2023年高三复习专项练习：第60练　空间直线、平面的垂直

第60练空间直线、平面的垂直

础对遮练

考点一直线与平面垂直的判定与性质

1.（2022•河南省名校联考）已知"，"为两条不同的直线，«,夕为两个不同的平面，则下列结

论正确的是（）

A.a//p,m//a,则m〃夕

B.mUQ,nUa,m〃B，n〃则a〃夕

C.m-Ln,mVa,n//p,则a_L/

D.〃z_La,m//n,Q〃夕，则〃_1_4

答案D

解析对于A选项，a//P，m//a,则相〃£或"?U",所以A选项错误；对于B选项，加Ua,

nCla,m//p,〃〃人则a〃4或a和尸相交，只有加上条件〃2与〃相交时，才有结论a〃夕，

所以B选项错误；对于C选项，m-Ln,/w±a,〃〃八则ct〃4或。与夕相交，所以C选项

错误；对于D选项，mLa,m//n,则〃_La,又a〃尸，则"_1_夕，所以D选项正确.

2.在三棱锥尸一43C中，已知勿=AB=AC,NR4C=NB4C,点。，E分别为棱3C,PC

的中点，则下列结论正确的是（）

A.DELADB.

C.DE.LABD.DE.LAC

答案D

解析如图，

因为PA=AB=AC,

ZBAC=ZPAC9

所以义△A4C,所以PC=BC,

取尸B的中点G,连接AG,CG,则PB_LCG,PBLAG,

又因为AGACG=G,

所以P8J_平面CAG,则尸8J_AC,

因为点。，石分别为棱8cPC的中点，

所以DE〃PB,所以DE1AC.

3.（多选）（2022・唐山模拟）如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面COE垂直的是（）

EBBBDBD

ABCD

答案BD

解析对于A,易证4B与CE所成角为45。，则直线AB与平面COE不垂直；对于B,易证

AB1CE,ABLED,且CEn£»=E,则AB_L平面CCE；对于C,易证AB与CE所成角为

60°,则直线AB与平面CDE不垂直；对于D,易证ED_L平面ABC,EDLAB,同理EC_L

平面A8。，贝!|EC_LAB,又EDCEC=E,可得4B_L平面CDE.

考点二平面与平面垂直的判定与性质

4.（2022・大连质检）已知直线/和平面a,•，且/Ua,则“LL£”是“aJ_r的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由面面垂直的判定定理可得，若/Ua,I邛,则a,夕，充分性成立；若/Ua,a邛,

则/与夕平行或相交或垂直，必要性不成立.所以若/Ua,则”/JjT是“a邛”的充分不

必要条件.

5.如图，在正方体ABCO-AiBCiDi中，P为线段48上的动点（不含端点），则下列结论错

误的是（）

A.平面平面BBiP

B.DC\VPC

C.三棱锥G—@PC的体积为定值

D.NAP。的取值范围是（0,,

答案D

解析A项，由CBJ_平面B8P,CBU平面CBP,则平面C8PJ_平面88声，正确；

B项，易知OGJ_平面BCDiAi,PCU平面BCDiA”可得Z）C|_LPC,正确；

C项，由％_qpc=Vp-CQC，底面△©£＞《的面积为定值，高BC为定值，故三棱锥的体积

为定值，正确;

D项，取P为A山的中点时，不妨设4P=1,则AA=2,PDi=qW+12=小,可得A尸

TT

+PD]=AD],则NAP。尸/，不正确.

6.如图所示，在四棱锥P—A8C。中，底面A8CD且底面各边都相等，M是PC上的一

动点，当点M满足时，平面MBOJ_平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即

可）

答案DM1.PC（或BMLPC）

解析•.•以_L底面ABC。，

：.BDLPA,连接AC（图略），

贝|]8O_LAC,PAC\AC=A,PA,4CU平面%C,

平面PAC,

ABDIPC.

当DW_LPC（或BM_LPC）时，即有PC_L平面MBD,

而PCU平面PCD,

平面平面PCD.

考点三垂直关系的综合应用

7.（2022.泉州模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为矩形的

棱台称为刍童.在如图所示的某刍童ABC。一ArBiG2中，O”。分别为上、下底面的中心,

01。，平面ABC。，A\B\=AxD\=2,48=40=4,侧棱44所在直线与直线0。所成的角为

45°,则该刍童A8CD—AiBCQi的体积为（）

A.28巾B.邛C.fD.呼

答案B

解析如图，设四条侧棱延长交于顶点P,连接A。，A\Oy,

/以--1c

AB

由题中已知条件可知，在底面矩形A8C。中，AB=A£>=4,A0=2吸，

又侧棱4A所在直线与直线。。所成的角为45。，再由线面垂直关系知在等腰RtaPOA中,

P0=2吸，

同理可得4。=也，POI=R

又上底面面积S1=4,下底面面积S=16,

所以该刍童ABC。-4BCQ1的体积丫=匕5fBe。一%-AMGA=gs/O—gsrPOi=；

X16X26一;X4义也

8.如图，定点A,3都在平面a内，定点用a,PBla,C是a内异于4和B的动点，且PCLAC,

则动点C在平面a内的轨迹是（）

A.一条线段，但要去掉两个点

B.一个圆，但要去掉两个点

C.一段弧，但要去掉两个点

D.半圆，但要去掉两个点

答案B

解析如图，连接BC,因为PB_La,ACCa,

所以PB_LAC,XPCLAC,PCCPB=P,

所以AC_L平面P8C,又CBU平面PBC,故CB_L4C,

因为A,3是平面a上的定点，所以点C在a内的轨迹是以AB为直径的圆,

又C是a内异于A和B的点，故此轨迹要去掉4,B两个点，所以B正确.

