（全国通用）2023届高考数学大一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案

PAGEPAGE1§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，那么把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3．重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：假设直线不过原点，特殊点常选原点；假设直线过原点，那么特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．知识拓展1．利用“同号上，异号下〞判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，那么有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系题组一思考辨析1．判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(√)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(√)(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．(√)(5)线性目标函数的最优解是唯一的．(×)(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(√)(7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)题组二教材改编2．[P86T3]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0，,x－y＋2<0))表示的平面区域是()答案B解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方局部，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方局部，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影局部．3．[P91T2]投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，那么上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200x＋300y≤1400，,200x＋100y≤900，,x≥0，,y≥0))解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1400场地200x100y900所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.题组三易错自纠4．以下各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)答案C解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，应选C.5．(2022·日照一模)变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x－2y＋3≥0，,x≥0，))那么z＝(eq\r(2))2x＋y的最大值为()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．4答案D解析作出满足不等式组的平面区域，如图阴影局部所示，令m＝2x＋y，那么当m取得最大值时，z＝(eq\r(2))2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A(1,2)时，m取得最大值，所以zmax＝(eq\r(2))2×1＋2＝4，应选D.6．x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))假设使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，那么a的值为________．答案－1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影局部所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题典例(2022·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，那么平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案B解析对于集合B，令m＝x＋y，n＝x－y，那么x＝eq\f(m＋n,2)，y＝eq\f(m－n,2)，由于(x，y)∈A，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＋\f(m－n,2)≤1，,\f(m＋n,2)≥0，,\f(m－n,2)≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m＋n≥0，,m－n≥0，))因此平面区域B的面积即为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m＋n≥0，,m－n≥0))所对应的平面区域(阴影局部)的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))＝1，应选B.命题点2含参数的平面区域问题典例假设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域的形状是三角形，那么a的取值范围是()A．a≥eq\f(4,3) B．0<a≤1C．1≤a≤eq\f(4,3) D．0<a≤1或a≥eq\f(4,3)答案D解析作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面区域(如图中阴影局部所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．应选D.思维升华(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，假设为三角形应确定底与高，假设为规那么的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，假设为不规那么四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．跟踪训练(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影局部表示)，应是以下图形中的()答案C解析由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))画出平面区域后，只有选项C符合题意．(2)约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面积为1的直角三角形区域，那么实数k的值为()A．1B．－1C．0D．－2答案A解析由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求．②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值典例(2022·全国Ⅱ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))那么z＝2x＋y的最小值是()A．－15B．－9C．1D．9答案A解析不等式组表示的可行域如图中阴影局部所示．将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线知，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.应选A.命题点2求非线性目标函数的最值典例(2022·山东)假设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))那么x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12答案C解析满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0))的可行域如图阴影局部(包括边界)所示，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取得最大值，最大值为10.应选C.命题点3求参数值或取值范围A．－2B．－1C．1D．2答案C解析对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；对于选项C，当m＝1时，可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；对于选项D，当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确．应选C.思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有①eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，eq\r(x－a2＋y－b2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；②eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．跟踪训练(1)实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6>0，,y≥\f(1,2)x－3，,x＋4y≤12，))那么z＝eq\f(y－3,x－2)的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))答案B解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示，z＝eq\f(y－3,x－2)表示点D(2,3)与平面区域内2)，故由图知，z＝eq\f(y－3,x－2)的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))，应选B.(2)x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))假设z＝ax＋y的最大值为4，那么a等于()A．3 B．2C．－2 D．－3答案B解析根据条件，画出可行域，如图阴影局部所示．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，直线的斜率k＝－a.当0<k≤1，即－1≤a<0时，无选项满足此范围；当k>1，即a<－1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时z＝0，不合题意；当－1≤k<0，即0<a≤1时，无选项满足此范围；当k<－1，即a>1时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z＝2a＋0＝4，得a＝2.题型三线性规划的实际应用问题典例某玩具生产公司每天方案生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，总生产时间不超过10小时．假设生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图阴影局部所示，作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50.))∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反应．跟踪训练(2022·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，那么在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．答案216000解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，x∈N*，,y≥0，y∈N*，))目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．典例(2022·天津)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0，))那么目标函数z＝2x＋5y的最小值为()A．－4B．6C．10D．17答案B解析由约束条件作出可行域如图(阴影局部)所示，目标函数可化为y＝－eq\f(2,5)x＋eq\f(1,5)z，在图中画出直线y＝－eq\f(2,5)x，平移该直线，易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.应选B.1．