2017高考数学 三角函数大题综合训练

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三角函数大题综合训练

一．解答题（共30小题）

1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分不是a、b、c，已知

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．

4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分不是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．

5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

7．（2015?新课标I）已知a，b，c分不是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

9．（2015?新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分不为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是对于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

12．（2015?河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分不为a，b，c，满脚（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

（Ⅰ）求B．

（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．

13．（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

14．（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分不为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

15．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值．

16．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

17．（2015?怀化一模）已知a，b，c分不为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．

（1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

18．（2015?甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，且，求a和c的值．

19．（2015?衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．

（1）当时，求函数f（x）的值域；

（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．

20．（2015?潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．

（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分不为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=

（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

21．（2015?济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），

函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分不为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．

22．（2015?和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分不为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．

（1）求cosB的值；

（2）求sin2A+sinC的值．

23．（2015?洛阳三模）在锐角△ABC中，=

（1）求角A；

（2）若a=，求bc的取值范围．

24．（2015?河北区一模）在△ABC中，a，b，c分不是角A，B，C的对边，且

2cosAcosC+1=2sinAsinC．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．

25．（2015?云南一模）在△ABC中，a，b，c分不是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，

sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若

（1）求A的大小；

（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此刻B的值．26．（2015?历下区校级四模）已知向量，，

若．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分不为a、b、c，且a=3，

（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

27．（2015?高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分不为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，

（1）求A的大小；

（2）若a=6，求b+c的取值范围．

28．（2015?威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分不为a，b，c，，

sin（B﹣A）=cosC．

（Ⅰ）求A，B，C；

（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．

29．（2015?新津县校级模拟）已知向量

，函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求△ABC的面积．

30．（2015?和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，

BC=5．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．

三角函数大题综合训练

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，依照sinA别为0求出cosC的值，即可确定出C

的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本别等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此刻a与b的值即可．

【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，

∴由正弦定理化简已知等式得：=，

整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosC=﹣，

∵C为三角形内角，

∴C=；

（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，

∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，

∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），

∵S=absinC=ab≤，

∴当a=b时，△ABC面积最大为，此刻a=b=，

则当a=b=时，△ABC的面积最大为．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本别等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分不是a、b、c，已知

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简

3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到cosA的值，即可求解A．

（II）经过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．

【解答】解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得

2cos2A+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．

解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

因为0＜A＜π，因此A=．﹣﹣﹣﹣（6分）

（II）由S=bcsinA=bc?=bc=5，得bc=20．

又b=5，因此c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=．﹣﹣﹣（10分）

又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=?sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．

3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的

值．

【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

【专题】转化思想；综合法；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合．

（Ⅱ）由条件求得cos（2C+）=﹣，C=，求出sinB的值，再依照sinA=sin（B+C）求得它的值．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）

=﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+），

故函数取得最大值为，此刻，2x+=2kπ时，即x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣，

∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=．∵cosB=，∴sinB=，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．

【点评】本题要紧考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．

4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分不是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．

【考点】余弦定理；三角形的面积公式．

【专题】解三角形．

【分析】（1）利用余弦定理，可求角C的值；

（2）利用三角形的面积公式，可求a的值．

【解答】解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，

∵0°＜C＜180°，∴C=60°；

（2）∵b=2，△ABC的面积，

∴=，

解得a=3．

【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键．

5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

【考点】余弦定理的应用；正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；

（Ⅱ）利用余弦定理求出AC，经过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．

【解答】（共13分）

解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，，

因此．…（3分）

因为∠D∈（0，π），

因此．…（5分）

因为AD=1，CD=3，

因此△ACD的面积．…（7分）

（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD=12．

因此．…（9分）

因为，，…（11分）

因此．

因此AB=4．…（13分）

【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．

6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．

【专题】解三角形．

【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；

②利用正弦定明白之．

【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c已知cosB=，

sin（A+B）=，ac=2，因此sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，

因此sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，

得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，

解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；

②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，

因此a=2c，又ac=2，因此c=1．

【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．

7．（2015?新课标I）已知a，b，c分不是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，

由正弦定理可得：＞0，

代入可得（bk）2=2ak?ck，

∴b2=2ac，

∵a=b，∴a=2c，

由余弦定理可得：cosB===．

（II）由（I）可得：b2=2ac，

∵B=90°，且a=，

∴a2+c2=2ac，解得a=c=．

∴S△ABC==1．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为