河北省秦皇岛市卢龙县2022年高考数学四模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

—,x<0

1.已知函数/(x)=：，若函数/(x)=/(x)-丘在R上有3个零点，则实数人的取值范围为()

Inx八

A.(0,—)B.(0,—)C.(—℃,—)D.

e2e2e2ee

2.由曲线y=/与曲线y=x所围成的平面图形的面积为()

124

A.1B・—C.—D.一

333

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

D.4

4.已知集合4={划％2<i},B={x|log2X<l},则

A.AnB={x|0<x<2}B.Ar\B={x\x<2}

C.A<JB={x\x<2}D.AU5={x|-l<x<2}

5.已知集合A={x[l<x<24},B=<x\y=',=>,则()

A.{x|x>5)B.{x15<x<24)

C.{x|x<l^x>5}D.{x|5<x<24}

6.双曲线C：£一与=1（。〉0,匕＞0）的离心率是3,焦点到渐近线的距离为夜，则双曲线C的焦距为（）

B.3yliD.6①

7.网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

4

3

8.已知点尸不在直线/、机上，贝！1“过点产可以作无数个平面，使得直线/、m都与这些平面平行”是“直线，、机互相

平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知cosa=一-,aG，则sin(%+a)=(

2V22V2

F

10.德国数学家莱布尼兹（1646年-1716年）于1674年得到了第一个关于7r的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.

在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图（1692年-1765年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆

初年（1736年）开始,历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新

级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算7T开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于n的

级数展开式”计算兀的近似值（其中P表示n的近似值），若输入〃=10,则输出的结果是（）

[^)

/检ky

S=O,I=1

(-1尸

s=s+xr

i=i+l

否

P=4S

输出P

结束

c11I1、c11I1、

A.P=4(l——+-------+…+—)B.P=4(l-----1---------1----------)

3571735719

c11I1、n11、

C.P=4(l——+-------+…+—)D.P=4(l—।+-।-----+---------)

3572135721

11.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、

远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人.已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也

不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨.若以上语句

都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）

A.甲B.乙C,丙D.丁

12.一物体作变速直线运动，其丫-/曲线如图所示，则该物体在，s~6s间的运动路程为（），〃.

2

y/(m-s-1)

。136〃s

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法

从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取____人.

14.两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同.如图所示，一列圆C“：x2+（y—a“）2=42（析>0,%>0,

/1=1,2…）逐个外切，且均与曲线产必相切，若打二1,则〃尸___,rn-

15.若直线"—y—Z+2=0与直线x+@—2左—3=0交于点尸，则OP长度的最大值为一.

16.已知a=log030.2,/?=log,0.2,则a+b.出?(填">"或"="或

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛4｝满足：2|"+22.4+23.4+…+2"-4=(〃-1>2田+2对一切“eN*成立.

(1)求数列｛"”｝的通项公式；

(2)求数列［―--1的前〃项和S,,.

"J

18.（12分）AABC的内角A,5,C的对边分别为a”,c,已知2Z?cosB=acosC+ccosA.

(1)求E>3的大小；

(2)若匕=2,求AABC面积的最大值.

19.(12分)已知数列｛4｝是等差数列，前〃项和为S“，且Ss=3%,%+%=8.

(1)求凡.

(2)设％=2"q,求数列也｝的前〃项和

20.(12分)设函数/(x)=|2x+a|+|2x-3|.

(1)当。=1时，求不等式/(x)W6的解集；

(2)若不等式/(X)24恒成立，求实数a的取值范围.

21.(12分)设函数/(x)=5-k+a|-|x-2|.

(1)当。=1时，求不等式/(x)20的解集；

(2)若恒成立，求”的取值范围.

22.（10分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别

种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤

维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311加〃?的为“长纤维”，其余为“短纤维”）

纤维长度(0,100)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500]

甲地（根数）34454

乙地（根数）112116

（1）由以上统计数据，填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤

环境有关系”.

甲地乙地总计

长纤维

短纤维

总计

(a+b)(c+d)(a+c\b+d)

(2)临界值表；

2

P(K>k0)1.111.151.1251.1111.1151.111

k。2.7163.8415.1246.6357.87911.828

（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这

8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X,求X的分布列及数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据分段函数，分当x<0,x>Q,将问题转化为4=MO的零点问题，用数形结合的方法研究.

X

【详解】

当X<0时，攵==令g（x）=±,g'（x）=--y>0,g（x）在XG（-8,0）是增函数，%>0时，％=

XXXXX

有一个零点，

当x>0时，人念=华，令皿=丝〃《）=上辛

XXXX

当》€（（）,人）时，"（幻>0,；"（X）在（（）,&）上单调递增，

当_¥€（右,+8）时，/?'（X）VO,//（X）在（右,+8）上单调递减,

所以当x=五时，力（X）取得最大值」

2e

因为F（x）=/&）—依在R上有3个零点，

所以当》>（）时，％=/（。有2个零点，

X

如图所不：

所以实数%的取值范围为（0,二）

2e

综上可得实数k的取值范围为（（）,1）,

2e

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.

