2023级《高等数学1》期末复习提要1

切线方程：4、连续与导数的关系：可导必连续,连续不一定可导,不连续一定不可导.注意:分段函数可导与连续的讨论.二、导数的根本运算:1、导数的根本公式〔14个〕3、复合函数求导：,那么即：复合函数导数＝函数对中间变量求导×中间变量的导数4、隐函数求导：将视为中间变量，等式两边对求导。5、分段函数求导方法〔1〕在分段点不连续不可导〔2〕在分段点连续时，使用导数定义求导6、高阶导数7.参数方程求导8.抽象函数求导注意求导符合的使用.三、函数微分1、定义：函数满足〔无关，的高阶无穷小〕那么，称为的微分，记为即：2、与导数的关系：四、例题:例1.曲线在〔0，2〕点的切线方程是。解：∵y’=2ex∴切线斜率为k=2∴切线方程是例2.，求．解：例3.,dy解：dy=ex(sinx+cosx)dx例4.设是由方程所确定的函数，求。解：第三章导数应用一、中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理二、罗必达法那么:1、根本未定型：,2、其他未定型：均可化为,型三、函数性态——函数图象性质:1、单调性判别法：2、极值：〔1〕定义：局部最大、最小值〔2〕判别法一：连续函数单调分界点：极值点例如：从单增到单减：极大值〔3〕判别法二：驻点：3、凹性、拐点〔1〕上凹：曲线总在切线上方下凹：曲线总在切线下方拐点：凹性分界点〔2〕判别法四、经济应用:五、例题:例1解：例2函数y=x2-2lnx的单调增加区间为，单调减少区间为。解当时，单调减少,当时，单调增加例3．设曲线有一拐点〔1，-1〕，且在x=0处切线平行于直线y=x，求a，b，c及曲线方程。例4．某商品的需求函数为x=125-5p，本钱函数为C(x)=100+x+x2,假设生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2)最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。例5．证明：当。例6．某产品的产量为x〔百台〕，总本钱为C〔x〕万元，其中固定本钱为5万元，边际本钱为2万元/百台，假定产品能全部售出，且市场需求规律是x=1000—100p(其中p为价格)，求：〔1〕每年生产多少台时利润最大？〔2〕利润最大时的价格是多少？解:〔1〕第四章不定积分一、根本理论:1、不定积分概念〔1〕原函数注：积分是导数的逆运算〔2〕不定积分：的所有原函数2．根本积分公式〔13个〕二、积分方法:1、分项积分2、凑微分法常见凑微分形式：3．第二换元法了解两类应用：有理代换、三角代换4．分部积分法注：反对幂指三，谁先谁为,谁后谁凑为微分。三、例题:例1．假设，那么。解：为f〔x〕的原函数，那么例2解：例3解：例4解：例5解：原式=例6．计算不定积分。第五、六章定积分及其应用一、根本理论:1、定积分的定义：2、几何意义：曲边梯形面积3、微积分根本定理：二、定积分计算:1、计算性质〔1〕〔2〕〔3〕可加性原理2、牛顿－莱布尼茨公式3、定积分换元法：换元必换限，对应变换4、定积分分部积分法5、广义积分〔1〕无穷限积分〔2〕瑕积分三、-与经济应用:1、平面区域面积2、旋转体体积四、例题:例1。解：由微积分根本定理得：例2当〔〕时，广义积分的收敛。A.B.C.D.解：=答案为D例3广义积分收敛，那么p=〔〕A.1/2B.1C.3/2解：当p<1时，收敛。答案A.例4，求.解：因为于是