第二章有心运动和两体问题

基本特性1。3。有心力为保守力，机械能守恒。2。质点始终在垂直于的平面内运动——（1）——（2）——（3）动量矩守恒定律——（3‘）（二）运动微分方程1（二）轨道微分方程——比耐公式令：已知力由公式得轨道方程已知轨道方程由公式得力例]质点受有心力作用而作的圆运动，为圆半径，求F=？2§2-2平方反比引力下的质点运动反向与（一）轨道若万有引力:若静电场力:轨道方程A和θo

为积分常数，由初始条件定：t=0θ=θo

3圆锥曲线的标准方程补数学

定点为焦点动点的轨迹为圆锥曲线θ

r

p

p——半正焦弦长

e——偏心率

4（1）椭圆近点B：5（2）抛物线近点B：6（3）双曲线近点B：7得：与比较具体形态？力学上与初始条件有关数学上由e来确定8（二）轨道特性势能近点B代入E的表达式可得：-----(1)*要用结果表明e(E，h)9代入（1）式代入（1）式代入（1）式代入（1）式（1）椭圆e<1（2）抛物线e=1（3）双曲线e>1（4）圆e=010*E一定，椭圆的半长轴也确定h（角动量）越大，e（偏心率）越大∵e(E,h),∴h不同，则e不同。11例1]结合宇宙速度看航天器随初始能量不同具有的不同轨道第一种情况圆轨道e=0E<0v=vI第一宇宙速度：vI——使航天器能绕地球作圆轨道的最小放射速度Re——地球半径Me——地球质量m——航天器质量h——航天器与地面的高度Re12若vII>v>

vI椭圆∵能量越大，椭圆越扁，半长轴越长E=0e=1轨道为抛物线v=vII其次宇宙速度：vII——使航天器能脱离地球引力场所需的最小放射速度∴

v越大，椭圆越扁.第二种情况第三种情况13E>0e>1轨道为双曲线v>vII第三宇宙速度：vIII——使航天器不仅能脱离地球引力而且要脱离太阳引力所需的最小放射速度Rs=1.494×1011mMs=1.989×1030kg——太阳质量不同轨道——地球绕太阳公转的轨道半径第四种情况14例2]证明开普勒第二定律常数，等价为动量矩守恒开普勒第确定律：开普勒其次定律：开普勒第三定律：15例3]变更轨道的卫星一个用火箭运载的卫星,按半径为ro的圆轨道运行.火箭发动机突然在它的运动方向增加了8%的火箭速度,求新轨道上远地点离地心的距离.16*利用引力加速,实现到外星的航行17例4]P52，例2]18§2-3圆轨道的稳定性

在有心力势场中：设势能V（r）令：有效势能满足：为稳定平衡等效为质点在矢径方向作一维的运动，圆轨道稳定条件：若：则二维的圆运动，化为一维的静平衡.19§2-4与平方反比的斥力作用——α粒子的散射

α粒子散射试验q

Qα粒子——带两个正电荷的氦离子20原子的“葡萄干”模型21α粒子的散射22原子的“有核模型“2324α粒子电量：q=+2e某原子核序数为z，电量Q=+ze令得：与平方反比引力比较相差“-”用“-k2”代替“k2”（一）散射轨道散射角25引力轨道方程斥力轨道方程仍令*为双曲线的另一支方程26极轴斥力引力27选极轴反向：令极轴则有：习惯：28求α粒子受到原子核斥力作用远离原子核后的角度——散射角设α粒子从无穷远处以射向原子核为瞄准距离，并29看一束α粒子的散射角瞄准距离在ρ和ρ+d

ρ之间的

α粒子散射后必向着和+d之间的角度散出。（二）散射截面卢瑟福散射公式——（1）式30环面积——散射截面ρ由（1）式得：，再微分找出的关系，

——卢瑟福公式31§2-5两体问题仅以一对内力和相互作用的两个质点构成的质点系的动力学问题。32（一）二体的相对运动折合质量在惯性系相对于的运动微分方程看成不动变成折合质量才能用微分方程同理令——折合质量33（二）行星与太阳运动问题的修正行星相对于太阳的微分方程与前：太阳看成不动的方程比较有相同的形式结论：（１）行星相对于太阳仍为椭圆运动34（２）系统的质心Ｃ作惯性运动（３）行星相对于质心的轨迹，是以质心为焦点的椭圆，同理可得太阳相对于质心的轨迹也是椭圆．行星相对于质心的微分方程地球c太阳35例］由轻弹簧和滑块组成的二体问题刚性系数为k的轻弹簧的两端分别系着和的两个滑块，它们静止于光滑的水面上，今使第一个滑块沿两滑块联线方向获得速度Ｖ，求这一体系的质心速度和体系的振动周期．xm2m136§2-６随意幂有心力问题的计算（一）与距离成随意幂的引力运动微分方程：可用计算机求解，Ｃ语言或ＭＡＴＡＢ语言引力：直角坐标：37（二）微小扰动对轨道的影响水星太阳金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星扰动力

很小38扰动力的几种状况（1）宇宙尘的作用由建立模型法得：

ρ——宇宙尘的密度

扰动力：

m——质点的质量

39（2）广义相对论的效应考虑到广义相对论对万的引力的修正：将代入上式得出的结果与实际更相符，如：水星的进动：40（三）相轨迹和庞加莱面二维运动，相空间：四维空间若有约束，维数要削减。如：有心力相当于两个约束方程相轨迹为二维曲面用极坐标来表示：或用极坐标表示：