2.B

【解析】

首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.

【详解】

结合定积分的几何意义可知曲线y=7与曲线，=x所围成的平面图形的面积为：

S=j0(6-T公=(§/一y3.鼠

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.

3.C

【解析】

首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出

几何体的体积.

【详解】

解：根据几何体的三视图转换为几何体为：

该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，

如图所示：

故：V=lx2x2x2--xlxlxlx2=—.

2323

故选：C.

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.

4.D

【解析】

因为A={x|x2<l}={x|-l<x<l},8={x[logz^vl}={x[0<x<2},所以

An8={x[0<x<l},4UB={x|—l<x<2},故选D.

5.D

【解析】

首先求出集合B,再根据补集的定义计算可得；

【详解】

M：V-X2+6%-5>0,解得1cx<5

,8={x[l<x<5},dAB={x15<x<24}.

故选：D

【点睛】

本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

6.A

【解析】

根据焦点到渐近线的距离，可得然后根据〃=。2-/,0=£,可得结果.

a

【详解】

由题可知：双曲线的渐近线方程为笈±。>=0

取右焦点尸(c,0)，一条渐近线/：公一期=0

则点/至！1/的距离为血，由〃+/=。2

所以b=5/2，则C2—CT—2

r「22

又一=3n—7=9n/=—

aa29

2

r3

所以c?--=2=>c=—

92

所以焦距为：2c=3

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程，以及a,b,c、,e之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为〃，属基础题.

7.A

【解析】

采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.

【详解】

根据三视图可知：该几何体为三棱锥

如图

该几何体为三棱锥A-长度如上图

所以=SADEC=；X1X2=1,SMCN=；xlxl=g

、3

所以S邸CD=2义2—S6MBD~~SN)EC-SgcN=]

=

所以^A-BCD2・S^BCD・植=1

故选：A

【点睛】

本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等：对本题可以利用长

方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.

8.C

【解析】

根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

••,点P不在直线/、上，

若直线/、机互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线/、〃，都与这些平面平行，即必要性成立，

若过点P可以作无数个平面，使得直线/、，〃都与这些平面平行，则直线/、相互相平行成立，反证法证明如下：

若直线/、加互相不平行，则/,〃?异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即

充分性成立

则“过点P可以作无数个平面，使得直线/、加都与这些平面平行”是“直线/、"?互相平行”的充要条件，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.

9.B

【解析】

利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.

【详解】

/、•2&

sin（乃+a）=-sina=-

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力.

10.B

【解析】

执行给定的程序框图，输入〃=10,逐次循环，找到计算的规律，即可求解.

【详解】

由题意，执行给定的程序框图，输入〃=10,可得：

第1次循环：s=l,i=2；

第2次循环：S=l-1,z=3；

第3次循环：5=1--+-,/=4

35;

第10次循环：5=1----1-------1-------,z=11,

35719

此时满足判定条件，输出结果尸=45=4(1-；+：-；+--5),

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解

答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

11.D

【解析】

根据演绎推理进行判断.

【详解】

由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千

丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.

故选：D.

【点睛】

本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础.

12.C

【解析】

1.6

由图像用分段函数表示V"),该物体在一s~6s间的运动路程可用定积分s=Jd(r)dr表示，计算即得解

【详解】

由题中图像可得，

2r,0<r<l

v(r)=<2,l<r<3

—f+1,3</46

由变速直线运动的路程公式，可得

149

所以物体在一s~6s间的运动路程是一m.

24

故选：C

【点睛】

本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1.

【解析】

先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.

【详解】

15005

由题意，高三学生占的比例为

1200+900+150012

所以应从高三年级学生中抽取的人数为720XA=300.

【点睛】

本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运

算与求解能力，属于基础题.

5

14.-n

4

【解析】

第一空：将圆£:/+（丁一4）2=1与〉=/联立，利用计算即可；

第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系/=4T+4T+/，再将C“：尤2+（3,一%）2=/；2与3;=*2联立，得到

-1

4,=4+1，与%=+*1+4结合可得/；,为等差数列，进而可得

【详解】

当n=1时，圆G+（y-aj=1,

与y=V联立消去），得y2―（2q_l）y+q2_]=o,

则△=（24_1）2_4（42_I）=0,解得弓二；；

由图可知当“22时，4=4i+/T+/①，

将C,：/+（y一%）2=「2与＞=/联立消去），得

222

y-（2all-l）y+all-rll=0,

则△=（24-1）2-4（a—）=0,

整理得an=I?+；，代入①得Y+；=小；+%*+小

整理得乙,-*=1,

则/=彳+(〃T)=〃.

故答案为：—；〃.

4

【点睛】

本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合

性较强，是一道难度较大的题目.

15.20+1

【解析】

根据题意可知，直线区-丁-％+2=0与直线x+0-2比-3=0分别过定点A,B，且这两条直线互相垂直，由此可知，其交

点P在以AB为直径的圆上，结合图形求出线段OP的最大值即可.

