-新教材高中数学第二章平面解析几何7.2抛物线的几何性质学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE9抛物线的几何性质新课程标准解读核心素养1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质直观想象2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用数学运算在现实生活中有许多抛物线的原型，如桥拱、卫星接收天线、曲线与轴截面的交线等，抛掷出的铅球在天空中划过的轨迹也是抛物线的一部分……[问题](1)类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图像，你能否猜想出抛物线的几何性质呢？(2)参数p对抛物线开口大小有何影响？知识点抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0，0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下eq\a\vs4\al()抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系y2＝ax一次项为x项，对称轴为x轴a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左x2＝ay一次项为y项，对称轴为y轴a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下1．抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？提示：有一条对称轴．2．抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？提示：抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()A.x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．y2＝±12x解析：选C可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知eq\f(p,2)＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：选D∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴eq\f(p,2)＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线距离的最小值为eq\f(p,2)，∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞).3．若双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．答案：4抛物线方程及其几何性质[例1](1)(链接教科书第156页例1)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq\r(3)，求抛物线的方程；(2)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3，0)，求|PA|的最小值．[解](1)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3).由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq\r(3)，把y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，eq\r(3))在抛物线y2＝2px上，点(－1，eq\r(3))在抛物线y2＝－2px上，可得p＝eq\f(3,2).于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.(2)设点P的坐标为(x，y)，则y2＝4x，x≥0，|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.当x＝1时，|PA|的最小值为2eq\r(2).eq\a\vs4\al()1．几何性质在求抛物线方程中的应用(1)代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程(组)求出未知数；(2)几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦点到准线的距离，从而得到抛物线的标准方程．2．研究抛物线的性质，把握三个要点(1)开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负；(2)位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴；(3)定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p.[跟踪训练]1．(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1，0) D．(2，0)解析：选B将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2eq\r(p)，不妨设D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，由OD⊥OE，可得eq\o(OD,\s\up7(→))·eq\o(OE,\s\up7(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).2．抛物线x2＝2y上与点M(0，2)距离最近的点的坐标为________．解析：设抛物线x2＝2y上任意一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x2)).由两点间的距离公式，得|PM|＝eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2))\s\up12(2))＝eq\r(\f(1,4)（x2－2）2＋3)，∴当x2＝2时，|PM|取最小值．此时，x＝±eq\r(2)，y＝1，∴抛物线x2＝2y上与点M(0，2)距离最近的点坐标为(±eq\r(2)，1).答案：(±eq\r(2)，1)焦点弦问题[例2]过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．[解]由于抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，故可设直线AB的方程为x＝my＋eq\f(p,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.eq\a\vs4\al()1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；(3)S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ为直线AB的倾斜角)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.[跟踪训练]已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq\f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq\f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1(图略)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝2px，即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq\f(3,2).∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.同理可求出当抛物线焦点在x轴负半轴上时抛物线的标准方程是y2＝－3x.故所求抛物线标准方程为y2＝3x或y2＝－3x.抛物线的实际应用[例3](链接教科书第158页习题A5题)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20m，拱顶距水面6m，桥墩高出水面4m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18m，目前吃水线上部中央船体高5m，宽16m，且该货船在现有状况下还可多装1000t货物，但每多装150t货物，[解]如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为拱顶距水面6m，桥墩高出水面4m，所以A(10设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－eq\f(1,50)x2.若货船沿正中央航行，船宽16m，而当x＝8时y＝－eq\f(1,50)×82＝－1.28，即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m).而船体高为5m，又因为5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(t)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1050t，而船最多还能装1000t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．eq\a\vs4\al()求抛物线实际应用的五个步骤[跟踪训练]汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197mm，则点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(69，\f(197,2))).将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0).因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35mm1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq\r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,8)解析：选A线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A．(4eq\r(2)，±2) B．(±4eq\r(2)，2)C．(±2，4eq\r(2)) D．(2，±4eq\r(2))解析：选D抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x2＋y2＝（x－4）2＋y2))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x＝2))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±4\r(2)．))所以符合题意的点为(2，±4eq\r(2)).3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝()A．5 B．6C．8 D．10解析：选C抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，