江西省南昌市某中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

八年级数学线上评估卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）

1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转

180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一

条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折

叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.如图，将AABC绕点C顺时针旋转得到△£>£€,使点A的对应点。恰好落在边A3上，点B的对应点

为E，连接8E.下列结论一定正确的是（）

A.AC=ADB.ABLEBC.BC=DED.ZA=/EBC

【答案】D

【解析】

【分析】利用旋转的性质得AC=CD,BC=EC,/ACD=NBCE,所以选项A、C不一定正确

再根据等腰三角形的性质即可得出NA=NEBC，所以选项D正确；再根据/EBC

=ZEBC+ZABC=ZA+ZABC=180°-ZACB判断选项B不一定正确即可.

（详解】解：：AABC绕点C顺时针旋转得到ADEC,

，AC=CD,BC=EC,ZACD=ZBCE,

180°-^ACD180°—/BCE

NA=/CDA=NEBC=NBEC=

22

，选项A、C不一定正确,

；./A=NEBC,

选项D正确.

NEBC=NEBC+NABC=/A+NABC=1800-NACB不一定等于90°，

选项B不一定正确；

故选D.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等腰三角形的性质.

3.某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据.在统计

时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是（）

A.平均数B.中位数C.方差D.极差

【答案】B

【解析】

【分析】根据中位数的定义解答即可

【详解】因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响,

所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数，

故选B.

【点睛】此题考查中位数的定义，解题关键在于对定义的掌握

4.爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走

了15分钟回到家中.下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数

关系是（）

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，爷爷在公园回家，则当x=0时，y=900；从公园回家一共用了45分钟，则当x=45时,

y=°；

【详解】解：由题意，爷爷在公园回家，则当x=()时，y=900；

从公园回家一共用了20+10+15=45分钟，则当x=45时，)，=0；

结合选项可知答案B.

故选B.

【点睛】本题考查函数图象；能够从题中获取信息，分析运动时间与距离之间的关系是解题的关键.

5.如图，将一个长为8cm,宽为6cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪

下，再打开，得到的菱形的面积为()

A.6cm2B.12cm2C.24cm2D.48cm2

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据折叠方法求出菱形的对角线长，再根据菱形的面积公式可得答案.

【详解】解：根据折叠可得：剪下的菱形对角线长分别为：8+2=4(cm),6+2=3(cm),

得到的菱形的面积为：4x3+2=6(cm2),

故选：A.

【点睛】此题主要考查了剪纸问题，以及菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式.

6.如图，E,尸是四边形ABC。的对角线8。上的两点，AE//CF,AB//CD,BE=DF,则下列结论:

@AE=CF,®AD=BC,@AD//BC,④NBCF=NDAE,

其中正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定得出△ABE与ACDF全等，进而利用全等三角形的性质判断即可.

【详解】解：VAE//CF,AB〃CD,

；.NAEF=/CFE,NABE=/CDF,

/.ZAEB=ZCFD,

ZABE=ZCDF

在△ABE与ACDF中《BEM。77,

2AEB=NCFD

.,.△ABE^ACDF(ASA),

；.AE=CF,

：BE=DF,

；.BE+EF=DF+EF,

即BF=DE,

AE=CF

在△ADE与△CBF中<NAED=NCFB,

DE=BF

.".△ADE^ACBF(SAS),

.\AD=BC,NADE=/CBF,NBCF=NDAE

；.AD〃BC,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7.数据2、3、X、4的平均数是3,则这组数据的众数是____.

【答案】3

【解析】

【分析】先根据条件求出X的值，然后根据众数的定义就可解决问题.

【详解】解：•.•数据2、3、X、4的平均数是3,

；.2+3+x+4=3x4=12,

解得x=3.

其中3出现的次数最多，

因而这组数据的众数是3.

故答案为：3

【点睛】本题主要考查了算术平均数、众数的定义等知识，熟悉相关知识是解决此类题目的关键.

8.分别写有数字g、0、-1、乃、0的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取两张卡片，两张都

抽到无理数的概率是.

【答案】—

10

【解析】

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，两张都抽到

无理数，再利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】画树状图得：

•••共有20种等可能的结果，从中随机抽取两张，两张都抽到无理数有2种情况，

21

.•.从中任意抽取两张卡片，两张都抽到无理数的概率是：一=一；

2010

故答案为：—.

【点睛】本题考查是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求

情况数与总情况数之比.

9.如图，在AAOB中，ZB=35°,将AAOB绕点。逆时针旋转30。得到,02与4g交于点

C,则NACO的度数是—

【答案】65。##65度

【解析】

【分析】根据旋转的性质，A4O8三"。与，由幺CO=NB|+NBOq即可解答;

【详解】解：根据旋转的性质，\AOB=^OB[,

NB=NB[=35°,

.旋转角为30。，

/./BOB】=30°,

幺CO=ZB,+NBOB[=35°+30°=65°,

故答案为：65°.

【点睛】本题主要考查图形旋转的性质、全等三角形的性质、三角形外角的性质，掌握图形旋转的性质是

解题的关键.

10.如图，等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP=3,BP=4,CP=5,则

SHABP+SABPC=.

【答案】6+4百

【解析】

【分析】将"PC绕点3逆时针旋转60。后得“产人根据旋转的性质可得NP8产=/。54=60。，BP=BP',

可得△8PP为等边三角形，可得BP'=BP=4=PP,再由勾股定理的逆定理可得AAPP，是直角三角形，由三角

形的面积公式可求解.

【详解】解：如图，将"PC绕点B逆时针旋转60。后得△於A,连接PP,

根据旋转的性质可知，

旋转角NP8P=NCBA=60。，BP=BP',

.♦.△8PP为等边三角形，

：.BP'=BP=4=PP'；

过点P作POLBP于点力，

1

BD=-BP'=2,

2

由勾股定理得尸£>=26，

SAB尸产；xBP'xPD=46；

由旋转的性质可知，AP'=PC=5,

在△5尸2'「卜PP'=4,AP=3,

由勾股定理的逆定理得AAPP是直角三角形,

故答案为：6+46.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，作辅助线构造出等边

三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点.

11.如图，在正方形网格中，格点ZVLBC绕某点顺时针旋转角a(0<a<180°)得到格点A414G，点A

与点4,点B与点用，点c与点G是对应点，则&=度.

【解析】

【分析】先连接CG，作CG，AA的垂直平分线交于点E,连接AE，再由题意得到旋转中

心，由旋转的性质即可得到答案.

【详解】如图，连接cc,,AA,作CG，AA1的垂直平分线交于点E,连接AE，4E,

cc,,A4的垂直平分线交于点E,

.♦.点E是旋转中心，

•；ZAEA,=90°,

••・旋转角。=90°.

故答案为90°.

【点睛】本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.

12.在菱形A8C。中，ZB=60°,AB=8,点E在8C上，CE=46,若点P是菱形ABC。四条边上异于点

£的一点，CE=CP,则。P的长为.

【答案】84百或4或4新

【解析】

【分析】分点P位于边CO上、位于边AO上、位于边4B上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形

的性质以及勾股定理求解即可.

【详解】解：当点P位于边C。上时，如图所示：

:菱形ABCD中，A2=8,CE=46，

，CQ=8,CP=4g\

：.DP=CD-CP=S-4y/3;

当点尸位于边A。上时，如图2所示:

•.•菱形ABCD中，ZB=60°,A8=8,

AACD是等边三角形，

过点C作C//JLAD于点儿

：.AH=HD=4,

由勾股定理得C”=4百，

•.•CE=46,

，点P与点H重合，

：.DP=4；

当点P位于边AB上时，过点P作PBC.

'：PC=CE=4y/3.BC=8,NB=60°,

同理PC_LAB,

ZBCP=30°,

NPCD=NBCD-NBCP=90。,

由勾股定理得DP=y/pC2+CD2=4".

综上，£>P的长为8-46或4或4疗.

故答案为：8-46或4或4J7.

【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题.

三、解答题(本大题5小题，每小题6分，共30分)

14+22〃+4

13.(1)计算:___________________________________!______________

a—1（T-2.U+1a—1

(2)如图，在菱形4BCD中，48=15,对角线8。=24,若过点C作CELAB,垂足为E,求CE的长.

