学业水平考试模拟试卷三

学业水平考试模拟试卷(三)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．若纯虚数z满足(1－i)z＝1＋ai，则实数a等于()A．0B．－1或1C．－1D．解析：(1－i)z＝1＋ai⇒z＝eq\f(1＋ai,1－i)＝eq\f(1,2)(1－a)＋eq\f(1,2)(a＋1)i，∵z为纯虚数，∴有1－a＝0且a＋1≠0，则a＝1且a≠－1，故本题的正确选项为D.答案：D2．已知集合A＝{1，2}，集合B满足A∪B＝{1，2，3}，则集合B有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵A∪B＝{1，2，3}，A＝{1，2}，∴集合B中应含有元素3，故集合B可以为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，故选D.答案：D3．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0，1) B．[0，1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：要使函数有意义，需满足x2－x>0，解得x<0或x>1，故选C.答案：C4．已知x，y的可行域如图阴影所示，z＝mx＋y(m>0)在该区域内取得最小值的最优解有无数个，则实数m的值为()A．－eq\f(7,4)\f(4,7)\f(1,2)D．2解析：由题意知y＝－mx＋z(m>0)，欲使目标函数在可行域内取得最小值的最优解有无数个，则需要－m＝kAC＝eq\f(1－3,2－1)＝－2，∴m＝2，因此选D.答案：D5．设α，β是两个平面，l，m是两条直线，下列命题中，可判断α∥β的是()A．l⊂α，m⊂α且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β且m∥αC．l∥α，m∥β且l∥mD．l⊥α，m⊥β且l∥m解析：选项A，只有当l与m相交时，才有α∥β；选项B，当m∥α时，α与β还可能相交；选项C，α与β也可能相交；选项D，结合线面垂直的性质及面面平行的判定可知正确．答案：D6．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．与x有关解析：M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，∴M>N.答案：A7．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差数列，则eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝()\r(2)B．3－2eq\r(2)C．3＋2eq\r(2)\r(3)解析：a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，解得q＝1＋eq\r(2)，eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝q2＝(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2).答案：C8．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是()A．(－1，0) B．(－∞，0)∪(1，2)C．(1，2) D．(0，2)解析：根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图，把函数f(x)的图象向右平移1个单位，得到函数f(x－1)的图象，如图，则不等式f(x－1)＜0的解集为(0，2)．答案：D9．如果cos(π＋A)＝－eq\f(1,2)，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＝()A．－eq\f(1,2)\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(2),2)解析：∵cos(α＋A)＝－cosA＝－eq\f(1,2)，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋A))＝cosA＝eq\f(1,2).答案：B10．过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．－4D．－eq\f(1,16)解析：由y＝2x2得x2＝eq\f(1,2)y，其焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，取直线y＝eq\f(1,8)，则其与y＝2x2交于Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,8)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,8)))，∴x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝－eq\f(1,16).答案：D11．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离 B．相切C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心解析：∵x2＋y2＝2的圆心(0，0)到直线y＝kx＋1的距离d＝eq\f(|0－0＋1|,\r(1＋k2))＝eq\f(1,\r(1＋k2))≤1，又∵r＝eq\r(2)，∴0<d<r，∴直线与圆相交但直线不过圆心．答案：C12．“对x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解”等价于()A．存在x∈R，使得f(x)>0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．任意x∈R，f(x)>0成立D．任意x∈R，f(x)≤0成立解析：“对x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是存在x∈R，使得f(x)>0成立，故选A.答案：A13．设F为抛物线C∶y2＝4x的焦点，曲线y＝eq\f(k,x)(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2解析：F(1，0)，又∵曲线y＝eq\f(k,x)(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴eq\f(k,1)＝2，∴k＝2.答案：D14．函数f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))的最大值为()A．4B．5C．6D．7解析：∵f(x)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(11,2)，而sinx∈[－1，1]，∴当sinx＝1时，取最大值5，选B.答案：B15．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97解析：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a1＋36d＝27，,a1＋9d＝8，))所以a1＝－1，d＝1，a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝________．解析：∵cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，且A，C为三角形内角，∴sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13).sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(63,65)，又∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13).答案：eq\f(21,13)17．已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解析：由题f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)，根据基本不等式4x＋eq\f(a,x)≥4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)时取等号，而由题知当x＝3时取得最小值，即a＝36.答案：3618．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为__________解析：设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，所以BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.答案：4019．在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．解析：直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，d＝eq\f(|5k|,\r(1＋k2))＜3，解得－eq\f(3,4)＜k＜eq\f(3,4)，而k∈[－1，1]，所以发生的概率eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cosB＝eq\f(3,5).(1)求b的值；(2)求sinC的值．解：(1)∵b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋25－2×2×5×eq\f(3,5)＝17，∴b＝eq\r(17).(2)∵cosB＝eq\f(3,5)，∴sinB＝eq\f(4,5)，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(\r(17),\f(4,5))＝eq\f(5,sinC)，∴sinC＝eq\f(4\r(17),17).21.(12分)在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V­ABC的体积．(1)证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.又∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB