第9讲　分层演练直击高考

第页1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了以下一组实验数据，现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x解析：选B．由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，应选B．2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，那么该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的选项是()解析：选A．前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，应选A．3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．5.2 B．6.6C．7.1 D．8.3解析：选B．设这种放射性元素的半衰期是x年，那么(1－10%)x＝eq\f(1,2)，化简得0.9x＝eq\f(1,2)，即x＝log0.9eq\f(1,2)＝eq\f(lg\f(1,2),lg0.9)＝eq\f(－lg2,2lg3－1)＝eq\f(－0.3010,2×0.4771－1)≈6.6(年)．应选B．4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的，超过局部加倍收费．某职工某月缴水费16m元，那么该职工这个月实际用水为()A．13m3 B．14m3C．18m3 D．26m3解析：选A．设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx(0<x≤10)，,10m＋(x－10)·2m(x>10)，))那么10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影局部)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：选A．由三角形相似得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20).得x＝eq\f(5,4)(24－y)，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意．6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2016年5月1日12350002016年5月15日4835600注：“累计里程〞指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35600－35000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过局部按每千米2.15元收费；超过8km时，超过局部按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，那么此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶xkm时，付费y元，那么y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9，0＜x≤3，,8＋2.15(x－3)＋1，3＜x≤8，,8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1，x＞8，,))由y＝22.6，解得x＝9.答案：98．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，那么此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，那么9＝lgA1－lgA0＝lgeq\f(A1,A0)，那么eq\f(A1,A0)＝109，5＝lgA2－lgA0＝lgeq\f(A2,A0)，那么eq\f(A2,A0)＝105，所以eq\f(A1,A2)＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．答案：6100009．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如下图的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－a)，t＞1，))当t＝1时，由y＝4得k＝4，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－a)＝4得a＝3.所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t＞1.))(2)由y≥0.25得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤t≤1，,4t≥0.25))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)≥0.25，))解得eq\f(1,16)≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－eq\f(1,16)＝eq\f(79,16)(小时)．10．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120eq\r(6t)吨(0≤t≤24)，(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2)假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．解：(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，那么y＝400＋60t－120eq\r(6t)；令eq\r(6t)＝x，那么x2＝6t，即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池存水量最少，只有40吨．(2)令400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，解得4<x<8，即4<eq\r(6t)<8，eq\f(8,3)<t<eq\f(32,3).因为eq\f(32,3)－eq\f(8,3)＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．假设该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，那么该食品在33℃的保鲜时间是()A．16小时 B．20小时C．24小时 D．28小时解析：选C．由得192＝eb，①48＝e22k＋b＝e22k·eb，②将①代入②得e22k＝eq\f(1,4)，那么e11k＝eq\f(1,2)，当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×192＝24，所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时．应选C．2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，那么每天获得利润最大时生产产品的档次是()A．7 B．8C．9 D．10解析：选C．由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N*)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C．3．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，那么甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：因为m＝6.5，所以[m]＝6，那么f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.244．某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，假设该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，那么能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，那么在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,2)))eq\s\up12(2)＋0.1×eq\f(212,4)＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：435．(2023·山西孝义模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，假设每辆自行车的日租金不超过6元，那么自行车可以全部租出；假设超过6元，那么每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115.令50x－115>0，解得x>2.3.因为x∈N*，所以3≤x≤6，x∈N*.当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－115>0，有3x2－68x＋115<0.又x∈N*，所以6<x≤20(x∈N*)，故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，,－3x2＋68x－115(6<x≤20，x∈N*).))(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x＝6时，ymax＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(811,3)(6<x≤20，x∈N*)，当x＝11时，ymax＝270.又因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．6．(2023·辽宁抚顺一模)食品平安问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4eq\r(2a)，Q＝eq\f(1,4)a＋120，设甲大棚的投入为x(单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，那么乙大棚投入150万元，所以f(50)＝80＋4eq\r(2×50)＋eq\f(1,4)×150＋120＝277.5(万元)．(2)f(x)＝80＋4eq\r(2x)＋eq\f(1,4)(200－x)＋120＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250