【解析】

【分析】(1)先根据分式的除法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算即可；

(2)连接AC交8。于O,由菱形的性质得出OA=OC=，AC,OB=OD=-BD=\2,ACLBD,由勾股定理

22

求出04,得出AC,再由菱形面积的两种计算方法，即可求出CE的长.

1a+22。+4

【详解】解：(1)________________:------

Q—12。+1CL—\

1Q+2Cl—1

Q—1（Q—1）22（〃+2）

21

2（〃一I）2（〃一1）

1

2(。-1)

1

2a-2；

(2)连接AC交2。于0,如图所示:

♦••四边形ABC。是菱形，

11

：.OA=OC=-AC,OB=OD=-BD=\2,ACrBD,

22

...ZAOB=90°,

•••°A=ylAB2-OB2=V152-122=9，

；.AC=18,

:菱形的面积=AB・CE='AGBQ,

2

即15xCE=-xl8x24,

2

72

解得：CE=-^~.

【点睛】本题考查了分式的化简，菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质,

由菱形面积的两种计算方法得出结果是解决问题的关键.

14.如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，。为坐标原点，点A(10,0),点C(0,

6),在边AB上任取一点。，将△AO。沿。。翻折，使点月落在BC边上，记为点E.

(1)4。的长=；

(2)若在x轴正半轴上存在点P,使得AOEP为等腰三角形，求点尸的坐标.

【答案】(1)—

3

25

(2)点尸的坐标为(16,0)或(一，0)或(10,0).

4

【解析】

【分析】(1)在RaCEO中，利用勾股定理求得CE=8,设A£»=x,在RaBOE中，利用勾股定理即可求

解；

(2)分①当OE=。尸，②PE=OP,③。E=EP时，三种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即可.

【小问1详解】

解：•.•点410,0),点C(0,6),且四边形。ABC是矩形，

：.OA=BC=10,AB=OC=6,

由折叠的性质得O4=OE=10,AD=DE,

在放△CEO中，CE=y]oE2-OC2

BE=2,

设AD=x,贝ljDE=x,DB=6-x,

在Rt&BDE中，DE^BABE2,

.'.x2=(6-x)2+22,

解得：户W，即AD的长=丝；

33

故答案为：一；

3

【小问2详解】

解：①当。£=。尸=10时，

；OE=10,

OP=10,

此时点尸与点A重合，.•.点尸的坐标为(10,0)；

②当PE=。尸时，

过点E作轴于点M,

则EM=AB=6,

在狡△OEM中，OMTOE?-EM?=8,

设OP=a,则PE=a,PM^S-a,

在RMEM中，PAPM+EM2,

6/2=(8-a)2+62,

25

解得：a=一，

4

25

点尸的坐标为(一0)；

4

：.OM=MP,

同②得OM=8,

：.MP=S,

点尸的坐标为(16,0)；

25

综上，点P的坐标为(16,0)或(一，0)或(10,0).

4

【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想

的运用是解题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点坐标分别是A(2,-1),B(l,-2),C(3,-3).

(1)将△ABC先向上平移4个单位长度再沿y轴翻折得到△4SG,请画出AA山JG；

(2)请画出把AA8c绕原点。逆时针旋转90。得到A/hB2c2.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据平移的性质以及轴对称的性质分别作出4B,C的对应点Ai,Bi,G再连接即可;

(2)根据旋转的性质分别作出A,B,C的对应点4,B2,C2再连接即可.

【小问1详解】

解：△A282c2如图所本.

【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.

16.请仅用无刻度的直尺画图，不写画法，保留画图痕迹：

DDC

图①图②

(1)如图①，在菱形ABC。中，ZA=60°,点E是43边的中点，请画出4。边上的高；

(2)如图②，在口ABCQ中，点E是AB边上且BE=BC,请画出NA的平分线.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)连接OE交对角线AC于点G,连接8G交4。于点尸，B尸即是A。边上的高;

(2)的对角线交于点0,射线E。交CD于点P,AP即是NA的平分线.

