版考研数学模拟训练考题

11112019最新考数模拟试（含答）学校：__________姓：__________班考：__________题号得分

一

总分一、解题．=()在=的某邻域内具有三阶连续导数，如果0

f

)0,0

0

，而f

0

，试问x=x是为极值为什么？又0

x(x0

是否为拐点？为什么？答：因

f

)0

0

，且

f

0

，则x=不极值点.又0

U,

)

中，f

x00

(

x0

故

左与f0

0

异号，在x0

右侧与

f0

同号，故()

在xx左右两侧凹凸性不同，即0

x(x0

是拐点．算下列向量场的散度与旋度：,x解：0,2zy

Ax,

；解：xy,A,x

解：

，zx

zxxyzz

．n次项式

xn

的n阶数n解：

(n)

0

n

)

()

x

n

)

(n)

x)n

()

)n

(

a(0

n

)

(n)

=0．由下列方程所确定的隐函数的阶导数

d2yd

：⑴

b

22y2b2；⑵xey

；⑶x)

；⑷

y2lnx4

解：⑴两边

求导，得2

2

x

2

yy

xbyb4a2y

3

⑵两对x求，得y

y

y

y

y

y)yy)2

y

(

y))

⑶两对

x

求导，得y

2

y)(1

2

(xy)

)y)x)

3

(xy

2

(xy).⑷两对

x

求导，得2yy

2

y

2yx1y

(2

)(12y2)

)

2[3(1)2x(1)]y2

.．括号内填入适当的函数，使等式成立：⑴d()tdt

；⑵)sin

xx

;⑶d()

x

；⑷

d()

d

;⑸

d()

1

dx

;

⑹

d()

2

3xx

；⑺d()

x

lnxd

;

⑻

d()

x

解：⑴

(sint)

td(sint)cosdt

⑵

(

cos)

)sind(

cos)sind

⑶

[ln(1)]

)]

⑷

ex)

d(

)

x

⑸

(2x)

11=21x)d

⑹

1()23x33d(x)23xd

⑺

11x)lnxd(lnx)lnxx

⑻

1)

x21

2d(2

2

x

．用微分求下列各数的近似值：⑴

3

8.1

；⑵ln；⑶

arctan1.02

解：⑴利用似公式

3

x

，有3

111))3

⑵利用近似公式ln(1)

，有lnln(10.0100.⑶取f(x)x

，令

x0

，而

f

2

，则

-13k-13karctan1=0.7954.．一路灯高m一人高

，若人以56·的速沿直线离开灯柱，证明：人影的长度以常速增长.证明：如图，设在时，人影的长度为ym.5则

4化简得

yt40,

yt

·即人影的长度的增长率为常值．线弧y=sin(0<x一处的曲率半径最小？求出该点的曲率半解：y

x

R

(12)2sin,sin(12x)2显然最小就是k最，

2cosx(12xx)令

，得x

π

为唯一驻点.π在，,π2

内，

k

所以x

π

为k的大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为

2x)3/2sin

x

π

9．f()f((b)，,f

在[a，]存在，证明：在（，）内至少有一点

，使f

证明：f

在[a，b]内存在，故f(x

在[a，b]上连，在（b）内可导，且f(af(c)f)

，故由罗尔定理知，

1

)

，使得

f

1

，

2

()

，使得

f0又f2

在

[]12

上连续，在

1

内可导，由罗尔定理知，1

)2

，使f

，即在（a）至少有一点

，使

222210．)

二阶可导，求h0

f(()(x)2

解：lim

f(x)f()f()h2

f)f)2hf1f)lim[2

)f

]1f[lim2

)fh

0

f

)f

]1[f2

f．垂直向上抛一物体，其上升高度时间的关系式为：(t)t

求：⑴物体从=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：解：

v

11121.44gh(1.2)(1)

(m⑵速度函数v()；解：(t)h

⑶物体何时到达最解：令h10

得

t

10g

(s)

