（浙江专用）2023年高考数学总复习第十章计数原理、概率第4讲随机事件的概率学案

PAGE1-第4讲随机事件的概率最新考纲1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.知识梳理1.频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率.2.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，那么事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系假设B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)假设某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)假设某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，那么称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件假设A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件假设A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝13.概率的几个根本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).②假设事件B与事件A互为对立事件，那么P(A)＝1－P(B).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()(3)假设随机事件A发生的概率为P(A)，那么0≤P(A)≤1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，那么甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，那么：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为()A.① B.②C.③ D.④解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生.∴②中两事件是对立事件.答案B3.(2022·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲获胜的概率是eq\f(1,3)，那么甲不输的概率为()A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,3)解析设“两人下成和棋〞为事件A，“甲获胜〞为事件B.事件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).答案A4.(2022·威海模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，那么从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________.解析由题意知，所求概率P＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).答案eq\f(17,35)5.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.40和0.35，那么黑球共有________个.解析任取一球是黑球的概率为1－(0.40＋0.35)＝0.25，∴黑球有100×0.25＝25(个).答案256.(2022·绍兴一中检测)口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球的概率为________；是白球的概率为________.解析设摸出红球的概率是P(A)，摸出黄球的概率是P(B)，摸出白球的概率是P(C)，∴P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9，∴P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6，P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1.答案0.10.6考点一随机事件间的关系【例1】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.① B.②④C.③ D.①③解析从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.其中“至少有一个是奇数〞包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件.又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件.答案C规律方法(1)此题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念.①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.【训练1】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色〞，B＝“取出的2球中至少有1个黄球〞，C＝“取出的2球至少有1个白球〞，D＝“取出的2球不同色〞，E＝“取出的2球中至多有1个白球〞.以下判断中正确的序号为________.①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C).解析当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确.当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，那么③不正确.显然A与D是对立事件，①正确；C∪E不一定为必然事件，P(C∪E)≤1，④不正确.由于P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，所以⑤不正确.答案①考点二随机事件的频率与概率【例2】(2022·全国Ⅱ卷)某险种的根本保费为a(单位：元)，继续购置该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a1.251.51.752随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于根本保费〞，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于根本保费但不高于根本保费的160%〞，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85a1.251.51.752频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a规律方法(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.【训练2】(2022·北京卷)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购置甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√〞表示购置，“×〞表示未购置.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购置乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购置3种商品的概率；(3)如果顾客购置了甲，那么该顾客同时购置乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购置了乙和丙，所以顾客同时购置乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购置了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购置了甲、乙、丙，其他顾客最多购置了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购置3种商品的概率可以估计为eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购置甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2，顾客同时购置甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购置甲和丁的概率可以估计为eq\f(100,1000)＝0.1.所以，如果顾客购置了甲，那么该顾客同时购置丙的可能性最大.考点三互斥事件与对立事件的概率【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).解(1)由得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟).(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟〞，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟〞、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟〞、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟〞.将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4).因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3彼此是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).规律方法(1)①求解此题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用概率的事件表示出来.②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否那么会计算错误.(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解.当题目涉及“至多〞、“至少〞型问题，多考虑间接法.【训练3】某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分别为eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖〞这个事件为M，那么M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖〞为事件N，那么事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖〞为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).[思想方法]1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).2.对立事件不仅