（全国通用）2023届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积学案

PAGEPAGE16§5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1．向量的夹角两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，那么数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．那么(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)假设a＝(x，y)，那么|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A，B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)假设a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，那么cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).知识拓展1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2题组一思考辨析1．判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(×)(5)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)(6)假设a·b>0，那么a和b的夹角为锐角；假设a·b<0，那么a和b的夹角为钝角．(×)题组二教材改编2．[P105例4]向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，那么k＝________.答案12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．[P106T3]|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，那么向量b在向量a方向上的投影为________．答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三易错自纠4．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b答案eq\f(5,2)解析a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，那么m＝－eq\f(1,2)，所以a·b＝－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq\f(5,2).5．点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为________．答案eq\f(3\r(2),2)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5,5)，由定义知，eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).6．△ABC的三边长均为1，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，那么a·b＋b·c＋a·c＝________.答案－eq\f(3,2)解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，∴a·b＋b·c＋a·c＝－eq\f(3,2).题型一平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD为平行四边形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，假设点M，N满足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，那么eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A．20B.15C．9D．6答案C解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(4eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\f(1,12)(4eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,48)(16eq\o(AB,\s\up6(→))2－9eq\o(AD,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,48)(16×62－9×42)＝9，应选C.2.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，那么eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为()A．－eq\f(5,8) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(11,8)答案B解析由条件可知eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2.因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，∠BAC＝60°，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,8)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当向量的坐标时，可利用坐标法求解，即假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模典例(1)(2022·湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，那么|3a＋bA．13＋6eq\r(2) B．2eq\r(5)C.eq\r(30) D.eq\r(34)答案D解析依题意得|a|＝eq\r(2)，a·b＝eq\r(2)×2×cos45°＝2，∴|3a＋b|＝eq\r(3a＋b2)＝eq\r(9a2＋6a·b＋b2)＝eq\r(18＋12＋4)＝eq\r(34)，应选D.(2)(2022·衡水调研)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，那么|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为________．答案5解析建立平面直角坐标系如下图，那么A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，那么B(1，b)，那么eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(25＋3b－4y2)(0≤y≤b)．当y＝eq\f(3,4)b时，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|min＝5.命题点2求向量的夹角典例(1)(2022·山西四校联考)向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，那么a与b答案eq\f(2π,3)解析∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为eq\f(2π,3).(2)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，那么m等于()A．－2B．－1C．1D．2答案D解析因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．根据题意可得eq\f(c·a,|c||a|)＝eq\f(c·b,|c||b|)，所以eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,\r(20))，解得m＝2.思维升华(1)求解平面向量模的方法①写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2)即可．②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|＝eq\r(a2).(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，注意θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．跟踪训练(1)(2022·全国Ⅰ)向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，那么|a＋2b|＝________.答案2eq\r(3)解析方法一|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，那么|a＋2b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq\r(3).(2)(2022·山东)e1，e2是互相垂直的单位向量，假设eq\r(3)e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，那么实数λ的值是________．答案eq\f(\r(3),3)解析由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|eq\r(3)e1－e2|＝eq\r(\r(3)e1－e22)＝eq\r(3e\o\al(2,1)－2\r(3)e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(3－0＋1)＝2.同理|e1＋λe2|＝eq\r(1＋λ2).所以cos60°＝eq\f(\r(3)e1－e2·e1＋λe2,|\r(3)e1－e2||e1＋λe2|)＝eq\f(\r(3)e\o\al(2,1)＋\r(3)λ－1e1·e2－λe\o\al(2,2),2\r(1＋λ2))＝eq\f(\r(3)－λ,2\r(1＋λ2))＝eq\f(1,2)，解得λ＝eq\f(\r(3),3).题型三平面向量与三角函数典例(2022·广州海珠区摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)假设a＝4eq\r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影．解(1)由m·n＝－eq\f(3,5)，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－eq\f(3,5)，所以cosA＝－eq\f(3,5).因为0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).(2)由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，那么sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，因为a>b，所以A>B，那么B＝eq\f(π,4)，由余弦定理得(4eq\r(2))2＝52＋c2－2×5c×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))，解得c＝1.故向量eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up6(→))|cosB＝ccosB＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．跟踪训练在平面直角坐标系xOy中，向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)假设m⊥n，求tanx的值；(2)假设m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值．解(1)因为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因为0<x<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<x－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).