即物体到达最高点的时刻为

t

10g

12求下列曲线的拐点：x

2

,t

3

;解：

dy323(2,dxtdxt令

d2ydx

，得t=1或t－1则x=1=4或x=1，y=4当t或t<－，

d2dx

2

，曲线是凹的，当t<1或1<t<0，

d2dx

2

，曲线是凸的，故曲线有两个拐，4)，(1，－

2x12x1=2aθ=2a.解：

dy2adx2a2

3y222a(2a

4

cos

2

2

令

d2dx

2

，得

ππ或3

，不妨设，不失一般性，当

3tan

3

ππ时，即时，dx

2

，当

3

或

3

时，即

ππ或时，3x

2

故当参数

π或

332时，都是y拐点，且拐点为aa22

13如果x)证明：

为偶函数，且

存在，证明：0.f

lim

f(f(0)f(lim0

f(f

故

0.14a,bc取实数值才能使

limx0

xtxb

2

dt

成立解：因为0时，

而该极限又存在，故b用必达法则，有

1lim2xcos1cosa所以

a或

a0,c

15计算下列积分（为正整数）：（1

0

xn1

2

dx解：令

sint,dtdt

当x=0时t=0当x=1时

π2

1ππ0n22222221e1ππ0n22222221e0

x

2

d

0

sintt

tt

tdt0由第四章第五节例

x

nnx

1πn为偶数22,n奇数3

π

x解：In

tan22(n0

22(n0

0

tan

2(n

xtan

n

n

n由递推公式

In

n

12n可得

In[43

(2n

．（1

求下列各曲线所围图形的面积：y=与xy=8(两分都要计算)；解：如图DD1y=x解方程+y

得交点，2)D=81

2

2

=

0∴DDπ+,1D+Dπ2π+=6．333（2

y=与线yx及x；x211解：D=xdx=x1x1

2

=1（3y=e，=e与线x；解：D

(x=e+0

lb2211)4lb2211)4（4y=lnxy轴直线y=lnay=lnb．(b>a>0)；解：D

ey=．la（5

抛物线y=x

2

和y=

2

；x解：解方程

得交点，，1)=

(

2

+2

2)

x

0

=．（6

πy=sin，yx及线，x=π；解：D=2

54

5(sinxx)dx[]=42．44

22226222222622（7

抛物线y=

2

+4及在，和(30)处的切线；解：y=．∴′(0)=4，y′(3)=．∵抛物线在点(，处线方程是y在(3，处切线是x两切线交点(，．所求面积为

x9.4

x

x（8

摆线x=a(tt)，y=(1t)的拱(0轴解：当时，x当t=2所以

2π

yx

2π

0

0

2

2π

dt0π

2

.（9

极坐标曲线ρ=a；解：D=3D1

0

sin3φa1φ=0=

a1φ

0=

2

．（10=2cos；1解：D=21=24a

2

2

dφ0=4

2

1cos2

φ0=4

1

20

222222220x23222222220x23222=4=．．解：D=2

求半径为，为的冠的表面积．xR=2

arc

R

Rcos

(cosθ

′+

Rsin

)

′θ=2

arc

R

cosθdθ=2[θ]=2．

2arc

R．

有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和，高为，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．解：如图20建立坐标系，直线AB的程为y

x

+5．压力元素为x2dx所求压力为

x

+5dxF=+5100

（）20=xx吨)=14388(KN)019设某企业固定成本为，边际成本和边收入分别为C′()=x－x+111′()=100x．试求最大利润．解：设利函数L()．则)=Rx)－C)－由于L′()=R′(x－(－x－(x－x－x－11令′(x)=0得x=1，x．又当x=1时，L″)=－12>0．当x时L″()<0，故当=11时润取得最大值．且最大利润为

0n0nL(11)=

11

(

2

xx5001334xx]5011133320判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

1

12

；

n

n

；

11111553253

；

n

n

n!

；

n

n

；

n

1112

1n

n

n

．解：(1)

Un

n

1，级数nn

U

n

是交错级数，且满足

1，nn

，由莱布尼茨判别法级数收敛，又

n

Un

n

12

是<1的P级数，所以

n

U

n

发散，故原级数条件收敛．

Un

n

1ln

，

n

n

ln

为交错级数，且

1lnln

，limn

1

，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于

Un

1ln

1n所以，

n

发散，所以原级数条件收敛．n

Un

n

15

民，显然

111，而是敛的等比级5nnnn数，故

n

收敛，所以原级数绝对收敛．n因为

limn

UnUn

nn

．故可得

，limUnn

，∴

limUnn

，原级数发散．当时由级数

n

收敛得原级数绝对收敛．

ntxntx当0<≤，交错级数n

n

1满足条件：；

，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时n

n

n

发散，所以原级数条件收敛．当α≤，

limUnn

，所以原级数发散．由于

1

1n而

n

发散，由此较审敛法知级数n

1

n

发散．记

13

n

，则Un

n

1123

1n

1

21123

1n

11n

2

3

1n

n

1n

11n

2

即又

nnlimUnnn

1

nx

1由

limt

1tt0x

limt1知

limUnn

11，由莱布尼茨判别法，原级数23n

1nn

n

收敛，而且是条件收敛．21将函数f

x

展开成-1)的幂级数．解

：

因

为

m

1

x

2

!n

n

2

1

!所

以

322223nnnn322223nnnnf

x

x

3

331!2!

