考点12导数与不等式,函数零点等原卷版

考点12导数与不等式、函数零点【考点剖析】L最新考试说明：1.从近几年高考命题情况来看，对这部分内容的考查题型有小题也有大题，作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题，在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点.主要有两种考查类型：（1）确定函数零点（图象交点及方程根）的个数问题；（2）根据函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围问题.【2020年高考全国【卷文数20】已知函数/（X）=e'—〃（x+2）.（1）当。=1时，讨论/（X）的单调性；（2）若/（X）有两个零点，求。的取值范围.[2020年高考全国III卷文数20]已知函数/（x）=d—丘+公（1）讨论了（X）的单调性：（2）若/（X）有三个零点，求我的取值范围.2.利用导数研究与不等式有关的问题是高考的热点，常以解答题形式出现，难度较大.常涉及不等式成立、恒成立、证明不等式、比较两数（两函数）大小问题等.问题的分类与解决思路：（1）不等式成立、恒成立问题：一般参变分离、转化为最值问题；（2）证明不等式、比较两函数大小问题：构造新函数，转化为最值问题.[2020年高考全国II卷理数21]已知函数/（x）=sin2asui2x.（1）讨论f（x）在区间（0,万）的单调性;（2）证明：I"刈4半；3“（3）设〃wN",证明：sin2xsin22xsiii24.v---siii22ka<—.4〃【2020年高考天津卷20】已知函数/（x）=f+klnx（kwR）,/'（x）为/*）的导函数.第1页共9页(I)当k=6时，(i)求曲线)=/(x)在点(1JQ))处的切线方程；(11)求函数g(x)=/(x)-/*(x)+-的单调区间和极值；X(II)当上》一3时，求证：对任意的演，X,,且X］，有Jd(')>'(\)./(1)2 xY-x2.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点..选择题、填空题侧重于考查导数的运算及导数的几何意义，解答题侧重于利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，往往与函数、解析几何、不等式、数列等交汇命题，一般难度较大..利用导数解决生活中的最优化问题，近几年考查也较多..课本结论总结：.函数的单调性在某个区间Q,幼内，如果£(x?0,那么函数尸f(x)在这个区间内单调递增：如果F(aO<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减..函数的极值(1)判断代加是极值的方法一般地，当函数f(x)在点选处连续时，①如果在照附近的左侧f(x)>0,右侧(.yXO,那么f(m)是极大值；②如果在照附近的左侧f(x)<0,右侧r(.y)>0,那么f(m)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f(x):②求方程£(x)=o的根;③检查£(X)在方程f(X)=0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么/Xx)在这个根处取得极大值:如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值..函数的最值(1)在闭区间L，6］上连续的函数f(x)在［a,6］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［办6］上单调递增，则丛包为函数的最小值，皿为函数的最大值；若函数f(x)在［a,6］上单调递减，则上a)为函数的最大值,为函数的最小值.(3)设函数f(x)在［办6］上连续，在Q,8)内可导，求f(x)在［a,6］上的最大值和最小值的步骤如下：①求f{x)在(a,6)内的极值;②将f(x)的各极值与之必进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.第2页共9页.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x)；⑵求函数的导数f(x),解方程f(x)=0;(3)比较函数在区间端点和£(x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值：(4)回归实际问题作答..不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题.(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题..