高考数学 易错点点睛与高考突破 专题14 极 限

lim（2）求lim（2）求（n）值。342013年考学易点睛高突专题极限【点突】难1数归法数中的用1．已知数列{an}满足条件（）a=(n+1)(a-1)a=6,设=a+n(n∈N*),(1)求{b}的项公式；11bb1

2．设函数对有的有理数、n都|f(m+n)-f(m)|≤

n

,

证明：对所有正整数k有ki

|f(2k)-f(2≤

k(k2

.2

2．设xn=

(n)

,求列x}的限。【解析】由数列。

的极限都不存在，所以应先将变，使之变成极限可求的【答案】因x=

(n

=

(nn)(n)

n用除子和3

00【答案】

limx

=

limx

(x2)((4)(xx(xx

1

14

。难4函的续lim1．函数f(x)在x处定是xA．充分不必要条件

（fx）存在的（）4

nn【别醒1．深刻理解函数在x处续的概念，即函数f(x)x处有义在x处lim极限。x

f(x)=f(x).函f(x)在x处连反映在图像上是f(x)处不间断的。2．由连续的定义，可以得到计极限的一种方法：如果f(x)定义区间内是连续的，lim则x

f(x)=f(x)，只要求出函数值f(x0)可【错点】易点数学归法1．已知a>0,数列{a满足=a,a=a+

1a

,n=1,2,lima(已知数{}极限存在且大零，求A=

n

(将A用a表示)；(Ⅱ)设b=a-A,n=1,2…,证明：bn+1=-

nA)

;(若bn|≤2,对n=1,2都成立，求a的取值范围。lim【错误解答】(Ⅰ)由

n

lima，存在，且n

n

（A>0对a=a+

1a

两边取极限得，5

2kkkkkkk2kkkkkkk由于

A

2

而当a≥

332时而a≥

时，

∴

bAb2

即A|b+A|≥2.3故当a≥2时

12即时论成立。根据(i)和ii)，可知结论对一正整数都成立。6

=n=n①当n=1时，=

1

,猜成立；②假设当n=k(k≥1)时结论成立即a

2

3

1成立，则当n=k+1时，为a2a所以a=

12

·

2

33k

k

这表明，当n=k+1时结也成立由①，②可知，猜想对n∈N*都立。11

13不等式

2

+

3

+

n

>

2

n],其n为于2的数n]示不超过n的最大整数。设数列a}的各项正，且满足=b(b>0),a≤

n,n=2,3,4,….7

8

【特别提醒】1．一般与自然数相关的命题，有关代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。2．运用数学归纳法证明时，第步是关键、必须用到归纳假，则就不是数学归纳法的证明。【式练1.曲Cxy=1(x>0)与线l:y=x交于A,作⊥l于,作BA∥l交曲线C于…此类推。9

nn1nn12.设列a1,a2,…，an,…的n项和Sn和的关系是Sn=1-ban-

)n

其中b是n无的常数，且b。（1）求a和a的关系式；答案：=S-S=-b(a-a)-

(1)

n

)

n

a)

(1)

n

(解得an=

b(1)

n

(2)（2）猜想a的达式（用n和b示答案：∵a=S=1-ba-

ba(1)

210

nnx,limx.1．已知数列{x}满x2x=2(xn-1+xn-2),n=3,4,….n3

=2,则x1=()A．

2

B．4D．511

n1232nn1232nA．2B．4C．

12

D．0111aaa

12

12

12∴

1122

1[1)]2112lim∴n

(

1)a1[1)]2lim=n

=1lim4、计算：

nn

=___________。12

nnn2n(an2)aS

)

213

2.对

型的数列极限，分子分母同除以最大数的最高次项，然后分别求极限。3．运算法则中各个极限都应存，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。【式练1qlim1若q为项式（2）展开式的常数项，=___________.14

