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文档简介
关于正弦函数余弦函数的图象第1页,共65页,2023年,2月20日,星期四2.任意给定一个实数x,对应的正弦值(sinx)、余弦值(cosx)是否存在?惟一?1.在单位圆中,角α的正弦线、余弦线分别是什么?P(x,y)OxyMsinα=MPcosα=OM第2页,共65页,2023年,2月20日,星期四4.一个函数总具有许多基本性质,要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性,我们应从哪个方面人手?3.设实数x对应的角的正弦值为y,则对应关系y=sinx就是一个函数,称为正弦函数;同样y=cosx也是一个函数,称为余弦函数,这两个函数的定义域是什么?第3页,共65页,2023年,2月20日,星期四正、余弦函数的图象第4页,共65页,2023年,2月20日,星期四问题1:作函数图象最原始的方法是什么?思考1:用描点法作正弦函数y=sinx在[0,2π]内的图象,可取哪些点?思考2:如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点,并画出y=sinx在[0,2π]内的图象?第5页,共65页,2023年,2月20日,星期四xy1-1O2ππ观察函数y=sinx在[0,2π]内的图象,其形状、位置、凸向等有何变化规律?第6页,共65页,2023年,2月20日,星期四问题2:在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上,起关键作用的点有哪几个?x-1O2ππ1y第7页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考3:当x∈[2π,4π],[-2π,0],…时,y=sinx的图象如何?y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-π第8页,共65页,2023年,2月20日,星期四知识迁移:一般地,函数y=f(x+a)(a>0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的?
向左平移a个单位.思考5:设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象,那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数,你可以根据哪个公式完成这个转化?第9页,共65页,2023年,2月20日,星期四由诱导公式可知,y=cosx与是同一个函数,如何作函数在[0,2π]内的图象?xyO2ππ1y=sinx-1第10页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考4:函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象如何?其中起关键作用的点有哪几个?xyO2ππ1-1第11页,共65页,2023年,2月20日,星期四
例1用“五点法”画出下列函数的简图:
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];
(2)y=-cosx,x∈[0,2π].第12页,共65页,2023年,2月20日,星期四xsinx1+sinx100001-11201x-1O2ππ1y2y=1+sinx第13页,共65页,2023年,2月20日,星期四xcosx-cosx101001-1-100-1x-1O2ππ1yy=-cosx第14页,共65页,2023年,2月20日,星期四
例2当x∈[0,2π]时,求不等式的解集.xyO2ππ1-1第15页,共65页,2023年,2月20日,星期四1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现,因此,只要记住它们在[0,2π]内的图象形态,就可以画出正弦曲线和余弦曲线.2.作与正、余弦函数有关的函数图象,是解题的基本要求,用“五点法”作图是常用的方法.第16页,共65页,2023年,2月20日,星期四3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础,也是解决有关三角函数问题的工具,这是一种数形结合的数学思想.作业:P34练习:2P46习题1.4A组:1分两次做作业!中间空开!学案相应课时!第17页,共65页,2023年,2月20日,星期四第一课时正弦函数、余弦函数的性质
第18页,共65页,2023年,2月20日,星期四1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么?二者有何相互联系?y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx第19页,共65页,2023年,2月20日,星期四2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律,如年有四季更替,月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性,在函数领域里,周期性是函数的一个重要性质.第20页,共65页,2023年,2月20日,星期四函数的周期性第21页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考1:由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现,这一规律的理论依据是什么?.思考2:设f(x)=sinx,则可以怎样表示?其数学意义如何?
第22页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考3:为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)=sinx称为周期函数,2kπ为这个函数的周期.一般地,如何定义周期函数?
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.第23页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考4:周期函数的周期是否惟一?正弦函数的周期有哪些?思考5:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么,正弦函数的最小正周期是多少?为什么?第24页,共65页,2023年,2月20日,星期四
正、余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.思考6:就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?第25页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考1:函数f(x)=sinx(x≥0)是否为周期函数?函数f(x)=sinx(x≤0)是否为周期函数?思考2:函数f(x)=sinx(x>0)是否为周期函数?函数f(x)=sinx(x≠3kπ)是否为周期函数?思考3:函数f(x)=sinx,x∈[0,10π]是否为周期函数?周期函数的定义域有什么特点?第26页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考4:函数y=3sin(2x+4)的最小正周期是多少?思考5:一般地,函数的最小正周期是多少?思考6:如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(ωx+φ)的周期是多少?第27页,共65页,2023年,2月20日,星期四例1求下列函数的周期:(1)y=3cosx;x∈R(2)y=sin2x,x∈R;
(3)
,x∈R;(4)y=|sinx|x∈R.