以下二元一次不等式组可表示图中阴影局部平面区域的是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1，,2x－y＋2≥0))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1，,2x－y＋4≤0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥－2，,2x－y＋2≥0))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥－2，,2x－y＋4≤0))答案C解析将原点坐标(0,0)代入2x－y＋2，得2>0，于是2x－y＋2≥0所表示的平面区域在直线2x－y＋2＝0的右下方，结合所给图形可知C正确．2．(2022·天津)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥0，,x＋2y－2≥0，,x≤0，,y≤3，))那么目标函数z＝x＋y的最大值为()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\f(3,2)D．3答案D解析画出可行域，如图中阴影所示．由目标函数z＝x＋y，结合图象易知y＝－x＋z过(0,3)点时z取得最大值，即zmax＝0＋3＝3.应选D.3．直线2x＋y－10＝0与不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案B解析由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影局部所示．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且其斜率k＝－2<kAB＝－eq\f(4,3)，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．4．(2022·上海调研)假设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq\f(4,3)，那么m的值为()A．－3B．1C.eq\f(4,3)D．3答案B解析不等式组表示的平面区域如图阴影局部，那么图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝eq\f(2m＋2,3)，C点横坐标xC＝－2m∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝eq\f(1,2)×(2＋2m)×(1＋m)－eq\f(1,2)×(2＋2m)×eq\f(2m＋2,3)＝eq\f(m＋12,3)＝eq\f(4,3)，∴m＝1或m＝－3，又∵当m＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m＝1.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元 B．2400元C．2800元 D．3100元答案C解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，那么根据题意得x，y满足的约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))设获利z元，那么z＝300x＋400y.画出可行域如图阴影局部．画出直线l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,2x＋y＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即M的坐标为(4,4)，∴zmax＝300×4＋400×4＝2800(元)．应选C.6．(2022·枣庄模拟)实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,4x＋3y≤4，,y≥0，))那么ω＝eq\f(y＋1,x)的最小值是()A．－2 B．2C．－1 D．1答案D解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影局部所示，ω＝eq\f(y＋1,x)的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时ω＝eq\f(y＋1,x)的最小值为eq\f(－1－0,0－1)＝1.应选D.7．(2022·开封一模)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，那么a的取值范围是()A．[－4,2] B．(－4,2)C．[－4,1] D．(－4,1)答案B解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－eq\f(a,2)，从图中可看出，当－1<－eq\f(a,2)<2，即－4<a<2时，仅在点(1,0)处取得最小值，应选B.8．(2022·河北“五个一名校联盟〞质检)点P的坐标(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，那么|AB|的最小值是________．答案4解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影局部所示，设点P到圆心的距离为d，那么求最短弦长，等价于求到圆心的距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，那么d＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，此时|AB|min＝2eq\r(14－10)＝4.9．(2022·全国Ⅲ)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))那么z＝3x－4y的最小值为________．答案－1解析不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))表示的可行域如图阴影局部所示．由z＝3x－4y，得y＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)z.平移直线y＝eq\f(3,4)x，易知经过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴A(1,1)．∴zmin＝3－4＝－1.10．(2022·滕州模拟)O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，假设点N(x，y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x≥\f(1,2)，,y≥x))上的一个动点，那么eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最大值是________．答案3解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影局部所示，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，C(1,1)．设z＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，z＝2x＋y取得最大值3.11．(2022·衡水中学月考)假设直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))那么实数m的最大值为____________．答案1解析约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m))表示的可行域如图中阴影局部所示．当直线x＝m从如下图的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,y＝2x))得A点坐标为(1,2)．∴m的最大值为1.12．假设点(1,1)在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx＋ny≤2，,ny－mx≤2，,ny≥1))表示的平面区域内，那么m2＋n2的取值范围是__________．答案[1,4]解析由点(1,1)在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx＋ny≤2，,ny－mx≤2，,ny≥1))表示的平面区域内可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n≤2，,n－m≤2，,n≥1，))画出不等式组表示的平面区域(如图阴影局部所示)，那么m2＋n2表示区域上的点到原点的距离的平方，所以1≤m2＋n2≤4.13．(2022·石家庄二模)在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤0，,x－y≤0，,x2＋y2≤r2))(r为常数)表示的平面区域的面积为π，假设x，y满足上述约束条件，那么z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)的最小值为()A．－1 B．－eq\f(5\r(2)＋1,7)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(7,5)答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图阴影局部所示，由题意，知eq\f(1,4)πr2＝π，解得r＝2.z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)＝1＋eq\f(y－2,x＋3)，易知eq\f(y－2,x＋3)表示可行域内的点(x，y)与点P(－3,2)的连线的斜率，由图可知，当点(x，y)与点P的连线与圆x2＋y2＝r2相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，那么有eq\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(12,5)或k＝0(舍)，所以zmin＝1－eq\f(12,5)＝－eq\f(7,5)，应选D.14．(2022·吉林质检)设P是不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y≥0，,x－y≥－1，,x＋y≤3))表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)，假设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λm＋μn，那么2λ＋μ的最大值为________．答案5解析首先根据约束条件画出其所在的平面区域，如图阴影局部所示．设点P(x，y)，然后由m＝(1,1)，n＝(2,1)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝λm＋μn，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝λ＋2μ，,y＝λ＋μ，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝x－y，,λ＝－x＋2y，))所以令z＝2λ＋μ＝(－x＋2y)×2＋(x－y)＝－x＋3y，最后根据图形可得在点B处取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1，))得B(1,2)，即zmax＝(2λ＋μ)max＝－1＋3×2＝5.15．(2022·河北衡水中学模拟)点P(x，y)的坐标满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y>x，,y<2x＋1，))那么eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))的取值范围为______．答案(－eq\r(2)，1]解析方法一作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y>x，,y<2x＋1))表示的平面区域，如图中阴影局部所示，其中B(－1，－1)，C(0,1)．设A(1,1)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))的夹角为θ，∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝x＋y，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2)，∴cosθ＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OP,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OP,\s\up6(→))|)＝eq\f(x＋y,\r(2)×\r(x2＋y2))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))，由图可知∠AOC≤θ<∠AOB，即eq\f(π,4)≤θ<π，∴－1<cosθ≤eq\