高考数学命题热点名师解密专题(04)函数的零点与方程的根(理)

专04函的点方的的题法本题别意一．命类型：零点与数解；二分法分段函的零点；零点范问题；零点个问题；零点与数；零点与图；二次函零点分布问；抽象函零点问题；复合函零点问题；函数零与导数；零点有的创新试题二学目】．合次数图，解数零与程的系判根的在与的数．用数零求参的值围【识点．数零(1)函数点定对函＝f(x)，们使_的实x做数＝()的点方f(x＝有数⇔数y＝(x的图与轴有交⇔函数y＝f)有_．函零的定如函＝f(x)在间a，上的图是的一曲，且____________，那么函y＝)在间_________有点即在c∈(a)，使得fc)＝0，个也就是程f(x)＝0的根．次数y＝f(x)＝ax＋＋(a零点分布根分(mnp为常数

图

满条1b1b11121b1b1112<x<<

－<af（）>0－>af（）>0<mx

2

f(<<

b－naf（）>0f（）>0<n<只一在(m，)之间

（）>0）f（）＝－<na或fm(n（）

零点与解；例1．已函f(x)在间，a)上唯的点a>0)在二法找点过中依确了点在区为，，，下说中确是(A．数f(x)区间C．数f(x)

内定零内零

．数f(x)在区间D．数f(x)区间

或或

内零，零是内零【案B【析根据二分法原理，依二区后零点应存在于更小的区间函数在区间

内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外

之内，C.函在

内无零点是不确定的函数f(x)在间

或

内有零点也是不确定的点应在

或中或）＝这个是有可能的。故答案为B。点睛：本题主要考查二分法的定义，属于基础题．已经知道零点所在区间，根据二分法原理，次“二区间，零点应存在于更小的区间，而不是更大的区间。这样就可以断定ACD是误的。故可以得到结论。练1.河定2019模拟设数范是）

，存唯的数，得，则的取值A．

．

C．

．【案D【析当直线令，函数

在

上为减函数，在

上为增函数，当

时，取得极小值为

，时，，

时，

，若存在唯一的整数，得，，需解得：，D.练已知数（x）是义R上的函，＞时（x）﹣﹣，当x≤0时，不式（）≥0整数的数（）A．．3C．D．【案A【析由数为奇函数可知当x≤0，不等式f（x）整数解的个数与

x

时

f

的个数相同，由奇函数可知

f

，由

得，以整数解为，，所以满足题意要求的整数点有个（二）分法；例2．下关二法叙中，确是

()．二法求有数点近值．二法方的似时可精到数后任位．分无律循无在算上成．能二法函的点【案B【析用分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错．故选B练已知数，设，F)

的点在间(,b)内其a,b，则Fx

的小数为）A．

．

0

C．

D．【答案】D考点：函数图象平移与零.【思路点晴本主要考查函数图象变换和零点与二分法的知由于所函

F

的图像是有函数

f

的图像向左平移

4

个单位所得.于

F

零点都在某个区间上，所以函数

f

的零点也在某个区间上利用二分法的知识，计算

的值，，且

f

'

函数递增，有唯一零点在区间

，左移4个位就是

（三）段函数的零；例3.已知数的数，则a的值围

，关的程

有8个等A．

1

．

C

D（2,

）【案D【析函，图象如图：关于

x

的方程

有不等的实数根，

f

必须有两个不相等的实数根，由函数

f

图象可知，方程

化为：，a

t

，开口向下，对称轴为：t

，可知：

的最大值为：，a的小值为2，a

，故选练1函A．B．2C．D．【案B

的点数（）【析由（四）点范围问题

得零点个数为选B.例哈中模拟函且，的值围（）．．．【案B【析由意，则画出函数的大致图象：由图得当时,方程f)=恰有三个根

D．

若程

恰有个由由图知点

得

由与点

得关于直线

，对称，点

与点

关于直线

对称，∴

则

，即

的取值范围[

)，练已知数x则的值围（）1

且存在同实

使得，A．C．

．．

【案A【析函，画出

f

的图象如图所示，作出直线，1

时，直线与

f

图象有三个交点标小到大xxx12

，则有

1

，令

2

x

，得到，即有

，令

，

t

，，越其值越大；

，越其值越大，则有，故选A（五）点个数问题例5【北模】义上的奇数

f

满①，③x

时

，函

的点数（）A．B．4C．D．【案【析由①②可知,fx)周期为2的奇函数又x∈[0,1]时可得函数()在R上图象如，

，由图可知函数=()的点个数为6个，本题选择选项点睛：函数零点的求解与判断：直接求零点：令(x)＝0如果能求出解，则有几个解就有几个零点．零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区b]上是连续不断的曲线，且fa)·f(b)，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有个不同的值，就有几个不同的零点．练关于方

有个同数，实a取范是（）A．

．

C．3)D．

【答案】B【解析】即为x2

x

，设

导数

，当

x

时

在1,+∞)递；当x0,

或

0

时,

在∞,0),(0,1)递。可得

f

在

处取得极小值3，作出

yf

的图象，由题意可得当时直线与f有个交点。即有原方程有三个不同实数则a的围是

练习2．已知函数，用

示mn中最小值，，函A．B．2C．D．【案

的点数（）【析

由题意，作h示，由图象，得函数的零点有三个：

,e,3；故选C.APAP（六）点与参数；【2019南昌模】线

与线

有个点，数

的值围A．

．

C．

．【案A【析

可化为x2+（﹣1）2，≥1所以曲线为以，1为圆心，为半径的圆部分．直线y=k（x﹣2+4过定点（，4图，当直线经过A（﹣，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．且k=

5，由直线与圆相切得，得k=，12则实数k的值范围为

3

，故选B．点睛：先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的值范围．练1．知

f

，满

的有个1111则

f

x

的值围()A．

．

C．

f

D．x

【案A点睛：本题考查复合函数，换元设内外层函数，找到内外层的对应关系；练2若程

有于2的根则数的值范是）A．

．

．

D．【案【析问等价于方程

在

有解，而函数

在

上递增，值域为，所以k的值范围是

，故选C.练3方

在间则数a取值围（）A．

．．

D．

【案【析由方程故方程

有解，设它的两个解分别为，x，x=，在区间1上有唯一解。设f)=

x

ax

，则有ff，−0，解得：

a1，故选：C.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等确定参数范围；11111111211分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解（七）点与框图；例二分是方近解一方，原是一分为、限近．执行图示程框，输，则出n的（）A．4

．

5

C．

6

D．

7【案B【析模程序的运行，可得=1,x，d=0.1，令f)=x22,f−1<0,，mf(1.5)=0.25>0,足条件f(m)fx=1.5此时|1.5，不合精确度要求。=1.25,f−0.4375<0.不足条件f()f)<0,，此时|1.5−1.25|=0.25>0.05，合精确度要求。=1.375,f不足条件f(mf(x)<0,x=1.375此时|1.5−1.375|=0.125>0.05，不合精确度要求。=1.375,f(1.4375)=0.066>0.满条件f(mfxx，时1.5，合精确度要求。f(1.40625)=0.066<0.足条件f)fx)<0,，此时1.5，合精,55,55确度要求。退出循环，输出n的为5.本题选择B选点睛：二分法是一种求方程近似解的常用方法。二分法求方程的近似解的步骤：定区间，找中点，中值计算两边.号去，异号算，零点落在异号.而复始怎么办?精度上来判断。练执行图序图若出，输的为（）A．

或

或．

C．

或D．【案【析由当

时，

,

时，

,上

.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求（八）次函数零点布问题例8.于x的程值围（）

的个根别区

取A．

31

．

15

C．

,

1D,,5,5【案A【析令f（=x+（x+3a+b+1由题意可得f（03a+b+1＜…①f）4a+3b+2＞0…②f（）＝2a＞③．画出不等式组表示的可行域，令目标函数，如图所示：由