名师二级结论：(1)利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求,画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.(2)导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式.①证明f(x)<g(x), 8),可以构造函数尸(x)=f(x)—g(x),如果尸’(x)<0,则尸(x)在(a,8)上是减函数，同时若尸(加W0,由减函数的定义可知，大e(a,b)时，有尸(x)<0,即证明了f(x)〈g(x).②证明f(x)>g(x),(小6),可以构造函数尸(x)=f(x)—g(x),如果F(x)>0,则广(x)在Q,b)上是增函数，同时若Ra)20,由增函数的定义可知，(a,8)时，有尸(x)>0,即证明了f(x)>g(x).(2)利用导数解决不等式的恒成立问题.利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题..课本经典习题：(1)(选修2-2第32页B组第1题)L利用函数的单调性，证明下列不等式：sinx(0,町；(2)x-x2>0,xe(0,1)：(3)e'>l+x,x¥0；(4)liix<x<e\x>0【解析】(1)令/(x)=x-sinx,则=l-cosx,因为x>0所以/'(x)>0得到fW>/(0)即f(x)>0,故上式成立.第3页共9页(2)令/(1)=工一丁,工£(0,1),则/'(x)=l-2x,因为xe(O,l),所以X£(O,；)时，/,(x)>0；所以X£(g,l)时，r(x)<0；又"0)=0,/⑴=0,所以/(X)>/(O),即/(x)>0,故X—V>0,xe(0,l)成立.【经典理由】在证明不等式时，可根据不等式特点构造函数，用导数判断单调性，利用函数单调性证明不等式，求出函数的最值，由该函数在取得最值时该不等式成立，可得该不等式成立。.考点交汇展示：(1)导数与函数零点交汇x,x<0例L(2019浙江)已知,函数/*)=11 1 , .若函数一内一〃恰-.V——(a+l)x"+ax,x>013 2有3个零点，则A,«<-11b<0B.«<-1,b>0 C.。>一1,b<0D.b>0例2.【2019年高考全国I卷理数】已知函数/(x)=smx—ln(l+x),广。)为/(x)的导数.证明：(1)/'(X)在区间(-1,^)存在唯一极大值点；(2)/(x)有且仅有2个零点.(2)导数与不等式交汇例3.【2019年高考天津理数】已知aeR,设函数/*)=1'-2"+2兄若关于工的不等式[x-alnx,x>L/(x)20在R上恒成立，则〃的取值范围为A.[0.1] B.[0,2] C.[0,e] D.[l,e]例4.【2019年高考浙江】已知实数。。0,设函数/(M=alnx+J77T,x>0.(1)当。=—2时，求函数/5)的单调区间；4(2)对任意均有/㈤〈立，求〃的取值范围.注：e=2.71828…为自然对数的底数.e- 2a(3)导数与三角函数、不等式、函数零点交汇例5.【2019年高考天津理数】设函数/(x)=e'cosx,g(x)为/(x)的导函数.(I)求/(x)的单调区间;第4页共9页<II)当 时,证明f(x)+g(x)y-xj>0;TOC\o"1-5"\h\z/ X(III)设乙为函数〃—1在区间2〃兀+q,2〃7t+g内的零点，其中〃eN,证明\qz)_ _-2nK-7t e2〃兀+——xn< -2smx0-cosx0【考点分类】热点1利用导数证明不等式1.(2020•湖南省高三模拟)己知函数/(X)=〃IN+(X—l)/+l(a£R)./1\(1)讨论函数/(X)的单调性；⑵证明：当-4时，/(x)>mr2+x3.IDz热点2利用导数研究方程根的个数问题(2020•安徽省高三二模)己知函数/(x)=]/—x+lnx.(1)若函数/(x)在定义域内是增函数，求实数。的取值范闱；(2)当ae[l,e)时，讨论方程/(%)=6一^根的个数.(2020•黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三)已知函数/(x)=(x-2)e、+41nx—at(aeR)(1)若x=l为/(M的极大值点，求。的取值范I制；.(2)当。之0时，判断y=/(x)与x轴交点个数，并给出证明.热点3利用导数研究函数零点个数问题(X—X"I€xX<1(2020•河北省衡水中学高三)已知函数’ ，若函数>=/(1)—心恰有三个不-x2+10x-9,x>l同的零点，则实数。的取值范围是()A.[1,4) B.(-1,16)C.(-l,0]U[L16)D.{0}U[L4)(2020•浙江省高三期末)己知函数/(x)=e'+G〃—e)x一〃笛.(1)当机=0时，求曲线y=/(x)在点(0"(0))处的切线方程；第5页共9页

