高等代数矩阵练习题参考答案

第四章矩阵习题参考答案判断题.对于任意n阶矩阵A,B，有|A+B\=间十怛.错..如果A2=0,则A=0.，… (1 1),一错.如A二 ,A2=0,fiA中0.(TTJ.如果A+A2=E，则A为可逆矩阵.正确.A+A2=EnA(E+A)=E，因此A可逆，且A-1=A+E..设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n.错.由AB=0可得r(A)+r(B)<n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n..A,B,C为n阶方阵，若AB=AC,则B=C.… (1错.如A=… (1错.如A=(_1,有AB=AC,但B丰C.-2)A为mxn矩阵，若r(A)=s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=0PAQ=0)0,正确.右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形.n阶矩阵A可逆，则A*也可逆.1正确.由A可逆可得IAlw0，又AA*=A*A=1AI及因此A*也可逆，且(A*)-= A.IAI设A,B为n阶可逆矩阵，则(AB)*=B*A*.正确.(AB)(AB)*=IABIE=IAIIBIE.又(AB)(B*A*)=A(BB*)A*=AIBIEA*=IBIAA*=IAIIBIE.因此(AB)(AB)*=(AB)(B*A*).由A,B为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得(AB)*=B*A*.二、选择题.设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(Bt=-B)，则下列矩阵中为反对称矩阵的是(B).(A)AB-BA(B)AB+BA(C) (AB)2 (D)BAB(A)(D)为对称矩阵，(B)为反对称矩阵，(C)当A,B可交换时为对称矩阵..设A是任意一个n阶矩阵，那么(A)是对称矩阵.(A) ATA (B)A-AT(C) A2 (D) AT-A.以下结论不正确的是(C).(A)如果A是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵;(B)如果A是对称矩阵，则A2也是对称矩阵；(C)如果A是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵；(D)如果A是对角阵，则A2也是对角阵..A是mxk矩阵，B是k"矩阵，若B的第j列元素全为零，则下列结论正确的是(B)(A)AB的第j行元素全等于零；(B)AB的第j列元素全等于零;(C)BA的第j行元素全等于零；(D)BA的第j列元素全等于零;.设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是(D)(A)(A+B)2=A2+2AB+B2 (B)A2-B2=(A+B)(A-B)(C)(AB)2=A2B2 (D)A2-E2=(A+E)(A-E).下列命题正确的是(B).(A)若AB=AC，则B=C若AB=AC，且|A|丰0，则B=C(C)若AB=AC，且A中0，则B=C(D)若AB=AC，且B牛0,C丰0，则B=C7.A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则(B).(A)当m>n时，必有行列式|AB|牛0；(B)当m>n时，必有行列式|AB|=0。当n>m时，必有行列式|AB|中0；(D)当n>m时，必有行列式|AB|=0.AB为m阶方阵，当m>n时，r(A)<n,r(B)<n,因此r(AB)<n<m，所以|AB|=0.8．以下结论正确的是(C)(A)如果矩阵A的行列式A=0,则A=0；(B)如果矩阵A满足A2=0，则A=0；(C)n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(D)对任意方阵A,B，有(A—B)(A+B)=A2—B2.设a,a,a,a是非零的四维列向量， A=(a,a,a,a),A*为A的伴随矩阵，已知TOC\o"1-5"\h\z1234 1234Ax=0的基础解系为(1,0,2,0)t,则方程组A*x=0的基础解系为(C).(A)a,a,a. (B)a+a,a+a,a+a.123 1 22 33 1(C)a,a,a. (D)a+a,a+a,a+a,a+a.234 1 22 33 44 1(1\0由Ax=0的基础解系为(1,0,2,0)t可得(a,a,a,a) =0,a+2a=0.因此(A),(B)中向量组均为线性相关的，而(D)显然为线性相关的，因此答案为(C).由可得a,a,a,a均为A*x=0的解..设A是n阶矩阵，A适合下列条件(C)时，I-A必是可逆矩阵AnAn=AA是可逆矩阵An=0A主对角线上的元素全为零n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是(D)(A)A=1(B)|A|=0(C)A=At(D) |A|丰0A,B,C均是n阶矩阵，下列命题正确的是(A)(A)若A是可逆矩阵，则从AB二AC可推出BA二CA(B)若A是可逆矩阵，则必有AB二BA(C)若A丰0，则从AB=AC可推出B二C(D)若B中C,则必有AB丰ACA,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABC=E，则有(C)

