-新教材高中数学第13章立体几何初步1.2圆柱圆锥圆台和球学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE9圆柱、圆锥、圆台和球课程标准1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征．2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构．【概念认知】1．圆柱的结构特征(1)定义：将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱．如图所示，这条直线叫作圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆柱OO′.2．圆锥的结构特征(1)定义：将直角三角形绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥．如图所示，这条直线叫作圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆锥SO.3．圆台的结构特征(1)定义：将直角梯形绕着它垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台．如图所示，这条直线叫作圆台的轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆台OO′.4．球的结构特征(1)定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球．如图所示，半圆的圆心叫作球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径，连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径．(2)表示方法：用表示球心的字母来表示，如球O.5．旋转体的定义一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．6．简单组合体的结构特征由简单空间图形组合而成的复杂的空间图形称为简单组合体，构成简单组合体的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体裁去或挖去一部分组成．【自我小测】1．下面空间图形的截面一定是圆面的是()A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱【解析】选B.截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥【解析】选D.连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．3．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①② B．②③ C．①③ D．②④【解析】选D.由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．4．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________．【解析】设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得解得r＝eq\f(\r(Q),2).所以此圆柱的底面半径为eq\f(\r(Q),2).答案：eq\f(\r(Q),2)5．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成．答案：①④6．下列说法正确的是________(填序号).①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．【解析】①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确．答案：④⑥7．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程，受到平面内两点之间线段最短的启发，需要将圆柱进行展开，使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可．【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，展开成为平面图形——矩形，示意图如图，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，所以AB′＝eq\r(A′B′2＋AA′2)＝eq\r(4＋（2π）2)＝2eq\r(1＋π2).故蚂蚁爬行的最短距离为2eq\r(1＋π2).【基础全面练】一、单选题1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的空间图形的形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体【解析】选B.圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱．2．若圆柱被平面截成如图所示的空间图形，则它的侧面展开图是()【解析】选D.结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．3．下列命题中正确的是()A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【解析】选C.A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．4．下列几何体是台体的是()【解析】选D.台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确．5．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而成的()【解析】选A.该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，结合选项可知A选项正确．二、填空题6．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．【解析】圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．答案：②③④7．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号).①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．【解析】可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．答案：①②③⑤三、解答题8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，求该圆锥的高．【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).9．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．【解析】如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝5π，πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8π，所以req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝5，req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8，又因为R2＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，所以deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8－5＝3，即(d1－d2)(d1＋d2)＝3.又d1－d2＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d1＋d2＝3，,d1－d2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d1＝2，,d2＝1.))所以R＝eq\r(req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(5＋4)＝3，即球的半径等于3.【综合突破练】一、选择题1．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A．4 B．3eq\r(2) C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)【解析】选D.圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2eq\r(6)，即两底面之间的距离为2eq\r(6).2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的母线长为()A．4 B．2 C．3 D．eq\r(6)【解析】选B.如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2，所以eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4)AB2，所以AB＝2.二、填空题3．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，则△ABC绕边AB所在的直线旋转一周所得空间图形是________，母线长l＝________．【解析】所得几何体是圆锥，母线长l＝AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5.答案：圆锥54．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，则圆台的高为________．【解析】由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm又由题意知，腰长为12cm，所以高AM＝eq\r(122－（5－2）2)＝3eq\r(15)(cm).答案：35．圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，则圆台的高被截面分成的两部分的比为________．【解析】将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(h＋h1,h)＝\f(\r(\f(49＋1,2π)),\r(\f(1,π)))＝5，,\f(h＋h1＋h2,h)＝\f(\r(\f(49,π)),\r(\f(1,π)))＝7，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h1＝4h，,h2＝2h，))即h1∶h2＝2∶1.故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.答案：2∶1三、解答题6．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个空间图形，试描述该空间图形的结构特征．【解析】如图所示，旋转所得的空间图形是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．7．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