利用数量积求向量夹角典例直线y＝2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(－1,1)，B(3,3)．求使向量eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))夹角为钝角的充要条件．错解展示：现场纠错解错解中，cosθ<0包含了θ＝π，即eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))反向的情况，此时a＝1，故eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))夹角为钝角的充要条件是0<a<2且a≠1.纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要无视两向量共线的情况.1．(2022·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，那么()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|答案A解析方法一∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a∴a·b＝0.∴a⊥b.应选A.方法二利用向量加法的平行四边形法那么．在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.应选A.2．(2022·河北唐山一模)向量a，b满足a·(a－b)＝2，且|a|＝1，|b|＝2，那么a与b的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,2)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(2π,3)答案D解析由a·(a－b)＝2，得a2－a·b＝2，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－2cos〈a，b〉＝2.所以cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝eq\f(2π,3)，应选D.3．(2022·豫南九校联考)向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，那么eq\f(|2a－b|,a·a＋b)等于()A．－eq\f(5,3) B．1C．2 D.eq\f(5,4)答案B解析∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，那么2a－a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴eq\f(|2a－b|,a·a＋b)＝eq\f(5,5)＝1，应选B.4．(2022·乐山质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)答案D解析在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(9＋4－10,2×3×2)＝eq\f(1,4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos∠BAC＝3×2×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).5．(2022·沈阳质检)在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，那么eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(8,9) B.eq\f(10,9)C.eq\f(25,9) D.eq\f(26,9)答案B解析由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，化简得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如下图，那么A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，那么Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(4,3)＝eq\f(10,9).6．(2022·驻马店质检)假设O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，那么△ABC的形状为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形答案C解析因为(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，因为eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以△ABC是等腰三角形，应选C.7．(2022·全国Ⅰ)向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．假设向量a＋b与a垂直，那么m＝________.答案7解析∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.8．(2022·银川质检)向量a，b的夹角为eq\f(3π,4)，|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，那么a·(a－2b)＝________.答案6解析a·(a－2b)＝a2－2a＝2－2×eq\r(2)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝6.9．(2022·河南百校联盟联考)非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－eq\r(2)b|＝3|a|，那么a与b的夹角为________．答案90°解析由2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，得4a2由|a－eq\r(2)b|＝3|a|，得a2－2eq\r(2)a·b＋2b2＝9a2那么a·b＝0，即a⊥b，∴a与b的夹角为90°.10．(2022·巢湖质检)a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，那么λ的取值范围是______________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析a与b的夹角为锐角，那么a·b>0且a与b不共线，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3λ2＋4λ>0，,2λ－6λ2≠0，))解得λ<－eq\f(4,3)或0<λ<eq\f(1,3)或λ>eq\f(1,3)，所以λ的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).11．(2022·贵阳质检)|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)假设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．解(1)因为(2a－3b)·(2a＋所以4|a|2－4a·b－3|b|2又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b所以a·b＝－6，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).(3)因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq\f(2π,3)，所以∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).12．(2022·江苏)向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，x∈[0，π]．(1)假设a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，a∥b，所以－eq\r(3)cosx＝3sinx.假设cosx＝0，那么sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－eq\f(\r(3),3).又x∈[0，π]，所以x＝eq\f(5π,6).(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－eq\r(3))＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).因为x∈[0，π]，所以x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，从而－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤eq\f(\r(3),2)，于是，当x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x＋eq\f(π,6)＝π，即x＝eq\f(5π,6)时，f(x)取得最小值－2eq\r(3).13．(2022·长沙质检)△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DF,\s\up6(→))|，那么向量eq\o(EF,\s\up6(→))在eq\o(FD,\s\up6(→))方向上的投影为________．答案－6解析由eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0，得eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)).∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.连接OF，∵|eq\o(OF,\s\up6(→))|＝|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝4，∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°，∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4eq\r(3).∴向量eq\o(EF,\s\up6(→))在eq\o(FD,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(EF,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→))〉＝4eq\r(3)cos150°＝－6.14．(2022·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，那么eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))的取值范围为________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))解析不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如下图，那么B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0<a<1)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝(a,2－a)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝(a＋1,1－a)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2)，∵0<a<1，∴由二次函数的知识可得eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).15．(2022·湖北黄冈二模)平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，那么|cA．0 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\r(7)答案D解析∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，即a2＝2a·b，又|a|＝