2023届四川省泸州市泸县第四中学二诊模拟考试数学（文）试题

II卷非选择题（90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．曲线在处的切线方程为_____．14．已知平面向量，，若，则＝___．15．已知正数a，b满足，则的最小值为_________.16．如图，在四边形中，，，，，，点是线段上的一个动点，则的最小值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．17．（12分）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，．（1）求与；（2）设，数列的前项和记为，求．18．（12分）为研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所将所研制的某型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到如下统计数据：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗注射疫苗总计现从未注射疫苗的小白鼠中任取只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．（1）能否有的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取只进行病理分析，然后从这只小白鼠中随机抽取只对注射疫苗的情况进行核实，求恰有只为注射过疫苗的概率．附：，.19．（12分）如图，在几何体中，，，均为边长为的等边三角形，平面平面，平面⊥平面．(1)求证：；(2)求点到平面的距离．20．（12分）已知抛物线，直线，过点作直线与交于，两点，当时，为中点.（1）求的方程；（2）作，，垂足分别为，两点，若与交于，求证：.21．（12分）已知函数是其导函数.(1)讨论的单调性；(2)对恒成立，求的取值范围.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.（1）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）已知点A（0，1），若曲线C1方程中的参数是t，0＜α＜π，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求的最大值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）已知，若恒成立，求函数的取值范围.泸县四中2020级高三第二次诊断性模拟考试数学（文史类）参考答案：1．A2．B3．D4．C5．D6．D7．A8．C9．C10．A11．B12．B13．14．15．16．17．解：（1）设正项等比数列的公比为()，由解得，所以，．（2）由（1）得，所以，①，②①-②得，所以．18．解：（1）依题意，由，得，所以，，所以，列联表如下表所示：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗注射疫苗总计由，所以有的把握认为注射此疫苗有效；（2）设“恰有只为注射过疫苗”为事件，由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取，故抽取的只小白鼠中有只未注射疫苗，分别用、、来表示，只已注射疫苗的小白鼠分别用、来表示，从这只小白鼠中随机抽取只，可能的情况有：、、、、、、、、、，共种，其中恰有只为注射过疫苗有：、、、、、，共种，所以，即恰有只为注射过疫苗的概率为．19．(1)取，的中点分别为和，连接，，，因为和均为边长为的等边三角形，所以，，且，因为平面平面，平面与平面的交线为，平面，所以平面；因为平面平面，平面与平面的交线为，平面，所以平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，的中点分别为和，所以，结合，所以(2)取，的中点分别为，，分别连接，，，因为，，所以四边形为等腰梯形，所以，又，的中点为，所以，因为平面，平面，，所以平面，又因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离等价于点到平面的距离，即点到平面的距离，所以，设点到平面的距离为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为四边形为等腰梯形，，，所以，又，所以在等腰三角形中，底边上的高为：，所以，所以，所以点到平面的距离为：.20．解：（1）设，，当时，的方程为即,由可得，，∵为的中点，∴，∴，的方程为；（2）证明：当时，则四边形为矩形，为的中点，由（1）可知为的中点，∴为的中位线，；当与不平行时，设与相交于，不妨设从左至右依次为点A、B、M，如图，由题意显然成立，只要证，即证，又，∴，∴只要证，即证，即证.设直线的方程为，则，由，解得.由可得，，∴，，∴，得证；综上，.21．解：（1）函数的导函数，当时，，所以在R上单调递增；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增.综述：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）因为对恒成立，所以当时，；当时，，则，所以.所以且连续不断.，，情形一：当时，当时，在上单调递增，又因为，所以在上单调递增，所以，满足题意.当时，由（1）知在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，不符合题意.情形二：当时，当时，由，知不恒成立；.当时，，易知恒成立.当时，由（1）知的最小值，所以在单调递增，而，所以成立.综上可得的取值范围为.22．（1）∵ρ＝2cosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为∴（x﹣1）2+y2＝1，∵α是曲线C1：的参数，∴C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝t2，∵C1与C2有且只有一个公共点，∴|t|1或|t|1，∴C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝（）2或x2+（y﹣1）2＝（）2（2）∵t是曲线C1：的参数，∴C1是过点A（0，1）的一条直线，设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，把，代入（x﹣1）2+y2＝1得t2+2（sinα﹣cosα）t+1＝0，∴∴|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝2|sin（α）|≤2，当α