4设a=1+q+q+…+q(n∈N,q≠±)，An=Ca+Ca+(1)用q和n表A;

a15

16

【别醒1．求函数的极限时，如果x→x即x是续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(x)的值。就是函数的极限值2．当f(x)在x处连续时，即x=x代入使式子f(x)无义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x)的值，为极限值。3．已知函数的极限，求出函数的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。【式练1lim1设f(x)在x处导f(x)=0n-n)=___________.17

00易点4函数的续性lim1．极限x

f(x)存在是函数f(x)在点x=x处续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件18

f(x)

13

∴f(x)的定义域为-∞，-1）（-1，+而在定域内x=1时lim1

f(x)=0.

lim1

limf(x)=-1.∴x

f(x)不在。故在x=1处连续。在定义域内不连续。【别醒19

lim1．在判断函数的连续性时，充运用它的重要条件，即xx在x处的限要存在。

f(x)=f(x

).前是2．在求函数的不连续点时，或连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。【式练1.已(n)=(2n+7)·3+9,存自然数m，得对任意n∈N,都能使整f(n),则最大的m的为（）A．30．26C．36．620

nn2.记项式（1+2x）

展开式的各系数和为an,其二项数为，则

limn

n等于（）AB．-1C．0．不存在5.已数{}是等差数列，b=1,b+b+…+b=145(1)求数列a}的通项公式b;答案：解：设数列为b}的公差由题知21

bb10bd1452

,bnn31（2设数列a}的通项a=loga(1+n)(其中a>0且a≠1)记S数{a}前n项，1试比较与3logb的大，并证明你的结论。22

lim7.设数q满|q|<1,数列{a}足=2,aan·a=-q,a表式果S<3,求q的值范围。23

nnn22n2n222nnnn22n2n222nnn（Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线的率为且曲线有仅一个交点，与y轴交DD于D，记d=-(2+7)求d;答案：设ln:y=bx+m.由

bxx

得x由仅有一公共∴△=

m

n2)nly(,

令x=0得y=-(3n+1)∴D)D∴

D|[(34)

2

(3

2

]∴dn=

13

|D|-(2n+7)=4n-224

()()nnn1(Ⅲ)若x

ddn

lim(n∈N)求证n(x+x+…+x-n)=1.答案：

2)dd2d1)(2n2n2∴x1+…+x-n=(1-

11)))52n2lim(xxnn9.某学生在体育训练时弄伤了膝节生给开了一些消炎药嘱每天早晚8点服用一片药片，已知该药品每征220mg,他贤脏每次12小时体内滤出这种药的60%，如果这种药在体内残留超过386mg,产生副作用。请问上8时第一次服药后二天早晨服药后在体内还残留多少？10.已知点集L={（x,y）|y=m·n},中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列Pn(a,b)在L中，P为L与y轴交点，等差数列a}公差为，n∈N.(1)求数列a},{b}的通项公式25

22nnnn222a,nnn22nnnn222a,nnn111()()((2aaa2aa-a+1=a-nn∴a,<a,a<a>>a>…>2,即a是行列增后减数列）max=a2=

52

.（2）已知圆锥曲线C的程为：

(x)an

2

()nan

nN*)

lim设nC=C,求曲线C的方程并求曲线C的积。答案：由上可知，n所以圆锥曲线C为圆lima,limlima.由于{a}存在极限，所以可设nn26

22114．已知

1

=,且

*

（1）求

a

2

，

，

a

4（2）猜测

}的通项公式，并用数学归纳法明.解∵

n

,∴

n

27

15.自然状态下的鱼类是一种可生资源持续利用这一资源从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影.用x表某鱼群在第n年年的总量∈N且x0.不考其它因素设在第年鱼群的繁殖量及捕捞量都与x成比死量与比，这些比例系数依次为正常数，b，c.

成正（Ⅰ）求x与x的关式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x，，b，c满足什么条件时，每年年初群的总量保持不变？（不要求证明