大学课件：第十二周 轴测投影

第五章轴测图第一节轴测投影的基本知识第二节正轴测投影第三节斜轴测投影第四节轴测投影的选择及注意事项第一节轴测投影的基本知识

正投影图能够完整、准确地表达形体的形状和大小，且作图简便，所以在工程中被广泛应用。但是这种图立体感差，不能反映出立体的空间形象，要具有一定的读图能力才能看得懂图。

正投影图

轴测投影立体感比较强，能同时反映几个面的形状。但是它的缺点是不能直接反映物体各表面的真实形状和大小，因而度量性差，同时作图较正投影复杂。所以多数情况下只能作为一种辅助图，用来帮助人们读懂正投影图。正投影图轴测投影第一节轴测投影的基本知识PS

将物体斜放，投射方向S与轴测投影面P垂直，使物体上的三个坐标面和P面都斜交YZXOPYPZPXP轴测投影的形成正轴测投影图P斜轴测投影图正投影图SS0

体的正面平行于轴测投影面，投射方向S与轴测投影面P倾斜。ZPXPXYZ轴测投影的形成YPZPXPOPPYZXOPYPZPXP基本术语(1)轴测投影面：轴测投影所在的投影面（常用字母P

表示）。(2)轴测轴：空间直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影（OpXp、OpYp、OpZp），称为轴测投影轴，简称轴测轴。PYZXOPYPZPXP基本术语（3）轴间角：轴测轴之间的夹角。∠XpOpYp、∠XpOpZp

、∠YpOpZpPYZXOPYPZPXP基本术语（4）伸缩系数：直线的轴测投影长度与相应原来长度的比值。（5）轴向伸缩系数：轴测轴上的单位长度与原来坐标轴上单位长度的比值，称为轴向伸缩系数。分别用p、q、r

表示X、Y、Z轴的伸缩系数。OZZOrOYYOqOXXOpPPPPPP===PCDABDPCPBPAP

AB∥CD

AAP∥BBP∥CCP∥DDP

AAPBPB∥CCPDPDAPBP∥CPDP（1）平行性：空间平行的直线，其轴测投影仍相互平行。轴测投影的特性推论：平行于坐标轴的线段，其轴测投影仍平行于相应的轴测轴（2）定比性：空间各平行线段的轴测投影的伸缩系数相等。PD1CDABDPCPBPAPB1

AB1∥APBPCD1∥CPDP△ABB1∽△CDD1AB∥CD

BB1∥DD1AB1＝APBP

CD1＝CPDPAB1∥CD1推论：因此空间平行于坐标轴的线段，其伸缩系数等于相应的轴向伸缩系数。

轴测投影的特性

如果知道了轴测投影中的轴测轴的方向和伸缩系数，则与每条坐标轴平行的直线，其轴测投影必平行于相应轴测轴，其轴测投影长度等于原来的长度乘以该轴的伸缩系数。轴测投影的特性

所谓“轴测”，就是说沿坐标轴的方向，即平行于坐标轴的直线，可以测量长度。它可以由空间长度乘以该轴的伸缩系数得出投影长度，也可以由投影长度除以该轴的伸缩系数，得出原来长度。

在画轴测图时，形体上平行的两直线其投影也互相平行。但应注意，物体上不平行于坐标轴的直线具有不同的伸缩系数，不能在投影图中直接作出。画轴测图时，可先确定其端点的轴测图，后连线。为使图面清楚，在轴测图上一般不画虚线。

画轴测图时，首先必须确定轴测轴的方向和伸缩系数。轴测投影的分类

按投射线对轴测投影面是否垂直，分为：（1）正轴测投影：（2）斜轴测投影：投射方向垂直于轴测投影面；投射方向倾斜于轴测投影面。

画轴测图时，首先必须确定轴测轴的方向和伸缩系数。轴测投影的分类

（1）p=q=r：三个轴向伸缩系数相等，称为正（或斜）等轴测图，简称正（或斜）等测；（2）p=q≠r

或p=r≠q

或q=r≠p

：任意两个轴的伸缩系数相等，称为正（或斜）二等轴测图，简称正（或斜）二测；（3）p≠q≠r：三个轴的伸缩系数都不相等，称为正（或斜）三测轴测图，简称正（或斜）三测。

按三个轴向伸缩系数是否相等，分为：一、正等轴测投影第二节正轴测投影1.正等测的轴间角与伸缩系数正等测投影的条件是投射方向与轴测投影面垂直，三个坐标轴OX、OY、OZ