9.如图，在正方体A8C£>-4BICQI中，M,N分别是8C”CA的中点，则下列判断中错

误的是.（填序号）

①MN与CCi垂直；②MN与AC垂直；

③MN与BO平行；④MN与45平行.

答案④

解析在正方体ABCQ-ABIGOI中，连接G。，如图,

因为N是C。的中点，则N也是C\D的中点，M是BG的中点，即MN是△BGO的中位线,

于是MN〃BD,③正确；

因为四边形A8CD是正方形，即AC_LBD,则MN_L4C,②正确；

又CCi_L平面ABCZ),而BOU平面ABC。，则CG_LBQ,于是MN_LCG,①正确；

又因为A8与8。相交，而MN〃BD,所以MN与不平行，④错误.

10.(2022・南昌模拟)已知四棱柱ABC£>-4BiCB的底面为菱形，AA」底面ABC。，A4i=6,

A8=8,N8CZ)=60。,点M是线段BC上靠近C的四等分点，动点N在四棱柱ABC£>—AIBIGA

的表面，且MNLBDi,则动点N的轨迹长度为.

答案4y[13+6y/3

解析因为四棱柱A8CZ)—4B1G9的底面为菱形，44」底面ABC。，

所以8Bi_L4C,BD±AC,又因为

所以AC_L平面山j,所以3。」AC,

故在4B上取点尸，使得BF=3fA,连接MF,则M/〃AC,BD^MF,

在88上取点G,使得BG=2GS,

设M尸与8。的交点为O,连接G。，

在△OiOB中，DD}=6,BD=8,DDxLBD,

23

在AGOB中，GB=^BBi=4,OB=qBD=3,OBA.BG,

Jo

所以△DIOBS/\08G,故ND山D=NOGB,

所以BD\LOG,

故△MFG的边即为点N的轨迹，

而FG=7BF2+BG。=2M尸=%C=6小，MG=、BM?+BG?=,

则动点N的轨迹长度为4713+6^3.

能力提升练

11.（多选）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,NABC=90。，AD：BC：AB^2：3：4,E,F

分别是A8,CO的中点，将四边形AOFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论，正确的

结论为（）

A.DFA.BC

B.BDLFC

C.平面平面BCF

D.平面DCF_L平面BCF

答案BC

解析对于A项，因为BC〃AD,AO与。尸相交但不垂直，所以BC与。尸不垂直，则A不

成立；

对于B项，设点O在平面BCF上的射影为点P,当BPLCF时就有BOLFC,而AO:BC：AB

=2：3：4可使条件满足，所以B正确；

对于C项，当点力在平面BC/上的射影P落在BF上时，DPU平面8。尸，从而平面BOFJ_

平面8CF,所以C正确；

对于D项，因为点O在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以D不成立.

12.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面

都为直角三角形的四面体称为鳖席.如图，在阳马户一A8CD中，侧棱PD_L底面ABC。，且

PD=CD,过棱PC的中点E,作交P8于点凡连接£>E,DF,BD,8E.则在阳马P

一A8CQ中，鳖懦的个数为（）

A.6B.5C.4D.3

答案B

解析因为P。，底面ABC。,所以PDLBC,由底面ABC。为长方形，有BCJ_C£）,而PDCCD

=D,所以BC_L平面PCD,同理BA_L平面PAD,故四面体P—ABO和「一BC。都是鳖牖.而

OEU平面PDC,所以BC_LOE.又因为PO=C£>,点E是PC的中点，所以OE_LPC.而PCCCB

=C,所以DE_L平面PBC.而PBU平面尸BC,所以P8_LDE•.又PB_LEF,DEQFE^E,所以

PB_L平面。£尸.由。£_1平面PBC,PB1.平面OE尸，可知四面体B-DEF,P-DEF和E-BCD

的四个面都是直角三角形，即四面体B-OEF,P-QEF和E-BCQ都是鳖腌，综上有5个

鳖隔

13.在如图所示的三棱锥P-A2C中，P4_L平面ABC,ZABC^,若%=a,AB=c,PB=

10,BC=2巾,当ac取最大值时，点A到平面P8C的距离为（）

P

A平B率

o0

C.5^2D.5

答案D

解析•.•雨，平面ABC,J.PAYAB,

又用=a,AB=c,PB=\0,

.•.«2+c2=102=100^2ac,

...〃cW50（当且仅当a=c=5啦时等号成立），

当ac取最大值时，a