2023年高考数学（四海八荒易错集）专题12空间平行与垂直理

PAGEPAGE18专题12空间平行与垂直1．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有以下四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案a或2a整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.3．如图，正方形BCDE的边长为a，AB＝eq\r(3)BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是eq\r(2)；②AB∥CE；③VB—ACE是eq\f(1,6)a3；④平面ABC⊥平面ADC.其中正确的选项是________．(填写你认为正确的序号)答案①③④解析作出折叠后的几何体的直观图如下图：∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACEF；(2)当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．(1)证明∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120°，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF.(2)解当FM＝eq\f(\r(3),3)a时，AM∥平面BDE.证明如下：设AC∩BD＝N，连接EN，如图．∴当FM＝eq\f(\r(3),3)a时，AM∥平面BDE.5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.6．如图1，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)假设BP＝BE，点K为棱A1F的中点，那么在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，假设存在，请给予证明；假设不存在，请说明理由．(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.图1因为EF∩EB＝E，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．理由如下：如图1，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图2，取A1P的中点M，连接MK，图2易错起源1、空间线面位置关系的判定例1、(1)假设直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，那么以下命题正确的选项是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)关于空间两条直线a、b和平面α，以下命题正确的选项是()A．假设a∥b，b⊂α，那么a∥αB．假设a∥α，b⊂α，那么a∥bC．假设a∥α，b∥α，那么a∥bD．假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b答案(1)D(2)D解析(1)假设l与l1，l2都不相交，那么l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，应选D.【变式探究】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出以下四个命题：①假设m∥n，m⊥β，那么n⊥β；②假设m∥α，m∥β，那么α∥β；③假设m∥n，m∥β，那么n∥β；④假设m∥α，m⊥β，那么α⊥β.其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B【名师点睛】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的根本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．【锦囊妙计，战胜自我】空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．易错起源2、空间平行、垂直关系的证明例2、如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．(1)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.(3)解如图，取CD的中点E，连接AE和PE.所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥C—PDA＝V三棱锥P—ACD，所以eq\f(1,3)S△PDA·h＝eq\f(1,3)S△ACD·PE，即h＝eq\f(S△ACD·PE,S△PDA)＝eq\f(\f(1,2)×3×6×\r(7),\f(1,2)×3×4)＝eq\f(3\r(7),2)，所以点C到平面PDA的距离是eq\f(3\r(7),2).【变式探究】如图，在四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE＝2ED.(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；(2)求证：PB∥平面AEC.因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO，所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED，所以OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.【名师点睛】垂直、平行关系的根底是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.【锦囊妙计，战胜自我】空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．易错起源3、平面图形的折叠问题例3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝eq\r(10).(1)求证：BD⊥PA；(2)求四棱锥P—BFED的体积．(1)证明∵点E，F分别是边CD，CE的中点，(2)解设AO∩BD＝H.连接BO，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝4，BH＝2，HA＝2eq\r(3)，HO＝PO＝eq\r(3)，在Rt△BHO中，BO＝eq\r(BH2＋HO2)＝eq\r(7)，在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO.∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，梯形BFED的面积S＝eq\f(1,2)(EF＋BD)·HO＝3eq\r(3)，∴四棱锥P—BFED的体积V＝eq\f(1,3)S·PO＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×eq\r(3)＝3.【变式探究】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B—AD—C，如图2.(1)证明：平面ABD⊥平面BCD；(2)设点E为BC的中点，BD＝2，求异面直线AE和BD所成的角的大小．所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角．连接AF，DE，由BD＝2，那么EF＝1，AD＝2eq\r(3)，CD＝6，DF＝3.在Rt△ADF中，AF＝eq\r(AD2＋DF2)＝eq\r(21).在△BCD中，由题设∠BDC＝60°，那么BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝28，即BC＝2eq\r(7)，从而BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(7)，cos∠CBD＝eq\f(BD2＋BC2－CD2,2BD·BC)＝－eq\f(1,2\r(7))，【名师点睛】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．【锦囊妙计，战胜自我】平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．1．l1，l2表示空间中的两条直线，假设p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，那么()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案A解析由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇏p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．应选A.2．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，那么“l⊥a，l⊥b〞是“l⊥α〞的()A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析假设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，a∥b，那么l可以与3．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，那么以下命题中不正确的选项是()A．假设m⊂α，n∥α，那么n∥mB．假设m⊂α，m⊥β，那么α⊥βC．假设n⊥α，n⊥β，那么α∥βD．假设m⊂α，n⊥α，那么m⊥n答案A解析A中，假设m⊂α，n∥α，那么n∥m或m，n异面．故不正确；B，C，D均正确．应选A.4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交成60°角 D．异面且成60°角答案D解析如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.那么在三棱锥A－BCD中，以下命题正确的选项是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC答案D6．如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，假设eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，那么直线MN与平面BDC的位置关系是________．答案平行解析由eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，得MN∥BD.而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，所以MN∥平面BDC.7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，那么以下结论中正确的选项是________．(填序号)①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E－ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.答案①②③解析因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，那么VE－ABC＝eq\f(1,6)V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．