与轴测投影面倾斜而且倾角相等。轴间角与伸缩系数轴测轴的画法正等轴测投影

采用简化系数，画出的图形比原轴测投影大些，各轴向长度均放大，但形状并不改变，不影响立体感。理论轴向伸缩系数p=q=r=0.82简化系数p=q=r=12.平面体的正等测画法

画轴测投影的作图步骤（1）确定坐标轴；（2）画轴测轴；（3）用上述介绍的方法画轴测图；（4）擦去多余的图线，加深可见轮廓线，不可见轮廓线通常不画。

平面体的轴测投影，归结为作出其棱线的轴测投影。画平面体轴测投影的基本方法是坐标法。实际作图中，还应根据形体的不同特点而灵活采用其他不同的作图方法，如叠加法、切割法以及综合法等来简化作图。【例】已知正六棱柱的正投影图，画出其正等测图。

分析：对形体引入坐标系，确定形体上各顶点的坐标值，采用坐标法依次画出各顶点的轴测投影，然后连接各棱线就可以得到形体的轴测投影了。为了少画看不见的线或多余的线，作图时应尽量先从可见的面开始作图。o'y'z'x'ozxy5'7'6'8'6578【例】已知正六棱柱的正投影图，画出其正等测图。

12431'2'3'4'作图：（1）先在正投影图上定出原点和坐标轴的位置，并在水平投影图中确定坐标轴上的点1、2、3、4和六棱柱顶面正六边形的其余顶点5、6、7、8。o'y'z'x'ozxy5'7'6'8'6578【例】已知正六棱柱的正投影图，画出其正等测图。

12431'2'3'4'作图（坐标法）：（2）画出轴测轴，坐标法分别作出各点的轴测投影。并用直线连接各点完成顶面的轴测投影。ZpXpYpOpx1x1x1x11p2py1y1y1y14p3p7p5p6p8po'y'z'x'ozxy5'7'6'8'6578【例】已知正六棱柱的正投影图，画出其正等测图。

12431'2'3'4'作图（坐标法）

：（3）过顶面上的顶点作平行于OZ

的六条棱线，长度等于六棱柱的高度h，得底面上各点的轴测投影。ZpXpYpOp1p2p4p3p7p5p6p8phho'y'z'x'ozxy5'7'6'8'6578【例】已知正六棱柱的正投影图，画出其正等测图。

12431'2'3'4'作图（坐标法）

：（4）连接六棱柱底面各端点，并擦去不可见的棱线，完成轴测投影ZpXpYpOp1p2p4p3p7p5p6p8phh【例】已知组合体的正投影图，画出其正等测图。

作图（叠加法）：（1）先画底部底板的轴测图；XpZpYpOp111【例】已知组合体的正投影图，画出其正等测图。

作图（叠加法）

：（2）在底板上方的正中画中间板；【例】已知组合体的正投影图，画出其正等测图。

作图（叠加法）

：（3）在中间板上方的正中画柱；加粗可见轮廓线，完成全图。【例3】已知台阶的正投影图，画出其正等测图。

分析：台阶由左右两个完全相同的栏板和三个踏步组成，而踏步沿宽度方向断面形状不变，故可以采用端面法画图。65【例3】已知台阶的正投影图，画出其正等测图。

65X2X2X1YZZYX1X2X2作图（端面法）：（1）画左右拦板的轴测图；XpZpYpOp111【例3】已知台阶的正投影图，画出其正等测图。

65X2X2X1YZ作图（端面法）

：（2）画右栏板内侧踏步轮廓线的轴测图;ZYX1X2X2【例3】已知台阶的正投影图，画出其正等测图。

65X2X2X1YZ作图（端面法）

：（3）由右栏板内侧踏步轮廓线的端点画踏步线至左栏板，整理完成台阶的正等测图。ZYX1X2X2二、正二等轴测投影

正等测图画法简便，使用广泛。但在某些情况下，正等测图显得呆板，立体感不够强。此时可以改变空间物体定位坐标轴与轴测投影面的相对位置，使得三根坐标轴中只有两根轴与轴测投影面的倾角相等，因此这两根轴的伸缩系数相等，轴间角也只有两个相等，这样得到的正轴测投影图，称为正二等轴测投影，简称正二测。正二测图的画图方法和步骤与正等测图相同。1.正二测的轴间角与伸缩系数正二等轴测投影

