历年高考数学真题28异面直线所成角

历年高考数真题精选（按考点分类）

专题28异面直线所成的角（生版）

一.选择题（共12小题）

1.（2018•新课标n）在长方体ABCD-AMGA中，AB=BC=\,AA,=G,则异面直线AQ

与所成角的余弦值为（）

A.1B.史C.@D.立

5652

2.（2017•新课标II）已知直三棱柱A8C-ABC中，ZABC=120°,AB=2,BC=CC,=1,

则异面直线A片与BC所成角的余弦值为（）

A.BB.巫C.巫D.也

2553

3.（2016•新课标I）平面a过正方体48Cr>-AB|GR的顶点A,a〃平面C8Q,&C平

面ABC£）=m,aC平面AB4A="，则加、〃所成角的正弦值为（）

A石R及C/D1

2233

4.（2014•大纲版）已知二面角a—/—力为60。，ABua,ABVI,A为垂足，CDu0,Cel,

ZACD=135%则异面直线AB与C£）所成角的余弦值为（）

A.-B.—C.—D.-

4442

5.（2014•新课标H）直三棱柱A8C-ABC中，^BCA=90°,M,N分别是4瓦，AC的

中点，BC=CA=CCt,则3M与4V所成角的余弦值为（）

A.1B.2c.叵D.立

105102

6.（2014•大纲版）已知正四面体A8CO中，石是A3的中点，则异面直线CE与所成角

的余弦值为（）

避

1白C1

A.6-B.63-D.3

7.（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱A8C-A3C，CA=CC.=2CB,

则直线BG与直线AS夹角的余弦值为（）

/JC1

2V5

8.（2010•全国）在正三棱柱ABC—A4G中，侧棱=M、N分别是8C、CC,

的中点，则异面直线AB】与MN所成的角等于（）

A.30°B.45°C.60(D.90,

9.（2010•全国大纲版I）直三棱柱ABC—A4G中，若NS4C=90。，AB=AC=AAl,则

异面直线BA与A4所成的角等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

10.（2009•黑龙江）已知正四棱柱ABC。-AgCQ中，A4=2AB,石为例中点，则异

面直线BE与CR所形成角的余弦值为（）

人回o1'3厢口3

A•-----L5.-L•--------U.一

105105

11.（2018•上海）如图，在直三棱柱ABC-44G的棱所在的直线中，与直线BQ异面的直

线的条数为（)

A.1B.2C.3D.4

12.（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,0和a,且长为。的棱与长

为&的棱异面，则。的取值范围是（）

A.(0,扬B.(0,73)C.(1.V2)D.(1,扬

二.填空题（共5小题）

13.（2016•全国）已知3-AC-O为直二面角，RtAABCsRtAADC,且=则异面

直线AB与8所成角的大小为.

14.（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=\,AD=45,

ZAIXJ=90°,沿直线AC将AA8翻折成AAC。，直线AC与5Z7所成角的余弦的最大

值是—•

DD'

B

15.（2015•浙江）如图，三棱锥A-8a>中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点、M,

N分别是4）,8C的中点，则异面直线4V,CM所成的角的余弦值是.

16.（2015•四川）如图，四边形和AOPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直,

动点M在线段PQ上，E、F分别为4?、8C的中点，设异面直线与AF所成的角为

则COS0的最大值为.

17.（2012•四川）如图，在正方体A88-ABCA中，M.N分别是CD、CC；的中点,

则异面直线与DN所成的角的大小是

18.（2019•上海）如图，在正三棱锥中，PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=6

（1）若P8的中点为V,3c的中点为N,求AC与的夹角；

（2）求P—ABC的体积.

19.（2016•上海）将边长为1的正方形（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如

图，AC长为11，A181长为王，其中修与C在平面AA。。的同侧.

（1）求三棱锥c-qAS的体积；

（2）求异面直线与C与相，所成的角的大小.

历年高考数真题精选（按考点分类）

专题28异面直线所成的角（教师版）

一.选择题（共12小题）

1.（2018•新课标n）在长方体中，AB=BC=l,A4,=6,则异面直线AQ

与所成角的余弦值为（）

A.1B.正C.且D.农

5652

【答案】C

【解析】以。为原点，/M为x轴，10c为y轴，。已为z轴，建立空间直角坐标系，

•.•在长方体中，AB=BC=\,A4,=6，

A（1,0,0）,R（0,0,拘，。（0,0,0）,乌（1,1,扬，

40；=（-1,0,石），DB\=（1,I,石），设异面直线AR与。片所成角为夕，

则cos”均嘤「斗=且，，异面直线AR与。耳所成角的余弦值为亚.故选：C.

|AD,HDB,I2V555

2.（2017•新课标H）已知直三棱柱43C-A81G中，ZABC=120°,43=2,BC=CC『l,

则异面直线4片与8G所成角的余弦值为（）

R岳

D.-------

5

【答案】C

【解析】如图所示，设M、N、P分别为他，8耳和81G的中点,

则AB1、8G夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0,^]）,

可知MN=1Ag=@,NP=-BC.=-；

212212

作BC中点Q,则\PQM为直角三角形：

■：PQ=\,MQ=gAC,AABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2A&BCvosZABC=4+l-2x2xlx(-l)=7,

AC=y/l,:.MQ=W；在AA/QP中，MP={MQ2+PQ?=誓;

又异面直线所成角的范围是（0,]],片与8c所成角的余弦值为半.

3.（2016•新课标I）平面a过正方体A8Cr>-A4G〃的顶点A，a//平面Cgq,ctC平

面=aC平面则团、〃所成角的正弦值为（）

AV3正有1

2233

【答案】A

【解析】如图：a//平面CBQ1,aC平面A8S=，〃，aC平面43与=〃，

可知：n//CD,,是正三角形.m、"所成角就是NCQ4=60。.

则机、“所成角的正弦值为：—.

2

4.（2014•大纲版）已知二面角a-/一月为60。，A6ua,AB±l,A为垂足，CDu/3,Cel,

ZACD=135°,则异面直线4?与8所成角的余弦值为()

A.1B.立C.亘D.1

4442

【答案】B

【解析】如图，过A点做AEJJ,使BE，/?,垂足为E,过点A做AP//CE>,过点E做

EFYAE,连接M,-.-AEYl:.ZEAC=90°

•:CD/1AF又ZACD=135°/.ZFAC=45°ZEAF=45°

在RtABEA中，^&AE=a,则43=2a,BE=ga,

在RtAAEF中，贝lj£F=a,AF=s/2a,在RtABEF中，则BF=2a,

异面直线AB与8所成的角即是ZBAF,

小门AB2+AF2-BF2(2a)2+(V2a)2-(2«)20....

cosZBAF=-----------------------=-——-——------5=-^------=——,故选：BD.

2AB»AF2x26/xy]2a4

5.（2014•新课标n）直三棱柱ABC-AMG中，NBC4=90。，M,N分别是从q，AG的

中点，BC=CA=CCt,则与4V所成角的余弦值为（）

A1R2而0

105102

【答案】C

【解析】直三棱柱ABC-A与G中，ZBCA=90°,M,N分别是A岗，AG的中点，如图：

//1

BC的中点为O,连结ON,MN=-BtCt=OB,则MN08是平行四边形，BM与AN所

成角就是ZANO,•/BC=CA=CCt,

设8C=C4=CG=2,:.CO=1,AO=45,AN=M,

MB=Jg”+BB：=J(>/2)2+22=瓜,

在A4NO中，由余弦定理可得：cosZANO=AN'+Na-Aa6730

2AN・N02x75x76-10-

6.（2014•大纲版）已知正四面体ABC©中，E是43的中点，则异面直线CE与3。所成角

的余弦值为（）

A.1B.且C.1D.且

6633

【答案】B

【解析】如图，取4）中点F，连接砂，CF,•.•£为43的中点，，跖//。8,

则ZCEF为异面直线BD与CE所成的角，

•.・ABCD为正四面体，E,尸分别为他，4）的中点，.•.（：£■=CF.

设正四面体的棱长为2“，则阱=a,CE=CF=7（2a）2-a2=y/3a.

ce2+ef2cf2

在ACM中，由余弦定理得：cosZCEF=-=_=且.故选：B.

2CE.EF2xJ3a26

B

7.（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱A8C—44G,CA=CCt=2CB,

则直线BC,与直线ABt夹角的余弦值为（）

A.立B.在C.地

535

【答案】A

【解析】分别以C4、CC,>C3为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,

CA=CC}=2CB,,可设C8=l,CA=CC,=2

二4(2,0,0),8(0,0,1),4(0,2,1),G(0,2,0)

BC{=(0,2,-1),AB\=(-2,2,1)

可得西•丽=ox(-2)+2x2+(-i)xi=3,且r^n=逐，r^n=3,

向量西与AB；所成的角(或其补角)就是直线8G与直线A4夹角，

设直线BG与直线蝴夹角为。，贝hos6=|监驾：|=好故选：A.

|BC,|.|AB,|5

8.(2010•全国)在正三棱柱48C-ASG中，侧棱AA=V5AB,M、N分别是BC、CC,

的中点，则异面直线A4与仞V所成的角等于()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】在正三棱柱ABC-ABC中，侧棱=M、N分别是8C、的中点，

以A为原点，在平面ABC中过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，A4,为z轴，

建立空间直角坐标系，设AA=&AB=>/5，

则A(0,0,0),B也,-,0),B.(—,-,72),C(0,1,0),

2222

N(0,1,—),M(—,3,0),AB'.=(—,-,72),MN=(--,-,,

24422442

3

设异面直线A片与MN所成的角为6,则cos9="生雪=二尸=L,；.6=60。.

|AB,HW|2

.•.异面直线A$与MN所成的角等于60。.故选：C.

