高中数学奥赛辅导第五讲不等式的证明

第五讲不等式的证明知识、方法、技术不等式在数学中据有重要地位，因为其证明的困难性和方法的多样性，而成为比赛和高考的热点题型.证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依照是不等式的性质，不等式的性分类摆列以下：不等式的性质：abab0,abab0.这是不等式的定义，也是比较法的依照.对一个不等式进行变形的性质：（1）abba（对称性）（2）abacbc（加法保序性）（3）ab,c0acbc;ab,c0acbc.（4）ab0anbn,nanb(nN*).对两个以上不等式进行运算的性质.（1）ab,bcac（传达性）.这是放缩法的依照.（2）ab,cdacbd.（3）ab,cdacbd.（4）ab0,dc0,ab,adbc.cd含绝对值不等式的性质：（1）|x|a(a0)x2a2axa.（2）|x|a(a0)x2a2xa或xa.（3）||a||b|||a（4）|a1a2

b||a||b|（三角不等式）.an||a1||a2||an|.证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学概括法、结构函数方法等.自然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为剖析法.综合法和剖析法是解决全部数学识题的常用策略，剖析问题时，我们常常用剖析法，而整理结果时多用综合法，这二者并不是证明不等式的特有方法，不过在不等式证明中使用得更加突出而已.别的，详细地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.赛题精讲例1：a,b,c0,求证：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc.【略解】ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc【评论】（1）此题所证不等式为对称式（随意交换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，常常采纳轮换技巧.再如证明a2b2c2abbcca时，可将a2b2(abbcca)配方为1[(ab)2(bc)2(ca)2]，亦可利用a2b22ab,2b2c22bc,c2a22ca，3式相加证明.（2）此题亦可连用两次基本不等式获证.abc例2：a,b,c0，求证：aabbcc(abc)3.【思路剖析】明显不等式两边为正，且是指数式，故试试用商较法.【略解】不等式对于a,b,c对称，不如abc,则ab,bc,acRab，且,，bc都大于等于1.c【评论】（1）证明对称不等式时，不如假设n个字母的大小次序，可方便解题.（2）此题可作以下推行：若ai0(i1,2,,n),则a1a1a2a2anan（3）此题还可用其余方法得证。因aabbabba，同理bbccbccb,ccaacaac，另aabbccaabbcc，4式相乘即得证.（4）设abc0,则lgalgblgc.例3等价于algablgbalgbblga,近似例4可证algablgbclgcalgbblgcclgaalgcblgbclga.事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组a1a2an,b1b2bn，则a1b1a2b2anbn（顺序和）a1bj1a2bj2anbjn（乱序和）a1bna1bn1anb1（逆序和）其中j1,j2,,jn是1,2,,n的任一摆列.当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号建立.排序不等式应用较为宽泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转变为两个有序数组的积的形式.如a,b,cR时,a3b3c3a2bb2cc2aa2ab2bc2ca2bb2cc2a;a2b2c2abca21b21c21a21b21c21bcabcaabc.例3：a,b,cR,求证abca2b2b2c2c2a2a3b3c3.2c2a2bbccaab【思路剖析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们打开，再用排序不等式证明.【略解】不如设abc,则a2b2c2,111，则a21b21c21（乱cbacab序和）a21b21c21（逆序和），同理a21b21c21（乱序和）abccaba21b21c21（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑abc数组a3b3c3及111，仿上可证第二个不等式.bcacab例4：设a1,a2,,anN*，且各不同样，求证：1111a1a2a3an.23n2232n2【思路剖析】不等式右边各项aiai1；可理解为两数之积，试试用排序不等22ii式.【略解】设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的从头摆列，知足b1b2bn，又1111.2232n2因此a1a2a3anb1b2b3bn.因为b1,b2,bn是互不同样2232n2232n2的正整数，故b11,b22,,bnn.进而b1b2b3bn111，原式得2232n22n证.【评论】排序不等式应用宽泛，比如可证我们熟习的基本不等式，a2b2abba,a3b3c3a2bb2cc2aaabbbcccaabcbaccab3abc.例5：利用基本不等式证明a2b2c2abbcca.【思路剖析】左侧三项直接用基本不等式明显不可以，观察到不等式的对称性，可用轮换．．的方法.【略解】a2b22ab,同理b2c32bc,c2a22ca；三式相加再除以2即得证.【评论】（1）利用基本不等式时，除了此题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.222如x1x2xnx1x2xn，可在不等式两边同时加上x2x3x1x2x3xnx1.再如证(a1)(b1)(ac)3(bc)3256a2b2c3(a,b,c0)时，可连续使用基本不等式.（2）基本不等式有各样变式如(ab)2a2b2等.但其实质特点不等式两边的次22数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.例6：已知ab1,a,b0,求证：a4b41.81，怎样也转变为a、b的4【思路剖析】不等式左侧是a、b的4次式，右边为常数8次式呢.【略解】要证a4b41,即证a4b41(ab)4.88【评论】（1）此题方法拥有必定的广泛性.如已知x1x2x31,xi0,求证：x13x23x331.右边的1可理解为1(x1x2x3)3.再如已知x1x2x30，求证：x1x2x2x33333(x1+x3x10，此处能够把0理解为x2x3)2，自然此题还有简使证法.8（2）基本不等式其实是均值不等式的特例.（一般地，对于n个正数a1,a2,an)调解均匀Hnn111a1a2an几何均匀Gnna1a2an算术均匀Ana1a2ann平方均匀Qna12a22an22这四个均匀值有以下关系：HnGnAnQn，其中等号当且仅当a1a2an时建立.例7：利用排序不等式证明GnAn.【证明】令biai,(i1,2,,n)则b1b2bn1，故可取x1,x2,xn0，使得Gnb1x1,b2x2,,bn1xn1,bnxn由排序不等式有：x2x3xnx1=x1x2xn（乱序和）x2x3x1x11x21xn1（逆序和）x1x2xn=n，【评论】对1,1,,1各数利用算术均匀大于等于几何均匀即可得，GnAn.a1a2an例8：证明：对于随意正整数R，有(11)n(11)n1.nn1【思路剖析】原不等式等价于n1(11)n11，故可想法使其左侧转变为n个nn1数的几何均匀，而右边为其算术均匀.【略证】n1(11)n(11)(11)1(11)(11)1n211.nn1nnnnn1n1n个n1【评论】（1）利用均值不等式证明不等式的重点是经过分拆和转变，使其两边与均值不等式形式邻近.近似可证(11)