-新教材高中数学第9章平面向量3.2第2课时向量数量积的坐标表示学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE7第2课时向量数量积的坐标表示1．平面向量数量积的坐标表示条件向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2文字叙述两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2.平面向量数量积的坐标表示的结论条件结论a＝(x，y)|a|＝eq\r(x2＋y2)表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－x1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－y1))2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)a⊥bx1x2＋y1y2＝0a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))))1．已知平面向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，则向量eq\o(CB,\s\up6(→))的模是()A．eq\r(2)B．eq\r(5)C．2eq\r(2)D．5【解析】选C.因为向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－2))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up6(→))))＝2eq\r(2).2．已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，x)，若a∥b，则|b|＝()A．eq\f(\r(,5),2)B．eq\f(5,2)C．eq\r(,5)D．5【解析】选C.因为向量a＝(1，2)，b＝(－1，x)，a∥b，所以eq\f(－1,1)＝eq\f(x,2)，解得x＝－2，所以|b|＝eq\r(,（－1）2＋（－2）2)＝eq\r(,5).3．已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝______．【解析】因为向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，a⊥b，所以a·b＝0，即－4×6＋3m＝0，m＝8.答案：84．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0，0)，B(1，1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________．【解析】在正方形OABC中，A(0，1)，C(1，0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－1)，从而eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.答案：15．已知a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，c＝(4，3).求a·b，(a＋b)·(a－b),(a＋c)·b，(a－b)2.【解析】因为a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，c＝(4，3)，所以a＋b＝(－4，3)，a－b＝(2，1)，a＋c＝(3，5)，所以a·b＝(－1，2)·(－3，1)＝3＋2＝5，(a＋b)·(a－b)＝(－4，3)·(2，1)＝－8＋3＝－5，(a＋c)·b＝(3，5)·(－3，1)＝－9＋5＝－4，(a－b)2＝22＋12＝5.一、单选题1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．1B．2C．3D．4【解析】选D.因为a＋b与a共线，所以a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝λ，,k＋2＝kλ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,k＝1.))故a＝(1，1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.2．(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝()A．eq\r(2)B．2C．5eq\r(2)D．50【解析】选A.由向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，可得a－b＝(－1，1)，所以|a－b|＝eq\r(（－1）2＋12)＝eq\r(2).3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于()A．eq\f(8,65)B．－eq\f(8,65)C．eq\f(16,65)D．－eq\f(16,65)【解析】选C.设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8＋x＝3，,6＋y＝18，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝12，))故b＝(－5，12)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(16,65).4．已知向量a＝(m，2)，b＝(1，1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝()A．2B．－2C．eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)【解析】选A.a＋b＝(m＋1，3)，|a＋b|＝eq\r(m2＋2m＋10)，则eq\r(m2＋2m＋10)＝eq\r(m2＋4)＋eq\r(2)，两式平方得到m＋2＝eq\r(2)·eq\r(4＋m2)，再平方得到m2－4m＋4＝0.解得m＝2.5．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为()A．eq\f(3\r(2),2) B．eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)【解析】选A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，由定义知eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosθ＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).二、填空题6．在平行四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－3，2)，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________．【解析】设AC，BD相交于点O，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))＝(－1，2).又eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.答案：37．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影数量为________；a在b方向上的投影数量为________．【解析】b在a方向上的投影数量为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.同理，a在b方向上的投影数量为|a|cosθ＝－eq\f(5,2).答案：－2－eq\f(5,2)8．在圆O中，长度为eq\r(2)的弦AB不经过圆心，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值为________．【解析】设向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角为θ，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|·cosθ＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|cosθ·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝1.答案：19．若a＝(2，3)，b＝(－1，－2)，c＝(2，1)，则(a·b)·c＝________；a·(b·c)＝________．【解析】因为a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，所以(a·b)·c＝－8×(2，1)＝(－16，－8).因为b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，所以a·(b·c)＝(2，3)×(－4)＝(－8，－12).答案：(－16，－8)(－8，－12)三、解答题10．在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：(1)2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))的模；(2)cos∠BAC.【解析】(1)如图，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，5)，故2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2)＋(1，5)＝(－1，7)，故|2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(,（－1）2＋72)＝5eq\r(,2)；(2)cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(（－1，1）·（1，5）,\r(,1＋1)\r(,1＋52))＝eq\f(－1＋5,\r(,2)×\r(,26))＝eq\f(2\r(,13),13).11．已知向量a＝(3，5)，b＝(－2，1).(1)求a－2b的坐标及模；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.【解析】(1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，|a－2b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，所以c＝a－(a·b)b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，所以|c|＝eq\r(1＋62)＝eq\r(37).一、选择题1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围是()A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)【解析】选A.设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，所以－1<x<3，所以－2<eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))<6.2．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【解析】选A.由题设知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(8，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，8)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×8＋(－4)×4＝0，即eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．3．设向量a＝(3，－4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A．(－6，8) B．(6，8)C．(－6，－8) D．(8，－6)【解析】选A.向量a＝(3，－4)，向量b与向量a方向相反，设b＝(3x，－4x)，x＜0，则|b|＝eq\r(,9x2＋16x2)＝－5x＝10，解得x＝－2，所以向量b的坐标为(－6，8).4．(多选)设向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k，2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1))，则下列叙述错误的是()A．若k＜－2，则a与b的夹角为钝角B．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))的最小值为2C．与b共线的单位向量只有一个为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))D．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，则k＝2eq\r(2)或－2eq\r(2)【解析】选CD.对于选项A，若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0且a与b不共线，则k－2＜0且－k≠2，解得k＜2且k≠－2，故选项A正确，不符合题意；对于选项B，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(k2＋4)≥2，当且仅当k＝0时，等号成立，故选项B正确，不符合题意；对于选项C，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(2)，与b共线的单位向量为±eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))，即与b共线的单位向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，故选项C错误，符合题意；对于选项D，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2eq\r(2)，即eq\r(k2＋4)＝2eq\r(2)，解得k＝±2，故选项D错误，符合题意．二、填空题5．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，若两个向量eq\r(3)a＋b与a－eq\r(3)b的模相等，则角α＝__________．【解析】|a|＝1，|b|＝1，由题意知(eq\r(3)a＋b)2＝(a－eq\r(3)b)2，化简得a·b＝0，所以－eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝0，所以tanα＝eq\f(\r(3),3).又0≤α<2π，所以α＝eq\f(π,6)或α＝eq\f(7π,6).答案：eq\f(π,6)或eq\f(7π,6)6．已知点A(2，3)，若把向量eq\o(OA,\s\up6(→))绕原点O按逆时针旋转90°得到向量eq\o(OB,\s\up6(→))，则点B的坐标为________．【解析】设B(x，y)(x<0)，则eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，且|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝0，,\r(x2＋y2)＝\r(22＋32)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝2.))所以B(－3，2).答案：(－3，2)7．已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1，1)，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))，则λ的值为________；此时a·b＝________．【解析】结合条件可知，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))2，得到a·b＝0，代入坐标，得到λ×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋2＝0，解得λ＝2.答案：20三、解答题8．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为钝角，求实数λ的取值范围．【解析】因为a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，所以|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(1＋λ2)，a·b＝λ－1.因为a，b的夹角θ为钝角，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－1<0，,\r(2)×\r(1＋λ2)≠1－λ，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ2＋2λ＋1≠0，))所以λ<1且λ≠－1.所以λ的取值范围是(－∞，－1