四川省成都市都一中数学1-1同步练习第二章圆锥曲线及方程第9课时直线与抛物线的位置关系含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第9课时直线与抛物线的位置关系基础达标(水平一)1。直线l经过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线交于A、B两点,O为原点，则OA·OB的值为（)。A。12 B.20 C.-12 D。—20【解析】焦点为（2,0)，设直线l方程为x=my+2,A(x1,y1），B(x2，y2），由x=my+2,y2=8x,得∴y1y2=-16，x1x2=y128·y228=164(y1∴OA·OB=x1x2+y1y2=-12.【答案】C2。抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是().A。2 B。4 C。43 D.8【解析】由抛物线的定义知AF=AK，又∠KAF=60°，所以△AFK是正三角形。联立方程组y消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13.由题意得A(3，23所以△AKF的边长为4，面积为12×4×23=43【答案】C3。已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦，若|AB｜=4，则AB的中点的纵坐标是（)。A.1 B.2 C。58 D。【解析】如图所示，设AB的中点为P（x0，y0),分别过A，P,B三点作准线l的垂线,垂足分别为A’，Q，B'，由题意得｜AA'|+｜BB’｜=|AB|=4，｜PQ｜=|AA'|+|BB'|2=2,又｜PQ|=y0+18,∴y0+1【答案】D4。设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是().A。-12,12 B.［C.[—1，1］ D。［-4,4］【解析】由题意知，抛物线准线方程为x=-2，点Q(—2,0），设直线l:y=k（x+2）,由y得k2x2+4（k2—2)x+4k2=0。当k=0时,x=0,即直线l与抛物线的交点为（0，0），当k≠0时,Δ≥0,-1≤k〈0或0〈k≤1。综上,k的取值范围是[—1,1].【答案】C5。线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，且|AB|=4，则线段AB的中点C到直线x+12=0的距离为【解析】设点A（x1，y1),B(x2，y2)，因为|AB|=x1+x2+p=4,所以x1+x2=4-12=7所以中点C（x0，y0）到直线x+12=0的距离为x0+12=x1+x22+1【答案】96.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l，过点M（1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A,与抛物线的一个交点为B，若AM=MB,则p=。

【解析】由题知准线l为x=—p2（p〉0过点M且斜率为3的直线为y=3（x-1），则点A-p设B（x,y),由AM=MB可知M为AB的中点,又M(1，0)，所以-p2代入y2=2px，得p2+4p-12=0，即p=2或p=—6（舍去）。【答案】27.已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1)相交于A,B两点。（1)求证:OA⊥OB.(2）当△OAB的面积为10时,求k的值.【解析】（1）如图所示，由y2=-x,y=k设点A(x1,y1）,B（x2,y2)，由根与系数的关系得y1·y2=-1，y1+y2=—1k∵A，B两点均在抛物线y2=-x上,∴y12=—x1,y2∴y12·y22=x又∵kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y(2)设直线与x轴交于点N,显然k≠0.令y=0,得x=-1,即N（—1，0）.∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=12｜ON||y1｜+12｜ON｜｜y=12｜ON｜·|y1-y2=12·1·=12=10,∴10=121k2+4拓展提升(水平二)8。已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2（其中O为坐标原点）,则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）.A。2 B.3 C。1728【解析】设直线AB的方程为x=ty+m，点A(x1，y1),B（x2,y2）。又点F14,0，直线AB与x轴的交点M(m，0）,不妨设y1由x=ty+m,y2=x⇒y2—ty-m=又OA·OB=2,所以x1x2+y1y2=2⇒(y1y2）2+y1y2-2=0,因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=—2,故m=2,所以S△ABO+S△AFO=12×2×（y1—y2)+12×14×y1=98y1+2y1当且仅当98y1=2y1⇒y1=43时取所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.【答案】B9。已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2+y2+2x-8y+13=0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x=-2的距离为d，则|PQ｜+d的最小值为（）.A。5 B.4 C。3 D。2【解析】由题意知，抛物线y2=8x的焦点为F(2,0）,连接PF（如图），则d=|PF|.将圆C化为(x+1)2+（y—4)2=4，圆心为C（—1，4），半径为r=2，则｜PQ|+d=｜PQ｜+|PF｜,于是有｜PQ|+｜PF｜≥|FQ|（当且仅当F，P,Q三点共线时取得等号）.而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离,显然当F,Q,C三点共线时,｜FQ｜取得最小值,且为|CF｜—r=(-1-2)2+(4【答案】C10.已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为.

【解析】当直线AB的斜率不存在时,｜AB｜=42；当直线AB的斜率k存在时,设点A（x1,y1）,B（x2，y2),中点坐标为(2，t)，则k=y1-y2y∴直线AB的方程为y-t=2t（x-2将y-t=2t(x-2）与y2=4x联立,得y2-2ty+2t2—8=0∴y1+y2=2t，y1y2=2t2-8，∴｜AB|2=1+t24(y1—y2)2=—（t2—2)2+36∴｜AB|≤6,当且仅当t=±2时,等号成立.综上所述,|AB｜max=6.【答案】611。设抛物线C:y2=2px(p〉0）的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A，B两点。(1）若p=2，求线段AF的中点N的轨迹方程；（2）若直线AB的斜率为2,当焦点为F12,0时，求△(3）若M是抛物线C准线上的点,求证：直线MA，MF，MB的斜率成等差数列。【解析】(1)焦点F(1,0),设点A（x0，y0),N(x,y）,则由题意x=x故所求的轨迹方程为4y2=4（2x-1),即y2=2x-1.(2)y2=2x，F12,0，直线AB:y=2x-1由y2=2x,y=2x-｜AB|=1+1k2|y1—y2设d为原点O到直线AB的距离，d=15=5S△OAB=12d｜AB｜=5(3）显然直线MA，MB，MF的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3.点A，B,M的坐标为A（x1，y1)，B（x2,y2），M-p设直线AB：y=kx-p2,代入抛物线方程，得y2—2pky-p2=0,所以y1又y12=2px1，y22=所以x1+p2=y122p+p2=12