求得点A

,

，由，得点

,

．当直线经点A时，

3；当直线z=a+b过点时，5故z=a+b的围为

31练1已关于的程（）A．-1B．C．1D．2【案B【析∵于x的元二次方程∴k，≠1

有个相的数，k可的大数为有两个不相等的实数根，，∵方程有两个不相等的实数解，∴eq\o\ac(△,)，∴，∴k

，∴k的值范围是k

且k≠1.k

可取的最大整数值为故选B.点睛一二次方程时先求二次项的系数不能为0次据判别式和关系可得方程根的个数，当V时方程有两个相等实根；当V，方程无解；当V，方程有两个不等实（九）象函数零点题；例92019河名模已函

，x(0,1]时，f()

，在区

(内

有个同零，实

t

的值围（）A．

．

1(0,)2

C

[

1,0)D．]2【答案】D【析由意可知函数

f

上的解析式为

由可得

所要使方程由两个不同的零即

f

得图象与直线

有两个不同的交点，作出它们的图象，可知斜率

1t(0,]2

，故选D.考点：根的存在性与根个数的判【方法点睛】本题主要考查了函数的零点及方程根个数的判断，考查了数形结合的数学思想，于中档.本题解答时，首先根据

f上解析式，求出

f

上的解析式，从而作出分段函数f范围.

的图象，把函数的零点问题转化为两个基本初等函数的交点个数问题，结合参数t的几何意义求得其练已知数

f

满：定域

R；②R

，有；当

时，方

在间

是）A．．C．D．8【答案】A【析画函数图象如下图所示，由图可知，共有5个.考点：函数的图象与性质.（十）合函数零点题；的函数例10.【广西2019模拟】设定义为有7个同实解则

（）

若关于

的方A．B．4或C6或D【案D【析试题分析图可知方程

有两个不等实根中根为4另一根在

；由

，又当

时，另

一根为1满足题意；当时，另一根为，不满足题意；所以选D.考点：函数与方程【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求.分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求练函数

的义为数，

，于意

都，若区A．

内数．

C．

恰三不的点则数的值围（）．【案D练已知数A．B．3C．D．【案D

，程，，则程根个是）【析因为结合图象可知，

，所以有两个不同的根，

或

，

，作函数的图象如图，有三个不同的根，且个都不相同，故方程的根的个数是，选D．考点：分段函数图象与性质．【思路点晴】本题主要考查分段函数的图象与性质，由于，所以

或，函数

的图象根图象可知

有两个不同的根，，

有三个不同的根，合起来就一共有个同的实根．对于函数根的问题，往往转化为函数图象和值域来求解，有时候也转化为两个函数交点来求解．（十一函数零点与数；例11.知

f

为上的续导数当x≠0，函

的点数（）A．B．2C．D．或【案【析试题分析：∵当

x≠0时，，，要求关于x的方程的根的个数可转化成

的根的个数，令

当时，即

F0

，∴

即，F（x）（0，）上单调递；当x＜0时（-，）单调递减而上连续可导的函数∴

无实数根，故选C．考点：导数的运算2.根的存在性及根的个数判断．练习1．若函

f(x

为定义在

上的连续函数且

对

恒成立，则程的根数（）A．．C．D【案A【析

x

时，对

两边乘以

得

，即

单调递增，由于函数为奇函数，所以

f

为偶函数，图象关于

y

轴对称，所以当

时，函数

f

是单调递减，且时函数值为，由此可知

f

，故

没有实数根.练定义R上可函

ff续，当x时

，函A.2【答案】B

的点个为）B.或2【析于函数，得

x

，因而

g

的零点跟

xg

的非零零点是完全一样的，所以化为函

的零，由当x时，）x时，，所以在区间

上，函数

xg

单调递增函数，当x0

时，

f

，所以在

上，函数

恒成立，因此在

上，函数

没有零点时，

以数在区间

上，函数

单调递减函数，

恒成立，因此在

上，函数

xg

没有零点，（十二零点有关的新试题例12.【天门拟定义如果数

在

上在，

满

，，称数

是

上“双值数，已知数

是

上“双值数，则数a的取值围A．

．

C．

D．【案【析由得：

是

上的双值函数”，等价于在上有两个不同的实数解故选点睛：首先要读懂新定义“双值函数根据新定义可得问题等价于个不同的实数解是解题关键

则

解之得在

上有两练习已知f

是义在R上，满足在间函

当x上零个数

时，．．【案B【析由

C．

D