9.(2010•全国大纲版I)直三棱柱ABC-A4G中，若Nfi4C=9O。，AB=AC=AA,,则

异面直线BA与4G所成的角等于（)

B.45°C.60,D.90°

【答案】C

【解析】延长C4到。，使得A£>=AC,则AD4G为平行四边形，

NDAB就是异面直线BA与AC；所成的角,

又4。=48=。8=血48,则三角形为等边三角形，・•.ND4l8=60°故选：C.

10.（2009•黑龙江）已知正四棱柱ABCO-AgCQ中，A4,=2AB,E为例中点，则异

面直线BE与CQ所形成角的余弦值为（)

A,巫「3710

B.--D.-

105105

【答案】C

【解析】•.•正四棱柱ABCC-A4GR中，A4,=2AB,E为偿中点,

BAHCD\，,"BE是异面直线BE与CQ所形成角,

设例=245=2,则AE=1,BE=\IE+E=应,43=4+22=&

劣公+路"炉5+2-13V10

，cosBE=

2xV5xV2-10

.•.异面直线BE与C2所形成角的余弦值为主叵.故选：C.

11.(2018•上海)如图，在直三棱柱ABC-A4G的棱所在的直线中，与直线BG异面的直

线的条数为(

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】在直三棱柱ABC-a4G的棱所在的直线中,

与直线&G异面的直线有：A4，AC,A4.,共3条.故选：C.

12.(2012•重庆)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,0和〃，且长为“的棱与长

为友的棱异面，则a的取值范围是()

A.(0,V2)B.(0,6)C.(l,x/2)D.(1,73)

【答案】A

【解析】设四面体的底面是38，BC=a,BD=CD=l,顶点为A,AD=42

在三角形8co中，因为两边之和大于第三边可得：0<a<2(1)

取BC中点E,是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE,

所以在三角形中，AE=E£）=Jl-（y

•.•两边之和大于第三边.•.及<2,1-（92得0<。<应（负值0值舍）（2）

由(1)(2)得0<a<也.

二.填空题（共5小题）

13.（2016•全国）已知3-AC-O为直二面角，RtAABC^RtAADC,S.AB^BC,则异面

直线AB与8所成角的大小为.

【答案】-

3

【解析】分别取4）、BD、AC的中点E、F、G,连结、EG、BG、DG,

^AB=BC=2,则M=C£>=2,EF=-AB=\,EG=-CD=\,

22

BG_LAC,DGVAC,「.々GZ）是二面角3-AC-£>的平面角，

•••B-AC-O为直二面角，ZBGD=-,BG=DG=42,BD=y/2+2=2,:.FG=\,

2

/.i\EFG是等边三角形，

-.-EF//AB,EG//DC,NFEG是异面直线/IB与8所成角，

•.•NEEG=工，.•・异面直线A3与CD所成角为三.故答案为：

14.（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABC。，AB=BC=3,8=1,A£>=«,

Z4DC=9O。，沿直线AC将AAC。翻折成A4C。，直线AC与3Z7所成角的余弦的最大

值是—•

B

【答案】—

6

【解析】如图所示，取AC的中点O,-,AB=BC=3,s.BO^AC,

在RtAACD中，AC=«+(6)2=*>.作Z7E_LAC,垂足为E,£>T=^^=—

V66

CE=^-=-^==—,:.EO=CO-CE=—

co=—,

2CAa63

过点8作3F//AC,作在/ABO交8F于点F,则瓦'_LAC.连接。T.为直线AC

与3。所成的角.则四边形BOEF为矩形，.•.8/=£。=必.

3

EF=BO=/2-（9>=理.则4^7为二面角27-6-8的平面角，设为夕.

则〃尸2=（画）2+（我）2-2x^x—cos6»=—-5cos6>..^,cos6=l时取等号.

626233

/.DB的最小值=Jg件产=2.

76

直线AC与BD所成角的余弦的最大值=££=a=逅.

DB26

DD'

15.(2015•浙江)如图，三棱锥A-3CO中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,AM.

