出的最小

值；

（2）由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在同一侧，即两点只能

为a,P3,即可求出抛物线的解析式.

【解答】解：（1）把尸（0,1）代入解析式得：c=l,

.".y=ax2+bx+l,

又•••抛物线与x轴只有一个公共点，

4a=0,即。=月一,

4

：.a+b—（b+2）2-1，

44

当b=-2时，a+h有最小值为-1；

（2）•.•抛物线与x轴只有一个公共点，

抛物线上的点在x轴的同一侧或x轴上，

...抛物线上的点为P,P3,

又尸3关于y轴对称，

顶点为原点（0，0）,

设解析式为y="2,

代入点Pl得：丫=工乂4

4

...抛物线的解析式为y=]x2.

【点评】本题考查了抛物线与x的交点，二次函数的性质，待定系数法，熟练掌握二次

函数的性质是解题的关键.

22.（10分）某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，每件60元销售，

每天可卖出20件.通过市场调查发现每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件降价多少元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.小明决定对该商品实

行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

【分析】（1）设每件降价x元，则每件的销售利润为（60-x-40）元，日销售量为（20+2x）

件，利用日销售利润=每件的销售利润X日销售量，结合日销售利润不变，即可得出关

于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设该商品打），折销售，根据小明的线下实体商店的销售价格不超过（1）中的售价，

即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

【解答】解：（1）设每件降价x元，则每件的销售利润为（60-X-40）元，日销售量为

20+10X（20+2r）件，

5

依题意得：（60-X-40）（20+2x）=（60-40）X20,

整理得：%2-10x=0,

解得:XI=10,X2=0.

又•.•商家想尽快销售完该款商品，

；.x=10.

答：每件降价10元.

（2）设该商品打y折销售，

依题意得：62.5X_2-^60-10,

10

解得：户8.

答：该商品至少需打八折销售.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一

次不等式.

23.（10分）如图，是。0的直径，AC=BC，E是08的中点，连接CE并延长到点八

使EF=CE.连接AF交。。于点。，连接5。，BF.

（1）求证：直线BF是。。的切线；

（2）若4尸=10,求BO的长.

【分析】(1)连接OC、OF,证明四边形OF8C是平行四边形，则跖〃OC,由AC=BC

得AC=BC,贝UOC_LAB,NBOC=90°,可证明BF是。。的切线；

(2)由AB是。。的直径得NA/)B=NACB=90°,则NCAB=NC8A=45°,可证明

FB^OB=OA^1AB,根据勾股定理求出AB、BF的长，再证明NBAOS//^B,根据

2

相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长.

【解答】(1)证明：如图，连接OC、OF,

,:EF=CE,OE=BE,

.••四边形OFBC是平行四边形，

：.BF//OC,

vAC=BC，

：.AC=BC,

'：OA=OB,

：.OC±AB,

：.ZABF=ZBOC=W0,

：OB是。。的半径，且8FLOB,

直线8F是O。的切线.

(2)如图，:AB是。0的直径，

ZADB=ZACB=90°,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

\'OC=OB,

...NOCB=NO8C=45°,

：.ZBFO=ZOCB=45°,

,JOF//BC,

；.NBOF=NOBC=45°,

:.NBFO=NBOF,

：.FB=OB=OA=^AB,

2

\"FB2+AB2=AF2,且AF=10,

(LB)2+AB2=IO2,

2

：.AB=4-f5,

.•.FB=」AB=2«,

2

VZADB^ZABF=90°,NBAD=NFAB,

:.NBADs/FAB,

•BD=AB=4代=蛔

••丽AF105

:.BD=曼反乂2娓=4,

55

...BO的长为4.

【点评】此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四

边形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关

键.

24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，点8在x轴上，NABO=90°,AB=BO,直线

y=fcr-4与反比例函数)，=名(x>0)的图象交于点A,与y轴分别交于点C.

X

(1)求女的值;

(2)点D与点。关于AB对称，连接AD,CD.证明：△4CD是直角三角形；

(3)在(2)的条件下，点E在反比例函数的图象上，若SAECD=SM)CD,直接写出点E

的坐标.

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)由点。与点。关于A8对称，得到。(4,0),再证明A£)2+C£>2=AC2,即可求解：

(3)分点E在。上方、点E在CD下方两种情况，利用同底等高三角形面积相等，即

可求解.

【解答】(1)解：令A8=8O=

VZABO=90°,

.•.A3_Lx轴，则设点A的坐标为(加，相)，

•.•反比例函数y=2(x>0)的图象交于点A,

X

・

••4——-)Tl,

m

解得m=±2f

Vm>0,

••171~~2,

•.•点A(2,2)在直线y=H-4上，

.♦.2=24-4,

；.仁3；

(2)证明：由(1)可知8(2,0),AB=2,

'：ABA.BO,点。与点O关于AB对称,

'.D(4,0),BD=2,

.,.AD2^AB2+BD2=22+22=8,

过点4作轴，垂足为E,则点E(0,2),AE=2,

；直线y=3x-4与y轴交于点C,

：.C(0,-4)则CE=6,

.".AC2=A£2+CE2=22+62=40,

VZOCD=90°,OD=4,OC=4,

：.CD2=OD2+OC2=42+42=32,

V8+32=40,

：.AD2+CD2^AC2,

...△AC£)是直角三角形；

(3)解：①当点E在CD上方时，如下图，

过点。、A作直线m,

由点0、A的坐标知，直线OA的表达式为y=x,

由点C、。的坐标知，直线CO的表达式为y=x-4,

则直线CD//m,即OA//CD,

S/\ECD=S^OCD,即两个三角形同底，

则点E与点A重合，

故点E的坐标为（2,2）；

②当点E(E1)在CO下方时，

在y轴负半轴取C”=OC=4,则点H(0,-8),

:则S&ECD=SAOCD,

过点“作直线，///CD,则直线机,与反比例函数的交点即为点E,

直线〃/的表达式为y=x-8,

联立y=x-8和y=9并解得［*=4+y(不合题意值已舍去)，