【详解】

由题可知,直线依_y—G+2=0可化为后(x—l)+2—y=0,

所以其过定点A(l,2),

直线x+Ay-2%-3=0可化为x-3+Z(y-2)=0,

所以其过定点B(3,21且满足％•1+(-1)/=0,

所以直线依_y_4+2=0与直线x+6-2左一3=0互相垂直，

结合图形可知，线段0P的最大值为|oc|+1,

因为C为线段A3的中点，

所以由中点坐标公式可得C(2,2),

所以线段0P的最大值为2夜+1・

故答案为：2&+1

【点睛】

本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定

义得到交点P在以AB为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.

16.>

【解析】

注意到。>11<0,故只需比较1与1的大小即可.

ab

【详解】

由已知，<7>1,/?<0,故有又由一+—nlogozO.S+logozZnlogozOScl,

ab

故有a+b>ab.

故答案为：>.

【点睛】

本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

〃(3〃+5)

17.(1)a“=n；(2)S

n4(〃+1)(〃+2)

【解析】

(1)先通过〃=1求得q=l,再由〃22得，q+22.生+23./+…+2"，4_1=(〃-2)-2"+2,和条件中的式

子作差可得答案;

⑵变形可得卷中22)，通过裂项求和法可得答案.

【详解】

(1)21•tZj+2?•%+2^・q+•••+2"•q?=(〃一2””+2①,

，当〃=1时，21•«(=2,

4=1,

当场22时，2】•q+2~•g+2?•q+…+2"।,%_]=(〃-2),2"+2(2),

①一②得:2〃・4二九・2〃,

凡=%

适合6=1,

故见=〃；

-------------------TV-T-----------

an-alJ+2+2\nn+27

：.s^-

”n2

If,111

212〃+ln+2

〃(3〃+5)

4(〃+l)(〃+2),

【点睛】

本题考查S〃法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.

18.(1)—；(2)5/3•

【解析】

(1)利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得cosB=；,根据Be(0,")可求得结果；(2)

利用余弦定理可得/+一成,利用基本不等式可求得代入三角形面积公式可求得结果.

02=4,(«c)max=4,

【详解】

(1)由正弦定理得：2sin8cos6=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)

・・・A+8+C=TF/.sin(A+C)=sinB,又8£(0,»)/.sinB0

/.2cosB=LBPcosB=-

2

由B€(o,%)得：5=1

(2)由余弦定理。2=々2+/-2accos8得：〃2+C、2-QC=4

又。2+c2>2ac(当且仅当a=c时取等号)4=(72+c2-ac>2ac-ac=ac

即

二三角形面积S的最大值为：-x4sin5=V3

2

【点睛】

本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不

等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.

19.(1)a“=2(〃一3)⑵7；,=(n-4)-2,,+2+16

【解析】

⑴由数列｛%｝是等差数列，所以$5=5%,解得%=0,又由%+4=8=2%，解得d=2,即可求得数列的通项

公式：

(2)由(1)得年=2"“,=(〃一3>2向，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和.

【详解】

⑴由题意，数列｛%｝是等差数列，所以Ss=5%,又S5=3q,二/二。，

由2+4=8=2%，得%=4,所以%-“3=2。=4,解得4=2,

所以数列的通项公式为4=%+(〃—3M=2(〃—3).

⑵由⑴得年=2"y=(〃—3>2用,

7；,=(-2)-22+(-1)-23+0-24+...+(H-3)-2,,+I,

27；,=(-2)-23+(-1)-24+.--+(«-4)-2"+1+(«-3)-2,,+2,

两式相减得27；,-7；,=2-22-(23+24+...+2的)+(九一3)•,

48(1*)

+(n-3)-2,,+2=(n-4)-2n+2+16»

1-2

即7；=5-4)-2"+2+16.

【点睛】

本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项

公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形

结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.

20.(1){x|-l<x<2}(2)(f-7]U[l,+°°)

【解析】

(1)利用分段讨论法去掉绝对值，结合图象，从而求得不等式/(X)<6的解集；

⑵求出函数/(x)的最小值，把问题化为了(x)*24,从而求得”的取值范围.

【详解】

(1)当4=1时，

所以不等式/(x)<6的解集为卜卜1<%<2}.

(2)“X)"等价于|2X+4+|2X-3|N4,

故/(x)24等价于卜+3怛4,

所以。+3之4或。+3<-4,

即或〃工一7,

所以实数a的取值范围为(f,—7]U[l,+8).

【点睛】

本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻

辑推理能力、运算求解能力，难度一般.

21.(1)[—2,3]；(2)(―oo,-6]u[2,+co).

【解析】

分析：(1)先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先化简不等式为

\x+a\+\x-2\>4,再根据绝对值三角不等式得|x+a|+|x-2|最小值，最后解不等式|。+2|»4得。的取值范围.

详解：(1)当。=1时，

2x+4,x<-1,

/(x)--2,-1<x<2,

-lx+6,x>2.

可得〃x)20的解集为{x|-2Wx<3}.

(2)等价于|x+a|+k-2]»4.

而|x+4+|x—2闫