【小问1详解】

解：连接OE交对角线AC于点G,连接BG交AO于点F,如图，B/即是4。边上的高；

证明：•.•在菱形48C。中，乙4=60。，

.二△ABD为等边三角形,NDAG=NBAG,AD=AB,

NADG=NABG,

,••点E是AB边的中点，

：.DE1AB,B|JZA£D=90°,

NDAE=NBAF

在AAOE和AABF中，＜AD=AB,

NADE=NABF

：.AADEAABF,

：.ZAED=ZAFB=90°,

尸是A力边上的高；

小问2详解】

解：nABCO的对角线交于点O,射线E0交CQ于点P,如图，AP即是/A的平分线.

证明：•;BE=BC,

・•・ZBEC=ZBCE,

・・•四边形ABCD是平行四边形,

J.CD//AB,

：./DCE=NBEC,

：./DCE=/BCE,

・・・CE平分NBC。,

■:CD//AB、

：.ZPDO=ZEBOf

・：DO=BO,/POD=NEOB,

:・&P0DQ4E0B,

：.PO=EO,

VAO=CO,

・・・四边形AECP是平行四边形,

C.AP//CE,

・・・AP是NA的平分线.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、菱

形的性质、平行线的性质、等腰三角的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条

件.

17.如图，由△4BC绕点A按逆时针方向旋转90。得到，且点8的对应点。恰好落在8C的延长线

上，AD,EC相交于点P.

D

AB

(1)求NBCE的度数；

(2)F是EC延长线上点，且NCDF=NZMC.判断QF和P尸的数量关系，并证明.

【答案】(1)ZBDE=90°；(2)DF=PF,证明见解析

【解析】

【分析】(1)由旋转的性质即可求得结果；

(2)由旋转的性质可得NACE=NADB=45°,则易得NFPD=NDAC+NACE=NCDF+NADB=NFDP,从

而可得DF=PF.

【详解】(1)由旋转的性质可知，AB=AD,ZBAD=90°,NADE=NB,

在ABO中，NB=/ADB=45°,

ZADE=ZB=45°,

：.NBDE=^ADB+ZADE=9Q°.

(2)DF=PF.理由如下：

由旋转的性质可知，AC=AE,NC4E=90。，

在RtAACE中，ZACE=NAEC=45°,

/CDF=NCAD,NACE=ZADB=45°,

：.ZADB+ZCDF=ZACE+ZCAD,

：.DF=PF.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，关键是掌握旋转

的性质.

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.某中学初一和初二两个年级各有600名学生参加汉字听写比赛，为了解本次比赛成绩分布情况，分别

从两个年级随机抽取部分学生的成绩作为样本，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息.

a.初二年级学生成绩样本的频数分布表(每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分)如下：

成绩50〜6060〜7070〜8080〜9090-100

频数248m12

b.初二年级学生成绩样本中80〜90分段的具体成绩为:

82.58081.586.5808782

8382.58984.5858888.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）m=；

（2）初二年级学生成绩样本数据的中位数为；

（3）若初一学生样本成绩的中位数为80,甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居第275

名，根据上述信息推断甲同学所在年级为（填“初一”或“初二”）.

（4）若成绩在85分及以上均为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计初二年级学生中成绩达到优秀的

学生人数.

【答案】（1）14（2）82.75

（3）初一（4）估计初二年级学生中成绩达到优秀的学生人数约是270人.

【解析】

【分析】（1）根据初二年级学生成绩样本中80〜90分段的频数即可求解；

（2）根据中位数的求法即可求解；

（3）根据中位数的意义即可求解；

（4）用600乘样本优秀率即可.

【小问1详解】

解：初二年级学生成绩样本中80〜90分段的频数为：机=14,

故答案为：14；

【小问2详解】

解：初二年级学生成绩样本容量为2+4+8+14+12=40,

中位数是第20和第21个数，即80〜90分段的第6和第7个数，

808081.58282.582.58384.58586.5878888.589

on5+83

初二年级学生成绩样本数据的中位数为=82.75（分），

2

故答案为：82.75；

【小问3详解】

解：600名学生，中位数为第300、301的中位数，

而甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，

初一学生样本成绩中位数为80,

82>80,

.•.该同学为初一，

故答案为：初一;

【小问4详解】

X.1O

解：600x-~~-=270（人）.