(A)ACB=E(B)BAC=E(C)BCA=E(D)CBA=EA是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是(D)⑷若A是可逆矩阵，则A*也是可逆矩阵；⑻若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵;。若|A*卜0，则A是可逆矩阵； (D)|AA*卜|A|..设A是5阶方阵，且|A|中0，则|A*|二(D)(A)|A| (B) |A|2 (C)A3 (D) A4设A*是A=①)的伴随阵，则A*A中位于(，,j)的元素为(B)ijn义n(A)ZaA(B)ZaA(C)ZaA(D)ZaAjkki kjki jkik kikjk=i k=i k=i k=i应为A的第i列元素的代数余子式与A的第j列元素对应乘积和.17.设A二aiiainAiiA17.设A二aiiainAiiAinaniannAniAnn，其中A是a的代数余子式，则(C)ijijA是B的伴随B是A.的伴随 (C)B是4的伴随(D)以上结论都不对(D)以上结论都不对18.设A,B为方阵，分块对角阵C=A；，则C*=(C)C=A* 00 BC=A* 00 B*C=IAIA* 00 |B|B*C=|B|A* 00 |A|B*(D)利用CC*=1CIE验证.19.已知19.已知A=46,B=11_2 2，下列运算可行的是（46(A)A(A)A+B(B)A—B(C)AB(D)AB—BA20.设A,B是两个mxn矩阵，C是n阶矩阵，那么（D.对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB=BA，那么B是一个（C（A）对称阵（B）对角阵（C）数量矩阵 （D）A的逆矩阵与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵..设A是一个上三角阵，且|A|=0，那么A的主对角线上的元素（C）（A）全为零 （B）只有一个为零（C） 至少有一个为零 （D）可能有零，也可能没有零・ 「13］一23.设A=，则A-i=（D）20(A)0(B)1_301一(C)31_1_26_0(D)13a一124.设A=a2aca11c,若AP=a22ca33b1b2b3c2b11c 2b ，贝IP=(B2 2c2b33一100一一100一一001一一200(A)001(B)002(C)020(D)001_020__010__100__01033TOC\o"1-5"\h\z1 a aa 1 a25.设n(n>3)阶矩阵A=a a 1a a aaaa，若矩阵A的秩为1,则a必为（A）1 1 1(A)1 (B)-1 (C)厂 (D)—-矩阵A的任意两行成比例.26.设A,B为两个n阶矩阵，现有四个命题:①若A,B为等价矩阵，则A,B的行向量组等价;②若A,B的行列式相等，即IA1=1BI,则A,B为等价矩阵；③若Ax=0与Bx=0均只有零解，则A,B为等价矩阵；④若A,B为相似矩阵，则Ax=0与Bx=0解空间的维数相同.以上命题中正确的是（D）

(A)①，③.(B)②，④.(A)①，③.(B)②，④.(C)②，③.(D)③，④.当B=P-1AP时，A,B为相似矩阵。相似矩阵的秩相等。齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。三、填空题1.设A1.设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，有|A|=2，则(1A)-i-2A*

3A*=lAIA-i=2A-i,己A)-i=3A-i,因此32.1(A)-i-2.1(A)-i-2A*3=3A-i-4A-i设A,B为4阶方阵，且圄=3，则-(3A)-i二—A-i..i二(-i)3A-1=-21/27BA2B-i= 93.设A是一个mxn矩阵，B是一个nxs矩阵，那么是(AB)'一个sxm阶矩阵，它的第i行3.第j列元素为Eab.jkkik=14.n阶矩阵A可逆oA非退化oIAlw0oA与单位矩阵等价o A可以表示为一系列初等矩阵的乘积.5.设A5.设A=，则(A*)-1=6A.a00bc0 00b0，则A的伴随矩阵A*=0ac000c0 0ab4.三阶对角矩阵A=

r0a00[i00a026.设a丰0,i=1,2,n，矩阵的逆矩阵为i•••000a... n-1•••a0•••0•••0••••••TOC\o"1-5"\h\z0 0 0a-ina-i 0 0 0i0 a-i 0 02 ...0 0 …a-i 0... n-lB-i0… r 0人］B-i07.设AB都是可逆矩阵，矩阵C= 的逆矩阵为0B0 A-1*— —* I—8.i234i324,8.i234i324,C=，贝"|B(2A-C)叫().A既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A为零 矩阵.10.设方阵A=X10.设方阵A=XcbiiiXc,B=b222Xcb333bib2b3yciiyc22yc33且|A|=-2,|B|=3则行列式|A+B=一一一、一.一一、一.一，.. 0A.设A为m阶方阵，B为n阶方阵，已知|A|=a,|B|=b，则仃列式p0=(-i)mnab. A 0将A的各列依次与B的各列交换，共需要交换mn次，化为0B.设A为n阶方阵，且|A|丰0,则在A等价关系下的标准形为n阶单位矩阵

」2-2、.设A=2-1a(a为某常数)，B为4x3的非零矩阵，且BA=0，则矩阵B的秩为1311)由BA二0可得A的各列为齐次线性方程组Bx二0的解，A的前两列线性无关，因此Bx二0的基础解系至少有两个解，因此r(B)<1.又B为非零矩阵，因此r(B)>1.即r(B)=1.基础解系至少有两个解，四、解答下列各题.求解矩阵方程(1I-14、X(2I-1(4)解：(1)(2)X2.设A=01-11)T)-1(1I-14、X(2I-1(4)解：(1)(2)X2.设A=01-11)T)-1、01)(1-13、

k432,0、01>(211-15Y1(4(20、10)1-1Y1-40-23-10(-21-8/3-2/3)-2380

i

-i3-i23..设P-iAP=A，其中P=(-i-3-i23..设P-iAP=A，其中P=(-i-4)，求Aii.解：A=PAP-i,A-2E可逆，并求其逆.4.设3级方阵A,B满足2A-iB=A-2E可逆，并求其逆.证明：2A-iB=B-4E两边同左乘以A得到2B二AB-4A.因此有(A-2E)B=4A.由A可逆可得A-2E，且(A-2E)-i=1BA-i.45.设A是一个n级方阵，且R(A)=r，证明：存在一个n级可逆矩阵P使PAP-i的后n-r行全为零.证明：R(A)=r,因此矩阵A可以经过一系列行初等变换化为后n-r行全为零.也即存在初等矩阵P,P,,P，使得PPPA后n-r行全为零.P=PPP，则PA的后