导数及其应用最全教案

g()g()一知点理1.导：当

趋近于零时，

f(f()0

趋近于常数c。可用符号“

”记作：当

时，

f(f()0

记作lim

f(xf(x)00

符”读近

的瞬时变化率称

f()

在

x

处的导数作

f)

。即

f'()lim00

f(x(x)002.导的几何意义是曲线在某一处的切线的斜率数的物理意义常指物体运动在某一时刻的瞬时速度。即若点

P(xy)0

为曲线上一点，则过点

P(xy)0

的切线的斜率

切

f

'

(x)lim00

f(x(x)00由于函数

f(x)

在

处的导数，表示曲线在点

(,f(x0

处切线的斜率，因此，曲线

f(x)在点(,fx

处的切线方程可如下求得：（）出函数

f(x)在x

处的导数，即曲线

f(x)点(,fx

处切线的斜率。（知点坐标和切线斜率的条件下线方程为f'(x)0003.导数的四则运算法则：1）

(f(x)g())

2）

[(x)()]g(x)xg3）

(g()f

(x)gg2(x)

4.几常见函数的导数：(1)

CC为数)

（x

n

()

(3)

(sin)

x

fxfx0x0f(x在x0(4)

(cos)

(5)

x)

11(logx)

log(7)

(

)

(8)

(a

)

a5.函的单调性：在某个区间

(a,

内，如果

f'()0

，那么函数

yx)

在这个区间内单调递增；如果f

'

(x0

，那么函数

yf(x

在这个区间内单调递减。6.函的极值求函数

f()

极值的步骤①求导数

f

。②求方程

f

/

(0

的根.③列表；④下结论。7.函的最大值和最小值（）

yf(x

是定义在区间

y)在ab)

内有导数，求函数y)

在

小值，可分两步进行.①求

y)在(a,b)

内的极.②将

y)

在各极值点的极值与

f(、f()

比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（）函数

f(x)

在

f(

为函数的最小值，

f(b)

为函数的最大值；若函数

f()

在

f(

为函数的最大值，

f(b)

为函数的最小值注意）求函数的极值时，应注意：使导函数

f

取值为的可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数

f()x

的导数，点处有

f

，即点是的点

f(x)

上为增函数可知不

f(x)的极值点(2)在求际问题中的最大值和小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域如定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。

（）大（小）值与最大（小）值的区别与联系二、典例题解析：例1（1若函数

y(x)

在区间

(,)

内可导，且

xa)

则

limh

f(x)()00h

的值为（）A

f

(x0

B

2

x)

C．

f

x)

．

（）知曲线

的一条切线方程是

yx

，则

的值为A

4284213B..或D或33（）曲线A．

的一条切线与线B．

垂直，则的程为C．D．（）知函数

f()

3

(2

2

，x(x)

的一个极值点，则值为（）A．2B.-2C.

27

D.4例．

f(x)x

x

在间

上的最大值是2。解：当－，f

当0，f

所以当＝时，f（）得最大值为2。点：导数求极值或最值时要掌握一般方法数的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的未必都是极值点，如：函数

f()x

。例：设函数(x)=

x

3ax2

其中（f(x)单调区间f(x)的极值。解：由已知得

f'()x

fx)

，解得

x0,

。（Ⅰ）当

a

时，

f(x)x2

，f(x)

在(

上单调递增；当

a

时，

f()

，

f(x),f()

随

的变化情况如下表：

(

0

a

(af

'

(x)

+

0

0

fff(x)从上表可知，函数f()

在(

极大值上单调递增；在a

极小值上单调递减；在a

上单调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a时函数fx)

没有极值；当a时，函数(x

在处取极大值，在

处取得极小值

。点：小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识运用数学知识解决实际问题的能力。例：知函数

f()

13

x2ax（1若在R上调，求a的值范围。（2问是否存在a值，使得f()在

上单调递减，若存在，请求

a

的取值范围。解：先求导得

fx2（1

f(x)在R上单调且f是口向上的二次函f恒立，即4解得（2

要使得

f(x)在

上单调递减

且是口向上的二次函数f对x即

解得

a

不存在

a

值，使得

f(x)

在

上单调递减。例5已知直l为曲线x2x在

处的切线，l为曲线的另一条切线，且ll

（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求由直线l，l和所围成的三角形的面积解：设直l的斜率为

，直线

l

的斜率为

k

，

，由题意得

k'

,得直线

l

的方程为y

kkll2令

,

将xyx得yl

与该曲线的切点坐标为A

由直线方程的点斜式得直线l的程为y（Ⅱ）由直线

l

的方程为yx

,令

得x=2由直线l的程为

，令

得xx由得

设由直线l，l和轴围成的三角形的面积为S，则：三、练：

1241．关于函数

f)x3x2

，下列说法不正确的是（）。（）区间（），()

为增函数（）区间（0，）内，f()

为减函数（在（，

内f()

为增函数（在区（

0）

内，f(x)为增函数2．对任意x，有

fx)4x

，f(1)则此函数为()4

。3．函数y=2x-3x-12x+5在0,3]上的最大值与最小值分别是5-15。4．下列函数中，

是极值点的函数是（）。（）

y

（）x

（）

yx

（）

y

1x5．下列说法正确的是（）。（）数的极大值就是函数的最大