40

故估计初二年级学生中成绩达到优秀的学生人数约是270人.

【点睛】本题主要考查了频数统计表，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数，用样本估计总体的计

算方法进行求解是解决本题的关键.

19.如图所示，在直角坐标系中，矩形A8C。的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3,AD=6,点P

从A点出发以每秒2个单位长度沿A-B-C-O的路线做匀速运动.当尸点运动到。点时停止运动.

（1）求P点从A点运动到。点所需的时间；

（2）设P点运动时间为f（s）；

①当。=5时，求出点P的坐标；

②当P点在CD上时，若AZMP的面积为S，试求出S与r之间的函数关系式（并写出相应的自变量f的取

值范围）.

【答案】（1）6秒（2）①P（6,2）；②S=-6f+36（gwrK6）

【解析】

【分析】（1）先求出尸点从4点运动到。点的长度，然后根据时间=长度十速度，计算求解即可；

（2）①由，=5,可求P点的运动长度为5x2=10,根据10>9,可知P点在CO上，且PC=1,进而

11Q

可得P点坐标；②由题意知，当P点在CD上时，3=5x40x02=5x6x（12—2。，且整

理求解即可.

【小问1详解】

解：由题意知，尸点从A点运动到。点的长度为3+6+3=12,

12

・•・P点从A点运动到。点所需的时间为一二6秒，

2

.・・P点从A点运动到。点所需的时间为6秒.

【小问2详解】

①解：：，=5,

点的运动长度为5x2=10,

V10>9,

•••P点在CD上，且PC=1,

；・点尸的坐标为（6,2）.

119

②解：由题意知，当P点在CD上时，S=-xADxDP=—X6X^12—=36—6z>且

...当P点在CO上时，S与r之间的函数关系式为S=-6,+36（gWfW6）.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，坐标与图形.解题的关键在于根据题意列正确的等式.

20.某公司在六一儿童节来临之际，为员工子女准备了价格不同的三种礼物，员工通过抽签的方式随机选

择礼物类型：将A（书包）、B（滑板鞋）、C（儿童手表）分别写在无差别的三个乒乓球上，将其放在不透

明的盒子中摇匀，员工老李先从中随机摸出一个球，记下结果后放回摇匀，再由老张从中随机摸出一个，

记下结果后放回.

（1）老李没有抽中“书包”是事件，老张抽中“笔记本电脑”是事件（填“不可能”或

“必然”或“随机”）；老李抽中“滑板鞋”的概率为；

（2）试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出老李和老张抽中相同礼物的概率.

【答案】（I）随机，不可能，-

3

（2）老李和老张抽中相同礼物的概率为

3

【解析】

【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；

（2）画树状图得出所有等可能的结果，再从中找到符合条件的结果数，然后利用概率公式计算可得.

【小问1详解】

解：老李没有抽中“书包”是随机事件；

老张抽中“笔记本电脑”是不可能事件；

老李抽中“滑板鞋”的概率为《；

故答案为：随机，不可能，

3

【小问2详解】

解：列表如下:

第一次

ABc

第二次

4(A,A)(8,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

可能出现的结果共有9种，并且它们出现的可能性相同，其中老李和老张抽中相同礼物的结果有3种，

31

则老李和老张抽中相同礼物的概率为一=一.

93

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适

合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.在四边形中，点E、F分别是AB、AZ）边上一点，NDFC=2NFCE.

（1）如图1,若四边形A8CD是正方形，ZDFC=60°,BE=2,贝AF=.

A/7

（2）如图2,若四边形ABC。是菱形，ZA=120°,ZDFC=90°,BE=2,求——的值.

AE

（3）如图3,若四边形A8C。是矩形，点E是AB的中点，CE=12,C尸=15,连接EF,并求E尸的值.

【答案】（1）26-2

eAF2+后

AE2

（3）EF=9.