2

32

n!

x

n

(-1<1<1)即f

3xx2

n

3n18利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值：(1)ln3（误差不超过）；

（误差不超过）解：

ln

x

2

35

xn

，x∈(1,1)令

11，得，12故

ln3ln

11

1212

125

12n

n

又r

n

n

n

n

n

故r5

13

8

0.00012r6

13

0.00003

．因而取则

24ππ22π2πππ24ππ22π2πππln3

35

11

1.0986

0cos

∵

；2!4!

故

0

2!

2

0.999422设f(x=x≤≤，分别将f(x)开为正弦级数和余弦级数.解：将()奇延拓，则有an=0,1,2,…)nn

0

f

0

x

1从而

n

1n

nx

<若将f()作偶延拓，则有bn=1,2,nan

fdxnxdπ0πn1,3,5,πa0

1π

f

2π

0

从而

f

ππ

≤x≤23设在半平面>0中力

kr

xi

构成力场，其中为常数，rx2，明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关．证：场力沿路径所的功为．W

kkxxy其P，Q，、Q在连通区域x>0内有一阶rrrr连续偏导数，并且

由由3(r5因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．．甲、乙两用户共用一台变压器如13题所示)，变压器设在电干线的何处时，所需电线最短？解：所需电线为(xx(3)

2

x

2.25)2)2

2

题图在<3得一驻点=1.2(km)，即变压器设在输电线离A处1.2km时所需电线最.25在平面xOy上一点，使它到xy及+216=0直线距离的平方之和为最小。解：设所求点为P(xy，点到x=0的离为x|,=0距离为，到直线x+2y16=0的离为x2

x

.距离的平方和为z(16)x(xy(16)

216得唯一驻点,实问题存在最小值，故点,5

即为所求。26求过点M(1,7,-，且与连接坐标原点到点M的段OM垂的平面方程00解：所求平面的法向量可取为

n故平面方程为：x1+7(y--z+3)=0即x+7-z-

22222222222222222227决定参数k的值，使平面x+kyz=9适下列条件：（1经过点（，4，）；（2）与平面2x3y=0成解：（1）因平过点（，，）故有5-k×得k-（2两平面的法向量分别为k,-2}n-3,1}1

π

的角且cos

n22

πcos解得

k

28通过点1，-，1作垂直于两平面xy+-1=0和2xy+1=0的面.解：设所求平面方程为+ByCz+D=0其法向量n={A,BC}-n112A2

AB又（，－，1在所求平面上，故－++D=0，得D=0故所求平面方程为CCxy即2--z29建立以点，3）为中心，且通过坐标原的球面方.解：球的半径为22设xy,)为球面上任一点，则x+(-3)z即x

+

-2-y+4=0为求球面方程30求下列曲面和直线的交点：

2y22yz与81364

;zxz与169444

解：（1）直线的参数方程为

ttt代入曲面方程解得t=1.得交点坐标为（3，，），（，22）直的数方程为

tt代入曲面方程可解得t=1,得交点坐标为（4，3，）31设zxy

yx

F(

为可导函数，证明：证明

y

FyFxxF故x

y

FFyxx

32

zf(y2)

)xyyFxyxF)xy,.其中f具二阶导数，求

解：

xf

yf

f

22222222由对称性知，

z2

f33

,

求

y

x

解：

1

111(636)3xy

34(0<t<时曲线L：x=tt,y=1cos,z=4sin

t

在相应点的切线垂直于平面

2

，并求相应的切线和法平面方程。解：xt,y在处向量为

ttttt,已知平面的法向量为

且T∥故

1tt11

2

t2解得t

π

，相应点的坐标为1,1,22故切线方程为πz2.112法平面方程为πxy2(即

xy2

π2

35一向量的终点为点（，1，），它在三坐标上的投影依次是4，和7求这向量的起点A的标.解：设此向量的起点的坐标(x,)则AB4,7},7}

dyddydd解得x=-2,=0故A的标为(-3,0).36画出积分区域，把

D

x

化为累次积分：

Dxy)|yy0}

;

{(xxxy

2

}

D,y)|y

x

yx解：（1）区域D如-示D亦可表为y

0y

所以

f(

1

f(D

0

区D如104所，直线y=与物线xy

的交点为（1，-1，（，2），区域D可示为

y

2

2,

2

图-3

图10所以

D

f(x,

2y2

f(x,)d（3区域D如105所，直线y与曲线y

的交点，2)，与x=2交点为(2曲线

与x=2的点为（2，1，区域D可示为yx,x2.xx图-5所以

D

f(x,y)d

2

f(x,y)dy

2222x222222x2237化三重积分

I

(x,xdd

为三次积分，其中积分区域Ω分别是：由双曲抛物面xy=及面x+1=z=0所成的闭区域；由曲面z=+及平面z1所成的闭区域；由曲面z=及=-x所成的闭区;由曲面c=(，

2y2zab

所围成的第I卦内的闭区域。解：(1)积分区域Ω如-38所示，图10Ω可示为：

0xy故

I

1

y

fx,,z)dz

积分区域Ω如10所。图10Ω可示为：

故

I

1

x

1

y

1

f(x,y,z)dz.

