第3讲 充满活力的韦达定理

22B或2、D、22122第三讲22B或2、D、22122

充满活的达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方.【例题求解】【例】已知方程

的两个实数根，则代数式

2)的为

思点：求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化(【例】如果

、b

都是质数，且a

a

，b

，那么

baa

的值为()A

1231252222

或2思点：将两个等式相减，得到

a

、

的关系，由于两个等式结构相同，可视

a

、

为方程x

的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条.注应用韦达定理的代数式的值般是关于、x2示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合(2)根根的定义降次(3)构造对称式

的对称式这问题可通过变形+x、x21

表【例】已知于x方程：x

2

mmx(1)求证：无论m取么实数值，个方程总有两个相异实.(2)若这个方程的两个实根

、

满足x，m的值及相应的211

、x

思点：于，先判定

、

的符号特征，并从分类讨论入【例4设x、

是方程xm的两个数根，当m为值时，12

有最小值并求出这个最小.思点利用根与系数关系把待求用m的数式表示再配方法入手注意本例是在一定约束条件下eq\o\ac(△,()eq\o\ac(△,)≥0)进行的.注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足别式≥0这条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价.【例】已知四边形ABCD中AB∥且ABCD的是关于

的方程x)2

74

的两个(1)当m＝时四边形ABCD别是哪种四边说明理.(2)若MN分是ADBC的点线MN分交ACBD于＝1且求AB的长．1

思点：于，易建立含ACBD及m的系式，要求出值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的一隐含关系注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题形向“数(方程转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．2

232B．22baC．D．充满活力的韦达定理历训练232B．22baC．D．已知

和x

为一元二次方程2

的两个实根

和x

满足不等式

，则实数取范围是

(2)已关于x

的一元二次方程8xx有个负数根，那么实数

m

的取值范围是

、知、是程的两个实数根，则代数式的值为

是eq\o\ac(△,)ABC边上的高线AD是方程

的两根，eq\o\ac(△,)ABC的积

、x

、x

是关于x

的方程x

2

px两根，x

+1、x

+1是于

的方程

2

qxp的根，则的分别等()A．1，B．1，3C-1，D．-1，3、eq\o\ac(△,)ABC中∠C＝90°，、、c分是A∠B、C的边，a是于的方程x0

的两根，那么AB边的中线长是)A

322

C．5．、程

21997有两个正整数根x、x，则

p(12

的值是)A．1B．-l．

122、关于x

的一元二次方程的两个实数根满足关系式：

x((xx1

，判断()

4否正?、知关于x的程x(2x0.当k是何值时此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根x

、x

满足：x，2

的值、知方程x

2

px的根均为正整数，且

，那么这个方程两根为

、知是程x的个根，则值

eq\o\ac(△,)的一边长为5另边长恰为方程2

x的两根m取值范围是

、个质数a

、b

恰好是整系数方程的两个根，则的值是()abA．9413B

941394139413194993

222．D．122222222．D．122222、方程有一个正根x，个负根x，以、x为根的一元二次程()2A．xC．mx

BxDx1、果方程()的三根可以作为一个三角形的三边之长，那实数m的值范围是()A0≤1B．≥

333444

≤m如在矩形ABCD中对角线AC的长为且BC(AB>BC)的长是关于的程两个.(1)求rn的值；（2）若是AB上一点CF⊥DE于F求为值时eq\o\ac(△,)CEF面积eq\o\ac(△,)的积的，请说3明理由．设不小于的数得于xx、x.

的方程工m有两个不相等的实数根若

求m值

（2求

1111

22

的最大值.、图，已知eq\o\ac(△,)中∠ACB=90°过C作于，＝BD=nAC＝2