【解析】

【分析】（1）根据含30。的直角三角形的性质解答即可：

（2）过E作EG_LBC,利用含30。的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质进行解答即可;

（3）延长正交C8延长线于点M,再利用全等三角形的性质和勾股定理进行解答.

【小问1详解】

解：•.•四边形ABC。是正方形，ZDFC=60°,

，ZDCF=30°,

'：NDFC=2NFCE,

：.NFCE=NECB=30°,

,:BE=2,

：.CE=2BE=4,

由勾股定理得8C=26,

•••四边形ABC。是正方形，

.'.BC=CD=AD=2y/3,

ZB=ZD=90°,ZFCD=ZECB=30°,

：.&BCE冬&DCF,

：.DF=2,

••.AF=26-2；

故答案为：26-2；

【小问2详解】

解：过E作EGLBC,如图：

NDFC=9Q。,NDFC=2ZFCE,

：.NFCE=NBCE=45°,

'：NA=120。，

.\ZB=60o,则/BEG=30°,

：.BG=；BE=l,EG=G，

:.GC=EG=C,

BC=CD=AB=AD=1+百，

：.DF=-CD=i+y^,

22

.1+V3

..AF=-------，

2

：.AE=AB-BE=y/3-\,

1+A/3

AAF=^~=2+V3；

~AE~y/3-l~2

【小问3详解】

解：延长FE交CB延长线于点M,如图:

NEBM=ZEAF=90°

在AAFE与ABME中，，EB=AE,

NBEM=ZAEF

.♦.△AFE丝△BME(ASA),

：.BM=AF,ME=EF,

•：ZDFC=2ZFCE,

；.CE是NFCB的角平分线，

：.CM=CF=\5,

在放AMEC中，ME=yjMC2-CE2=V152-122=9,

:.EF=ME=9.

【点睛】此题考查四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质.正方形的性质，构造出全等三角

形是解本题的关键.

22.在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如，教材八年级下册的数学活

动——折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积

累了数学活动经验.

实践发现：

对折矩形纸片A8CZ),使与8c重合，得到折痕EF,把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在所

上的点N处，并使折痕经过点8,得到折痕把纸片展平，连接AN,如图①.

(1)①计算出=°；

②继续折叠纸片，使点A落在8c边上的点H处，并使折痕经过点8,得到折痕BG,把纸片展平，如图

②，则NGBN=°；

(2)拓展延伸：如图③，折叠矩形纸片4BCD,使点4落在BC边上的点A处，并且折痕交BC边于点

T,交AQ边于点S,把纸片展平，连接A4'交ST于点O,连接A7.

求证：四边形可以’是菱形；

(3)解决问题；如图④，矩形纸片48co中，AB=10,AD=26,折叠纸片，使点A落在BC边上的

点A处，并且折痕交AB边于点T,交AD边于点5,把纸片展平.同学们小组讨论后，得出线段47的长

度有4,5,7,9.请写出以上4个数值中你认为正确的数值.

【答案】(D①60；②15

(2)见解析(3)7,9

【解析】

【分析】(1)①由折叠的性质可得AN=8N,AE=BE,NNEA=9G°,8M垂直平分4M

NBAM=NBNM=9Q°,可证AABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；

②由折叠的性质可得NABG=NHBG=45。，可求解；

(2)由折叠的性质可得AO=HO,AA'IST,由“AAS"可证"SOg△470,可得SO=TO,由菱形的判定

可证四边形SA7X'是菱形；

(3)先由折叠的性质求出AT的范围，即可求解.

【小问1详解】

解：①：对折矩形纸片ABCQ,使AO与BC重合，

垂直平分A8,

：.AN=BN,AE=BE,Z7V£A=9O°,

•••再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处,

垂直平分AN,NBAM=NBNM=90°,

:.AB=BN,

：.AB=AN=BN,

...△ABN是等边三角形，

NEBN=60。,

：.NENB=30°,

：.NMNE=60°,

故答案为：60；

②•••折叠纸片，使点4落在8C边上的点H处，

NABG=NHBG=45°,

：.NGBN=NABN-NABG=15°,

故答案为：15；

【小问2详解】

证明：：折叠矩形纸片ABCZ),使点4落在