(2)当初<0时，证明：/(x)在0」内存在唯一零点.热点4利用导数解决不等式恒成立问题，— 一—— ex 小 f(x.)/(尤)一.(2019•福建省高二)已知函数/(x)= at,1£(。,+8),当厂>王时，不等式 < -i*iIX - 9X］成立，则实数。的取值范围为()A.(y,e]B.(y)，e)C.D.A.(y,e]B.(y)，e)C.D..(2020•湖南省长郡中学高三)已知函数/(x)=lnx,g(x)=eA.(1)若力(力=/(司+^--1,求证：4(x)有且只有两个零点；ex(2)不等式〃7[g'"(x)+l](2)不等式〃7[g'"(x)+l]之21X+-Xx>0恒成立，求实数〃?的取值范围.【方法规律】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对任意句都有/'(x)2g(x),可设Mx)=F(x)—g(x)只要利用导数说明力(x)在［a,8］上的最小值为0即可.解题技巧总结如下：(1)树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来)，如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.(2)强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手•，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数(指数)，移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.(3)巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【解题技巧】.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用..在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.【易错点睛】.函数f(x)在某个区间内单调递增，则f(x)20而不是FU)>0(f(x)=0在有限个点处取到).第6页共9页

.利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.【热点预测】.设函数/(x)=[x-lnx(x>0),则下列说法中正确的是().(1AA.7(x)在区间一,1,(l,e)内均有零点 B./(冷在区间一,1,(l,e)内均无零点(eJ Ve(1、/(x)在区间-,1内有零点，在区间(I,e)内无零点te)(1、/(x)在区间-」内无零点，在区间(Le)内有零点2.(2020•湖北省黄冈中学高三)已知函数/(x)=(lnx+l—狗(e'f—狗，若存在实数。使得<02.恒成立，则实数〃？的取值范围是()A.(1,+oc)B.(一叫1)C.(1,2)D.(-2,1)3.函数/(x)=2"+d—2在区间(0,1)内的零点个数是()A.B.1C.D.34.A.(1,+oc)B.(一叫1)C.(1,2)D.(-2,1)3.函数/(x)=2"+d—2在区间(0,1)内的零点个数是()A.B.1C.D.34.(2020安徽省六安一中)若不等式aln(x+l)—2/+3/>0在区间。户)内的解集中有且仅有三个整数，则实数。的取值范围是().A.2780B.(2780<21n2'ln5>C.2780D.27 1 ,+s

[21n2 )5.若函数/(1)=二-“存在两个不同零点，则实数。的取值范围是()5.A.C.1}-O0,一eB.0.A.C.1}-O0,一eB.0.一Ie)(—oO,0)kJv—eD.(YO,0)50,-6.吗'一"6.吗'一",若方程/(x)=g(x)有2不lux111X(2020・四川省高三期末)已知函数/(x)=———g(x)=第7页共9页

同的实数解，则实数。的取值范围是（）（1、A.（Y,e） B.0,一 C.（―、O）U（e，+s）D.（e,+8）7.（2020•河南省高三二模）已知函数〃x）=V+2alnx+3,若%,9e[4,+8）&工々），全42,3],A.[-2,+00)D.D.--对任意正实数x,〃x）NO恒成立,则〃?5-0,A.[-2,+00)D.D.--对任意正实数x,〃x）NO恒成立,则〃?5-0,二/D.（2019•江苏省高二期中）若关于x的方程（lnx-以）lnx=V有且只有三个不相等的实根，则实数。的取值范围是 .（2020•合肥市第六中学高三）已知函数/（x）=xlnx+o¥+l,aeR.（1）如果关于％的不等式/WNO在x>0恒成立，求实数。的取值范围；（2）当xNl时，证明：","Vlnx'x?-sin（x-l）-1.（2020・四川省阅中中学）已知函数/（切=-一翻一。（。£/?）.（1）讨论/（x）的单调性；（2）若/（X）有两个零点不为，求实数。的取值范围，并证明石+%>°-（2020•河南省高三其他）已知函数/（x）=xe-'（x£R）.（1）判断函数/（X）的单调性；（2）若方程/（月+2/-3。+1=0有两个不同的根，求实数a的取值范围：（3）如果工产工，且/（内）=/（々），求证：111（^+x2