由

2

消去z得

x

2

y

2

2即

x

2y

，所以Ω在xOy面投影区域为+y≤1，如图10示。

2221122222222222112222222222图10Ω可示为：-1≤1

1

y≤≤2-x故Id

1

y

2y

f(,y,z.积分区域如图-41示。Ω可示为：xyx,02,c图10故I

d

d

fx,)dz.

38利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积：z=6--y及

；x+

+

=az(x+y

=（有z轴的部分）；

及z=x+y;z=

2

及x+4z解：（1）曲面围成的立体Ω如-55所示。在柱面坐标系下可示为：

0π0rr

rdr22.rdr22.π图10用柱面坐标可求得Ω的积

rdr

2

d

00

r

0

(6r23)dr

3r

2

32rr430（2曲面围成的立体Ω如10示。在球面坐标系下Ω表示为：

0π42cos图10

利用球面坐标可求得Ω体积：v

v

r

2

sin

r

2

π4

sin

2acos

r

2

r

0

0

0π

0

3πa3

3

144

π40

3

.（3曲面围成的立体Ω如10示。在柱面坐标系下可示为：

00

r

r

rrrd2π2rrrd2π22222图10利用柱面坐标可求得Ω体积：v

d

dr0r0

(r

rπr3r4

π.6曲围的立体Ω如10示。在柱面坐标系下，可表示为：

r5

图10利用柱面坐标可求得Ω体积：v

rd

25r04

0

r

2

r2

rπr2drd022)

32

20

πr4π0

39设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x及线x所成，它在点（x,y）处的面密度ρx)=

y，求该薄片的重心。解：闭区域D如10所：

1x()d5461x11(571x1(581x()d5461x11(571x1(58图10薄片的质量为M

yD0x

1x7

10

My

xdyyD0

1)dx,280Mx

xdDx

2

2

y

0

x9

从而

MyM

3535,yx48M54所求重心为

3554

40已知均匀矩形板（面密度为常量长和宽分别h计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。解：取形心为原点，取两旋转轴为坐标轴，建立坐标系如图-36所.图10Ix

D

y

dy

d

y

,Iy

D

x

y

d

d

d

.41计算下列对面积的曲面积分：（1

x

s

，其中

为平面

xz4

在第I卦中的部分；

2222（2

x中为面xy+=6第I卦中的部分；

d

其中球面+=a上z≥hh<)的部分；

xy

d，中锥面

2

2

被柱面x+y=2所得的有限部分；

2

2

2

，其中

为上半球面z

22

解：（1）

:z

y

(如图10示d1

图10461dyd3故

zx

461xD33D

x

161.=6x2(如图10示)。图10d

dxd3dxd故

dx3322222a22DDπ2aπππdx3322222a22DDπ2aπππ222D

2xyx

2

3

2xyx2xy

D3

2xyx

0

0

00

)27(3x3x24

2

:z

2

2

2

且其在面的投影为:x+y

≤a

-

且s

2

y

dxdy

a

a

dxd故

(x)d

a

22

aa22

x对性

dya(

)

D

xy

z

xy2x2y22ax

2

dxdydyxy2故

(xys2

2y

π2

d0

r2

rdr

π2

sin

14

4

d2a

4π2

sin

cos

5

5

cos

4

a

4

0

cos

a

4

464515

4

.D:x

+≤R

2s1

R

2

y

x

R

Ry2

x故

R

2

2

2

d

Rdd

2

R

3

2242证明:本关于旋度的基本性(（应用算符解：略。43已知水渠的横断面为等腰梯形斜角

=4°,如所示当过水断面ABCD的积为定值S时,湿周LLAB+BCCD)与水深间的函数关系并指明其定义域图1-1解S0

1BC)BC)cot2从而BC

S0

.LCD(CD)hSBCcoth

S2S2400hsinhsin

h由hBC

S0cot

得定义域为

(0,)

.44证明:hx

2

);xln,1证由

x

e

x

2

得

2

ye

x

解方程

2

ye

x

得

因为e

所以y1y

y2)所以ysinh

的反函数是

yhxln(x1

(由

tanhx

ex1得得xlnex1

;又由

1y1

得y

所以函数tanhx

的反函数为yx

ln(

uu45当

时，无穷小量

与2

(12

是否同阶？是否等价？解：

lim

1212∴当x1时1是1