采用正二测时，通常使OX

轴和OZ轴对轴测投影面的倾角相等，轴间角∠XpOpYp=∠YpOpZp=131°25'，∠XpOpZp=97°10'。理论伸缩系数

p=r=0.94，q=0.47，简化系数p=r=1和q=0.5。这时画出的正二测图比实际投影放大1.06倍。轴间角与变形系数轴测轴的画法圆的正轴测图在平行投影中，当圆所在的平面平行于投影面时，它的投影还是圆。在平行投影中，当圆所在的平面倾斜于投影面时，它的投影称为椭圆。四心椭圆的作法第三节斜轴测投影

当投射方向倾斜于轴测投影面时，得到的就是斜轴测投影。当两个坐标轴的轴向伸缩系数相同时，得到的投影称为斜二等轴测投影（简称斜二测），当三个坐标轴的轴向伸缩系数都相同时，所得到的投影称为斜三等轴测投影（简称斜等测）。

本节主要讨论工程上常用斜二测和水平斜等测的轴间角和伸缩系数以及画法。两种常见的斜轴测图水平斜轴测图正面斜轴测图1.正面斜二测的轴间角与伸缩系数一、正面斜二测投影

正面斜二测图的正面反映实形，XOZ坐标平面平行于轴测投影面，轴间角∠XpOpZp=90°，轴向变形系数p=r=1。q=0.5。一般使OpYp与水平线成45°，方向可左可右，通常选轴间角∠XpOpYp=∠YpOpZp=135°。轴间角与变形系数轴测轴的画法1.水平斜等测的轴间角与伸缩系数二、水平斜等测投影

水平斜等测图的水平面反映实形，XOY坐标平面平行于轴测投影面。轴间角∠XpOpYp=90°，轴向伸缩系数p=q=r=1。一般使OZ竖直向上，OX与水平线成30°、45°或60°，可根据具体情况而定。轴间角与变形系数轴测轴的画法2.平面体的水平斜等测画法

水平斜等轴测图适宜绘制一幢房屋的水平剖面或一个场区的总体布置，它可以反映出房屋内部的布置情况，或一个区域中各建筑物、道路，设施等的平面位置及相互关系，以及建筑物和设施等的实际高度。画图方法和步骤与正轴测图相同。【例】已知房屋的正投影图，画出其水平斜等轴测。分析：用水平剖切平面剖切房屋后，将下半截房屋画成水平斜等轴测图。平面图形状和大小均不变，只是为了有较好的立体感，需要转个角度。【例】已知房屋的正投影图，画出其水平斜等轴测。作图：（1）将平面图中的断面部分旋转30°；【例】已知房屋的正投影图，画出其水平斜等轴测。作图：（2）从旋转后的断面图的墙角向下画出墙角线、门洞和柱子，长度为Z，并画出房间内外地面线、窗洞和窗台；Z1Z2【例】已知房屋的正投影图，画出其水平斜等轴测。作图：（3）根据Z3

画出室外地面线、勒脚线和台阶，然后用不同粗细的图线加深轮廓线，完成全图。Z3【例】已知建筑群的正投影图，画出其水平斜等轴测。分析：在水平斜等测图中，水平投影的轴测图反映实形。可先作水平投影的轴测图，然后升高水平投影画出顶面。【例】已知建筑群的正投影图，画出其水平斜等轴测。作图：（1）将平面图旋转30°；【例】已知建筑群的正投影图，画出其水平斜等轴测。作图：（2）测量各建筑物的高度，画出各建筑物的屋顶；【例】已知建筑群的正投影图，画出其水平斜等轴测。作图：（3）整理，完成作图。第四节轴测投影的选择及注意事项一、各种轴测投影的特点及应用

二、各种轴测投影的特点及应用

一、各种轴测投影的特点及应用

1、正等测的轴间角相等，各轴的轴向变形系数均为1。适合画三个方向都有圆的较复杂的物体的轴测图，或具有水平或侧平圆的立体。但正方形构成的物体，或在正投影图中，物体有和水平方向成45°的表面，就不应采用正等测图。因为这种方向的平面在轴测图上积聚为一条直线，平面就显示不出来，削弱了图形的立体感。2、正二等轴测投影的直观性和立体感最好。但由于各轴间角不等，轴测轴不容易画，而且其