离散型随机变量的期望与方差

离散型随机变量的期望与方差考点搜索●数学期望、方差、标准差的计算公式●期望与方差的基本性质，二项分布的期望与方差公式猜想1.以实际问题为背景，求随机变量的期望与方差.2.利用期望和方差对实际问题进行决策与比较.1.若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ=①___________________________为数学期望或平均数、均值，数学期望又简称期望.ξx1x2…xn…PP1P2…Pn…x1p1+x2p2+…+xnpn+…2.如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是x1，x2

，…，xn，…且取这些值的概率分别为p1，p2，…，pn，…，则称Dξ=②——————————————————————————————叫做随机变量ξ的方差.Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的③________，记作④___.(x1-Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+…+(xn-Eξ)2·pn+…标准差σξ3.期望与方差的基本性质：(1)E(aξ+b)=⑤_________，D(aξ+b)=⑥______;(2)若ξ～B(n，p)，则Eξ=⑦____，Dξ=⑧___________.aEξ+ba2Dξnpnp(1-p)1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则(

)

A.Eξ=3.5，Dξ=3.52B.Eξ=3.5，Dξ=C.Eξ=3.5，Dξ=3.5D.Eξ=3.5，Dξ=B解：ξ可以取1，2，3，4，5，6.P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)=16，所以Dξ=［(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2］2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是()A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1C.P(ξ=k)=0.01k·0.9910-kD.P(ξ=k)=解：ξ～B(n，p)，Eξ=10×0.01=0.1，P(ξ=k)=A3.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机

的质量较好.解：Eξ1=Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样；Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定，所以乙机质量好.乙题型1

利用基本公式求数学期望1.(1)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响.设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望;(2)把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ.分析：第(2)小题中每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，所以总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为，所以；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为所以.同样可分析得出P(ξ=2)，P(ξ=3).解：(1)分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”为事件A、B、C，由已知A、B、C相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(C)=0.6.据题意，ξ的可能取值为1，3.其中P(ξ=3)=P(A·B·C)+P(··)=2×0.4×0.5×0.6=0.24.P(ξ=1)=1-0.24=0.76.所以Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.(2)ξ的所有可能的取值为0，1，2，3.所以ξ的分布列为所以点评：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.计算数学期望可以在求得分布列后，直接按公式计算即可.ξ0123P

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：(1)X的分布列；(2)X的数学期望.解：(1)X的所有可能取值为0，10，20，50，60.

故X的分布列为

(2)X010205060P题型2求二项分布的数学期望2.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望.解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci，i=1，2，3.由题意知A1,A2,A3相互独立，B1,B2,B3相互独立，C1,C2,C3相互独立，Ai,Bj,Ck(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)=

，P(Bi)=

，P(Ci)=

.解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知η~B(3，)，且ξ=3-η.所以故ξ的分布列为ξ的数学期望ξ0123P解法2：第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i=1,2,3，由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)=P(Ai+Ci)=P(Ai)+P(Ci)=所以ξ~B(3,),即故ξ的分布列为ξ的数学期望点评：若随机变量服从二项式分布时，可由二项分布的期望计算公式(若ξ~B(n，p)，则Eξ=np)更简便的求得期望.ξ0123P为了拓展网络市场，腾讯公司为用户推出了多款应用，如“农场”“音乐”“读书”等．市场调查表明，用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为、、，现有甲、乙、丙三位用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．(1)求三人所选择的应用互不相同的概率；(2)记ξ为三人中选择的应用是“农场”或“音乐”的人数，求ξ的分布列与数学期望．解：记第i名用户选择的应用是“农场”“音乐”“读书”分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，且Ai，Bj，Ck(i，j，k=1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)=，P(Bi)=，P(Ci)=.(1)他们选择的应用互不相同的概率P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=.解：(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η，由已知η～B(3，)，且ξ=3-η，题型3

利用分解与合成原理求数学期望3.甲、乙两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，甲队队员是A1，A2，A3，乙队队员是B1，B2，B3.根据以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：A1胜B1的概率为，A2胜B2的概率为，A3胜B3的概率为，按上述对阵方式出场，每场比赛胜队得1分，负队得0分，设甲、乙两队最后所得总分分别为ξ、η，求Eξ、Eη.解法1：根据题意，ξ的可能取值为3，2，1，0，且ξ+η=3.所以因为η=-ξ+3，所以解法2：设甲队队员Ai(i=1，2，3)每场的得分为ξi，则ξ=ξ1+ξ2+ξ3.因为ξ1的可能取值为1，0，且所以同理所以点评：如果两个随机变量ξ、η满足一定的关系式：η=aξ+b，则E(aξ+b)=aEξ+b，利用这个公式可方便快捷地求相关随机变量的期望.某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一