例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周期函数?第28页,共65页,2023年,2月20日,星期四
例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时,f(x)=x-4,求f(10)的值.第29页,共65页,2023年,2月20日,星期四1.函数的周期性是函数的一个基本性质,判断一个函数是否为周期函数,一般以定义为依据,即存在非零常数T,使f(x+T)=f(x)恒成立.2.周期函数的周期与函数的定义域有关,周期函数不一定存在最小正周期.3.周期函数的周期有许多个,若T为周期函数f(x)的周期,则T的整数倍也是f(x)的周期.第30页,共65页,2023年,2月20日,星期四4.函数和的最小正周期都是,这是正、余弦函数的周期公式,解题时可以直接应用.作业:P36练习:1,2,第31页,共65页,2023年,2月20日,星期四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第二课时第32页,共65页,2023年,2月20日,星期四1.周期函数是怎样定义的?
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.第33页,共65页,2023年,2月20日,星期四2.正、余弦函数的最小正周期是多少?函数和的最小正周期是多少?3.周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质,此外,正、余弦函数还具有哪些性质呢?我们将对此作进一步探究.第34页,共65页,2023年,2月20日,星期四函数的奇偶性、单调性与最值第35页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考1:观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现?y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx第36页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考2:上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质?如何从理论上加以验证?正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.第37页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考3:观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合?y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx正弦函数在每一个闭区间上都是增函数;在每一个闭区间上都是减函数.第38页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考4:类似地,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?余弦函数在每一个闭区间上都是增函数;在每一个闭区间上都是减函数.xyO1-1y=cosx第39页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考5:正弦函数在每一个开区间(2kπ,+2kπ)(k∈Z)上都是增函数,能否认为正弦函数在第一象限是增函数?第40页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考1:观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?思考2:当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sinx取得最大值1和最小值-1?正弦函数当且仅当时取最大值1,当且仅当时取最小值-1第41页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考3:当自变量x分别取何值时,余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值-1?余弦函数当且仅当时取最大值1,当且仅当时取最小值-1.第42页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考4:根据上述结论,正、余弦函数的值域是什么?函数y=Asinωx(Aω≠0)的值域是什么?思考5:正弦曲线除了关于原点对称外,是否还关于其它的点和直线对称?正弦曲线关于点(kπ,0)和直线对称.[-|A|,|A|]第43页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考6:余弦曲线除了关于y轴对称外,是否还关于其它的点和直线对称?余弦曲线关于点和直线x=kπ对称.第44页,共65页,2023年,2月20日,星期四
例1求下列函数的最大值和最小值,并写出取最大值、最小值时自变量x的集合(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.第45页,共65页,2023年,2月20日,星期四
例3求函数,x∈[-2π,2π]的单调递增区间.
例2比较下列各组数的大小:第46页,共65页,2023年,2月20日,星期四1.正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值,它们都是结合图象得出来的,要求熟练掌握.2.正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.一般地,y=Asinωx是奇函数,y=Acosωx(Aω≠0)是偶函数.第47页,共65页,2023年,2月20日,星期四作业:P40-41练习:1,2,3,5,6.3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点,简单复合函数的性质应转化为基本函数处理.第48页,共65页,2023年,2月20日,星期四1.4.3正切函数的图象与性质第49页,共65页,2023年,2月20日,星期四1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的?2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容?这些性质是怎样得到的?3.三角函数包括正、余弦函数和正切函数,我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质,因此,进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.第50页,共65页,2023年,2月20日,星期四正切函数的图象和性质第51页,共65页,2023年,2月20日,星期四知识探究(一):正切函数的性质思考1:正切函数的定义域是什么?用区间如何表示?思考2:根据相关诱导公式,你能判断正切函数是周期函数吗?其最小正周期为多少?正切函数是周期函数,周期是π.第52页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考3:函数的周期为多少?一般地,函数的周期是什么?思考4:根据相关诱导公式,你能判断正切函数具有奇偶性吗?正切函数是奇函数第53页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考5:观察下图中的正切线,当角x在内增加时,正切函数值发生什么变化?由此反映出一个什么性质?T1OxyAT2O第54页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考6:结合正切函数的周期性,正切函数的单调性如何?正切函数在开区间都是增函数思考7:正切函数在整个定义域内是增函数吗?正切函数会不会在某一区间内是减函数?第55页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考8:当x大于且无限接近时,正切值如何变化?当x小于且无限接近时,正切值又如何变化?由此分析,正切函数的值域是什么?正切函数的值域是R.T1OxyAT2O第56页,共65页,2023年,2月20日,星期四Oxy第57页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考2:上图中,直线和与正切函数的图象的位置关系如何?图象的凸向有什么特点?思考3:结合正切函数的周期性,如何画出正切函数在整个定义域内的图象?yOx第58页,共65页,2023年,2月20日,星期四思考4:正切函数在整个定义域内的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数,所以正切曲线关于原点对称,此外,正切曲线是否还关于其它的点和直线对称?正切曲线关于点对称
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