-新教材高中数学第二章平面解析几何5.2第二课时椭圆的几何性质二学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE5第二课时椭圆的几何性质(二)求椭圆的离心率角度一直接法求椭圆的离心率[例1]已知直线l：2x－y＋2＝0过椭圆左焦点F和一个顶点B，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2\r(5),5)[解析]由直线l：2x－y＋2＝0，令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝－1.又∵直线l：2x－y＋2＝0过椭圆左焦点F和一个顶点B，∴椭圆的左焦点F(－1，0)，顶点B(0，2)，∴c＝1，b＝2，∴a＝eq\r(c2＋b2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，∴该椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).故选B.[答案]B角度二构造方程或不等式求椭圆的离心率[例2](1)若一个椭圆长轴长与焦距之和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)(2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．[解析](1)由题意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)所以4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，3a2－2ac－5c2＝0，5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq\f(3,5)(2)依题意可得2c≥2b，即c≥b所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，所以e≥eq\f(\r(2),2).又因为0<e<1，所以椭圆离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).[答案](1)B(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))eq\a\vs4\al()求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解；(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．[跟踪训练]1．已知椭圆eq\f(y2,b2＋1)＋x2＝1(b＞0)的离心率为eq\f(\r(10),10)，则b等于()A．3 B．eq\f(1,3)C．eq\f(9,10) D．eq\f(3\r(10),10)解析：选B易知b2＋1＞1，由题意得eq\f(（b2＋1）－1,b2＋1)＝eq\f(b2,b2＋1)＝eq\f(1,10)，解得b＝eq\f(1,3)或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故选B.2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(6),4)解析：选A如图，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos60°＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq\f(1,2)，故选A.3．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝eq\f(3,2)|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是________．解析：因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝eq\f(3,2)|F1F2|，所以|PF1|＝eq\f(3,2)×2c＝3c.因为a－c≤|PF1|≤a＋c，即a－c≤3c≤a＋c，解得eq\f(1,4)≤eq\f(c,a)≤eq\f(1,2).所以椭圆C的离心率e的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))椭圆的实际应用问题[例3](链接教科书第133页例4)我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6371km，[解]如图，建立直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点(记F1为左焦点)，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|＝6371＋439＝6810a＋c＝|OB|＋|OF2|＝|F2B|＝6371＋2384＝8755，∴a＝7782.5≈7783.∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(（a＋c）（a－c）)＝eq\r(8755×6810)≈7721，∴卫星运行的轨道方程是eq\f(x2,77832)＋eq\f(y2,77212)＝1.eq\a\vs4\al()解决椭圆的实际问题的基本步骤(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．[跟踪训练]神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为()A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2RC．d2＋d1－2R D．d1＋d2解析：选D设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.1．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是()A．eq\f(\r(13),3) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,9)解析：选B由椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1可得a＝3，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，∴椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故选B.2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),3)解析：选B因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b＝c，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).故选B.3．(2021·陕西商洛市高二月考)已知椭圆M：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，椭圆N：eq\f(x2,k2＋16)＋eq\f(y2,k2＋9)＝1，椭圆P：eq\f(y2,32)＋eq\f(x2,18)＝1，则()A．M与N的离心率相等，M与P的焦距相等B．M与N的离心率相等，N与P的焦距相等C．M与N的焦距相等，M与P的短轴长相等D．M与N的焦距相等，M与P的离心率相等解析：选D∵k2＋16－(k2＋9)＝16－9，∴M与N的焦距相等；∵eq\f(9,16)＝eq\f(18,32)，∴M与P的离心率相等．故选D.4．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为________．解析：因为长轴长为4，所以a＝2，根据离心率为eq\f(\r(2),2)，得c＝eq\r(2)，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(2)，所以短轴长为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)5．已知椭圆eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的离心率e＝eq\f(1,2).求k的值．解：分两种情况进行讨论．①当椭