均值不等式-教学设计

3.2均值不等式（1）一、新知识记1、均值定理的文字描述是什么？符号描述是什么？文字描述：符号描述：2、如何证明均值定理？3、定理的深化理解：（1）=1\*GB3①a,b都是；=2\*GB3②当且仅当时等号成立；=3\*GB3③均值不等式表示的是两个正数的与它们的关系.（2）均值不等式的几何解释:.（3）均值不等式与不等式关系如何？4.通过你对例2的预习，尝试回答下列问题（1）两个正数a、b满足什么条件，和存在最小值？（2）两个正数a、b满足什么条件，积存在最大值？二、典型例题例1利用均值不等式证明简单不等式。（1）已知,求证：，并推导出等号成立的条件.（2）已知，求证:例2利用均值不等式求解简单的最值问题。(1)一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？三、课堂练习：1、判断下列两数的大小关系(1)_____(2)_____(3)_____（）2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥23.证明（）4、若且,问取何值时，取最小值？最小值是多少？5、若且,问取何值时，取最大值？最大值是多少？6.证明：3.2均值不等式（2）一、学习过程下面求函数最值的解法正确吗？如果不正确，请你指出错在什么地方.（1）求函数（x<0）的最值.解：≥＝2,上式当且仅当时，即x=-1时等号成立，故y有最小值为2求函数的最小值.解：（3）已知函数，求函数的最小值解：因为x>1,即x与x-1都是正数，所以上式当且仅当即x=2时等号成立,所以x=2时，f(x)取最小值是4二、典型例题例1：求函数的最小值及相应的x的值；变式：求函数的最小值及相应的x的值.例2：求函数最小值及相应的x的值.例3：用两种方法求函数的最大值及相应的x的值.变式：求的最大值及相应的x的值.例4：活用“1”这一条件，应用均值不等式求最值.已知，且，求的最小值及相应的值.变式：已知，求的最小值.例5：已知，，求的最小值.变式：若正数满足，则的取值范围是__________，的取值范围是__________.均值不等式习题1、判断下列推理是否正确(1)∵，∴函数的最小值为2．（）(2)∵，且时取等号，∴函数的最小值为2．（）(3)∵，∴函数最小值为2．（）2、（1）函数的最大值为，此时x=（2）函数的最小值为，此时x=若，则函数的最小值为，此时=若实数a、b满足5、已知6.求函数的最大值及相应的x的值.7.求函数的最大值及相应的x的值.8.已知满足，求的最小值及相应x，y的值.9.已知且,求的最小值及相应x，y的值.10、已知且，求的最小值11、已知且，求的最大值以及相应的和的值12.用20cm长的一段铁丝折成一个面积最大的矩形，这个矩形的长、宽各为多少？并求出这个最大值？13、（1）函数的最小值为，此时x=______（2）函数的最大值为，此时x=______14、已知，则函数的最小值是________15、已知且，则的最大值为________.16、（1）函数的最小值______，此时x=______（2）若，则函数的最小值为，此时=____17、已知，求的最大值以及相应的x和y的值18、用铁皮做一个体积为50cm3，高为2cm的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长、宽各为多少时，用料最少？19、要建一间地面面积为25m2，墙高为3m的长方体形的简易工棚，已知工棚屋顶每1m2的造价为500元，墙壁每1m2的造价为400元.问怎