N分别是AZ）,8c的中点，则异面直线4V,CM所成的角的余弦值是,

【解析】连结ND,取ND的中点为：E,连结ME,则用E〃AN,异面直线AV,CM所

成的角就是NEA/C,

•••AN=2-/2,;.ME=O=EN,MC=2>]2,

又•；ENINC,:.EC=^EN2+NC-=43,

16.(2015•四川)如图，四边形和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直,

动点M在线段PQ上，£、尸分别为"、3c的中点，设异面直线EM与4='所成的角为，,

则cos。的最大值为.

【答案】-

5

【解析】根据已知条件，AB,AD,A。三直线两两垂直，分别以这三直线为x,y,z轴,

建立如图所示空间直角坐标系，设他=2,则：

A(0,0,0),£(1,0,0),尸(2,1,0)；

M在线段尸。上，设M(0,y,2),喷上2；

西=(-l,y,2),而=(2,1,0)；

cos0=\cos<EM,AF>|=J-；

Vr+5-V5

设〃y)=/：一)‘厂，/'(y)=-2y-5

J/+5.石•J5(y2+5)底+5

函数g(y)=-2y-5是一次函数，且为减函数，g(0)=-5<0；

，g(y)<0在［0,2］恒成立，.•./，(>)<()；

.•J(y)在［0,2］上单调递减;

17.(2012•四川)如图，在正方体中，"、N分别是8、的中点,

则异面直线AM与QN所成的角的大小是,

【解析】以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为2,

则£>(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0),A,(2,0,2),DN=(0,2,1),凡必=(-2,

1,-2)

丽.砌=0,所以前_1_即0,即AM异面直线A例与rw所成的角的大小是90。,

三.解答题(共5小题)

18.（2019•上海）如图，在正三棱锥P—/WC中，PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=&

（1）若P3的中点为“，BC的中点为N,求AC与MN的夹角；

（2）求尸一MC的体积.

解：（1）-,-M,N分别为P3,BC的中点，〃尸C,

则ZPCA为AC与MN所成角，

在蛇4c中，由B4=PC=2,AC=J5,

PC2+AC2-PfiC3

可得cosZPCA=

2PC.AC2x2x73-4

AC与MN的夹角为arccos^；

4

（2）过P作底面垂线，垂直为O,则O为底面三角形的中心,

a?

连接AO并延长，交BC于N,则AN=—,AO=-AN=l.

23

PO=V22-l2=>/3.

,=-x—x>/3x—x^3=一.

P-ABnCr3224

19.（2016•上海）将边长为1的正方形A4。。（及其内部）绕。。|旋转一周形成圆柱，如

图，AC长为^万，A1B1长为《，其中4与C在平面A4QQ的同侧.

(1)求三棱锥的体积;

(2)求异面直线乌C与M所成的角的大小.

解：（1）连结。片，则NO|4s=NAas=g,.•.△。小耳为正三角形，

C_G1/1ccC上

V

♦・S2AA=彳，C-OlAlB,=§X0。|XS^ABi=­•

（2）设点片在下底面圆周的射影为3,连结8片，则381//AA，

.•.NB5C为直线8c与M所成角（或补角），BBt=AA,=l,

jr2冗77"

连结BC、BO、OC,ZAOB=ZARBi二,ZAOC=—./.ZBOC=~,

.•.AfiOC为正三角形，:.BC=BO=\,.•.tanN3BC=l，

直线81c与M所成角大小为45°.

20.(2015•新课标I)如图，四边形ABC£＞为菱形，ZABC=120°,E,尸是平面ABC。同

一侧的两点，8E_L平面"CD,£)「_!_平面AfiCD,BE=2DF,AEYEC.

(I)证明：平面AEC_L平面AFC

(II)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

E

【解析】（I）连接8D,设=连接EG、EF、FG,

在菱形ABCZ）中，不妨设BG=1,由Z4BC=120。，可得4G=GC=6,

8EJ_平面ABC£＞,AB=BC=2,可知AE=EC,又AE_LEC,

所以EG=G，且EG_LAC,在直角A£BG中，可得BE=①,故。尸=*-,

2

在直角三角形短9G中，可得/G=逅，

2

在直角梯形应＞正中，由皮＞=2,BE=42,FD=青，可得EF=12?+（血-3&

从而EG2+FG2=EF-,则EG工FG,

(或由tanZEGB.tanZFGD=EB.FD=正史=1,

BGDG2

可得AEGB+ZFGD=90°,则EG±FG)

AC「|FG=G,可得EG_L平面AFC,

由EGu平面AEC,所以平面AEC